分數(shù)應用題教學中數(shù)學思想方法的滲透

段軼

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓和靈魂，它作為數(shù)學學科的“一般原理”，在數(shù)學學習中是至關重要的?！稊?shù)學課程標準》在總體目標中提出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識（包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學思想和必要的應用技能”。

分數(shù)應用題教學是小學數(shù)學的一個重要組成部分，對學生數(shù)學思想方法的獲得和掌握具有重要的意義。在分數(shù)應用題教學中，我結(jié)合有關內(nèi)容，向?qū)W生滲透對應、轉(zhuǎn)化、假設、代數(shù)等數(shù)學思想方法，以幫助學生獲得充分的可持續(xù)的發(fā)展。

一、對應思想

對應思想在分數(shù)應用題中體現(xiàn)得尤為明顯。分數(shù)應用題的對應主要表現(xiàn)為是“量”與“率”的對應和“圖”與“式”的對應等。分數(shù)應用題中，每一個數(shù)量對于一個確定的標準（單位“1”的量）而言，都有一個對應的分率（即相對數(shù)量），每一個分率都對應一個具體的數(shù)量。量率對應，尋找對應關系，某種程度上就成了解答分數(shù)應用題的關鍵。教學中通常可以通過“一題多問”、“一題多變”等方式，促使學生尋找對應關系，滲透對應思想。

1、一題多問

例1：某工程隊三天修完一條1200米長的路，第一天修了全長的，第二天修了全長的，_____________________？

①第一天修了多少米？

②第二天修了多少米？

③第三天修了多少米？

④第一天比第二天多修了多少米？

⑤前兩天共修了多少米？

⑥后兩天修了多少米？

⑦第三天比第二天多修了多少米？

……

一題多問，是根據(jù)相同的條件解答不同的問題；反過來，也可以根據(jù)不同的條件解答同樣的問題。

2、一題多變

例2：某工程隊三天修完一條路，第一天修了全長的，第二天修了全長的，_______________________，這條路全長多少米？

①第一天修了400米；

②第二天修了300米；

③第三天修了500米；

④第一天比第二天多修了100米；

⑤前兩天共修了700米；

⑥后兩天修了800米；

⑦第三天比第二天多修了200米；

……

像這樣經(jīng)常的進行“一題多問”、“一題多變”的訓練，學生在解答分數(shù)應用題的過程中，積極主動地“以量找率”或“以率找量”，以不變（量率對應）應萬變，領悟并體味其不變的對應關系。通過這樣的練習，便于學生掌握解題規(guī)律，在實踐中感悟并逐步形成對應的思想方法。

二、假設思想

對于稍復雜的分數(shù)應用題，應用“假設法”可以化繁為簡，化難為易，在解決問題的過程中，讓學生逐步領悟假設的思想方法。

例3：一項工程，甲獨做20天完成，乙獨做30天完成，兩人合作，甲中途因故請假了5天，前后共用了多少天完成任務？

分析與解：如果甲不請假，那么同樣的時間，兩人合作完成的工作總量是（1+ ×5），因此，完成任務的天數(shù)為：（1+ ×5）÷（ + ）=15（天）。

例4：一根電線第一次截去 少5米，第二次截去 多2米，還剩53米，這根電線原長多少米？

分析與解：假設第一次多截5米，即正好截去全長的；第二次少截2米，即正好截去全長的；那么剩下的長度為（53-5+2）米，正好是全長的（1- - ）。因此，這根電線原長為（53-5+2）÷（1- - ）=120（米）。

例5：某校有學生600人，在“冬季三項”鍛煉中，全校有 的女生和 的男生獲得“優(yōu)秀”等級，獲得“優(yōu)秀”等級的學生共有134人，這個學校的男、女生各多少人？

分析與解：如果獲得“優(yōu)秀”等級的男、生人數(shù)，都是各自總?cè)藬?shù)的，則獲得“優(yōu)秀”等級的男、女生的總?cè)藬?shù)應是全校總?cè)藬?shù)的，有（600× ）人，這比實際獲得“優(yōu)秀”等級的人數(shù)少了（134-600× ）人。原因在于，我們把獲得 “優(yōu)秀”等級的女生人數(shù)少算了（ - ）。因此，這個學校的女生人數(shù)是：（134-600× ）÷（ - ）=280（人），男生人數(shù)是：600-（134-600× ）÷（ - ）=320（人）。

三、化歸思想

“化歸”是常用的一種數(shù)學思想方法，把異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)再加減，把分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法來計算，把平行四邊形割拼成長方形計算其面積……分數(shù)應用題中的化歸，主要是題型的轉(zhuǎn)化和分率的轉(zhuǎn)化，也即單位“1”的變換和數(shù)量關系的變換。

