中考壓軸題（二次函數(shù)）解題思路探討

潘月燕

【摘要】本文介紹了二次函數(shù)壓軸題的特點和常見題型，重點探討了解題思路，旨在幫助同學(xué)們順利攻克二次函數(shù)壓軸題。

【關(guān)鍵詞】中考 壓軸題 二次函數(shù) 解題思路

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）12-0144-01

一、二次函數(shù)壓軸題的特點

首先，盡管中考二次函數(shù)壓軸題題型多樣，但是其重點仍然是考查二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識與內(nèi)涵。因此，同學(xué)們要熟練掌握二次函數(shù)圖像的屬性特點、平移、變換等法則。

其次，中考二次函數(shù)壓軸題越來越注重與幾何圖形的結(jié)合，注重強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想，綜合性越來越強(qiáng)。二次函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合不僅考查學(xué)生對幾何圖形的建模能力，更注重學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合的分析應(yīng)用能力，是對學(xué)生綜合分析能力的考查。因此，同學(xué)們在考試時要善于應(yīng)用幾何圖形的特點，結(jié)合二次函數(shù)的解析方法，從而達(dá)到解決問題的目的。

再次，中考二次函數(shù)壓軸題加強(qiáng)了對學(xué)生思維能力的考察。二次函數(shù)壓軸題要求學(xué)生具備問題探究、信息獲取、空間想象等多種能力，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教育的特點：不僅要培育德、智、體、美、勞全面發(fā)展的學(xué)生，更要重視培育學(xué)生的創(chuàng)新能力，通過對問題的思考方式和解決能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的綜合能力。

最后，中考二次函數(shù)壓軸題加強(qiáng)了數(shù)學(xué)問題與工程實際、生活實際問題的結(jié)合。把具體問題用抽象的方法解決，使學(xué)生學(xué)會學(xué)以致用，將數(shù)學(xué)知識更好地應(yīng)用到實際生活中。

二、二次函數(shù)壓軸題的常見題型

（1）二次函數(shù)與三角形結(jié)合。該題型主要考查學(xué)生的基本功，三角形是幾何證明和解析的基礎(chǔ)，通過將一次函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程靈活地同相似三角形、直角三角形、等腰三角形等特殊形狀的三角形相結(jié)合，解題時需要借助作圖進(jìn)行分類討論，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合分析能力。

（2）二次函數(shù)與四邊形結(jié)合。該題型主要是將四邊形與拋物線結(jié)合，四邊形頂點或者中點位于拋物線中，既考查四邊形的判定定理，也考查拋物線的特征屬性，并且越來越多地與動點問題結(jié)合，檢驗學(xué)生的思維能力。

（3）二次函數(shù)與圓形結(jié)合。近幾年的典型中考壓軸題都是將二次函數(shù)與圓形結(jié)合，充分利用圓形的切線、割線定理，待定系數(shù)法等求拋物線解析式，最后需要驗證才能完整地解決問題。

例如2013年貴港中考數(shù)學(xué)試題，如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動點P在拋物線y=ax2上，⊙P恒過點F（0，n）與直線y=-n始終保持相切，求n的值（用含a的代數(shù)式表示）。該題是二次函數(shù)和圓形結(jié)合的試題，主要考查二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到了二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，兩點間的距離等知識點。根據(jù)題意得到PF是⊙P的半徑是解題的關(guān)鍵。如圖2，連接PF.設(shè)⊙P與直線y=-n相切于點E，連接PE. 因為動點P在拋物線y=ax2上，設(shè)P點的坐標(biāo)為P（m，am2），根據(jù)⊙P恒過點F（0，n），根據(jù)圓切線的性質(zhì)定理：圓的切線與圓只有一個交點；切線與圓心的距離等于半徑，得到PF=PE，再根據(jù)兩點間的距離公式得到 =am2+n ，從而得出答案。

圖1 圖2

（4）二次函數(shù)與圖形變換結(jié)合。圖形變換在中考題型中越來越受重視，該類型的綜合題充分結(jié)合了拋物線的頂點、開口大小等屬性特征，以及幾何圖形的平移、折疊、翻轉(zhuǎn)以及特殊圖形的判定準(zhǔn)則。

三、二次函數(shù)壓軸題的解題思路

1.注意隱含條件的挖掘

二次函數(shù)壓軸題是中考綜合題之一，在該題型中通常包含一些隱含條件，這在題目中客觀存在，但是沒有明確提出，讓學(xué)生覺得題目有問題、條件不足。因此，這些隱含條件往往是解題的關(guān)鍵，應(yīng)在審題的過程中仔細(xì)探究、推敲，挖掘出這些隱含條件，找到解題的突破口。挖掘隱含條件主要從題目結(jié)構(gòu)入手：

其一，從題目給出的客觀不變的條件中挖掘；

其二，從解題過程中挖掘；

其三，根據(jù)定理、公式，從其約束條件中挖掘；

其四，根據(jù)一些特殊幾何圖形的特征挖掘；

其五，深入探究題目中變量的取值范圍，從而獲得隱含條件；

其六，從數(shù)學(xué)概念中挖掘。

2.選用正確的解題方法

解決二次函數(shù)壓軸題一定要選擇正確的解題方法，通過仔細(xì)分析題目條件，判斷是采用幾何法還是代數(shù)方法來解題。在解題的時候經(jīng)常會遇到求變量的取值范圍、根植等問題，此時多采用代數(shù)方法來解題，通常結(jié)合一