1、單位“1”的統(tǒng)一和變換

例6：一本書第一天讀了全書的，第二天讀了余下的，第二天比第一天多讀了30頁，這本書共多少頁？

分析與解：第一天讀了全書的，第二天讀了余下的，即相當下全書的（1- ）的，因此，第二天讀的頁數(shù)是全書的（1- ）× 。全書的總頁數(shù)是：30÷[（1- ）× - ]=360（頁）。

例7：一個車間男職工占總?cè)藬?shù)的，因支援另一車間，調(diào)走男職工33人，這時男職工占全車間總?cè)藬?shù)的，這個車間現(xiàn)有女職工多少人？

分析與解：因男職工的調(diào)動，使車間的總?cè)藬?shù)與男職工人數(shù)均發(fā)生變化，而女職工人數(shù)不變。因此，可以把女職工人數(shù)作為單位“1”，調(diào)動前男職工人數(shù)占女職工人數(shù)的，調(diào)動后男職工人數(shù)占女職工人數(shù)的，調(diào)走的男職工33人，相當于女職工人數(shù)的（ - ）。女職工人數(shù)為：33÷（ - ）=33× =105（人）。

2、題型的轉(zhuǎn)換

例8：某種商品現(xiàn)價120元，比原價降低了，原價多少元？

分析與解：一般解法：120÷（1- ）=150（元）。

還可以溝通新舊知識的聯(lián)系，挖掘數(shù)量關系，變換題型：

（1）根據(jù)“比原價降低了”，可知原價平均分成了5份，降低了1份，現(xiàn)價是（5-1）份，因此，原價是：120÷（5-1）×5=150（元）。

（2）根據(jù)“比原價降低了”，可知原價平均分成了5份，降低了1份，原價是現(xiàn)價的，因此轉(zhuǎn)化數(shù)量關系，根據(jù)“原價是現(xiàn)價的”，可以這樣解答：120× =150（元）。

這里，（1）是在平均分的基礎上，把分數(shù)應用題轉(zhuǎn)化為歸一應用題；（2）是通過數(shù)量關系的轉(zhuǎn)換，把分數(shù)除法應用題轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法應用題。

四、代數(shù)思想

分數(shù)乘、除法應用題，特別是稍復雜的分數(shù)乘、除法應用題，數(shù)量之間的關系比較復雜，利用代數(shù)方法，把未知當已知，可簡化數(shù)量之間的關系，常能化難為易。在教學過程中，教師要有意識地引導學生，自覺利用代數(shù)方法解答分數(shù)應用題，在解決問題的過程中，鞏固代數(shù)方法，體會、感悟并逐步形成代數(shù)思想。

例9：甲、乙兩班共有學生90人，甲班人數(shù)的 與乙班人數(shù)的 相等，甲、乙兩班各有學生多少人？

分析與解：這道題的數(shù)量關系不十分明了，甲、乙兩班之間及各班與兩班總數(shù)之間的關系不十分明確，適合于用代數(shù)方法解答。

解：設甲班有學生x人，乙班有（90-x）人。

例10：學校食堂原有一批大米，吃去 后，又買來220千克，這時庫存大米比原來多了 ，原來庫存大米多少千克？

分析與解：根據(jù)：原有的千克數(shù)-吃去的千克數(shù)+又買來的千克數(shù)=現(xiàn)有的千克數(shù)

解：設原來庫存大米x千克。

數(shù)學思想方法作為一種重要的程序性知識，只有在實際的操作、運用的過程中才能逐步地領悟、把握。因此在分數(shù)應用題教學中，數(shù)學思想方法的滲透：一要創(chuàng)設問題情境、精心設計練習，進行針對性的訓練。包括進行一些聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、改編、根據(jù)關鍵句畫線段圖、根據(jù)線段圖列式等基本訓練。讓學生在熟練掌握各種解題方法的基礎上，逐步領悟其中蘊含的數(shù)學思想方法。二要注重過程，引導反思。既要注重解題的結(jié)果，更要注重對解題過程中所使用的方法、策略的回顧與反思，從具體的解決問題的過程中，領悟到其內(nèi)在統(tǒng)攝全局的數(shù)學思想方法。三要善于總結(jié)，提煉升華。教師要善于引導學生，從已有的生活和數(shù)學活動的經(jīng)驗出發(fā)，從眾多不同的具體的解決問題的過程中，發(fā)掘其方法、策略上的共同之處，善于廣泛聯(lián)系，異中求同，感悟其中共同的數(shù)學思想方法，實現(xiàn)從具體到一般、從現(xiàn)象到本質(zhì)，從感性到理性的升華。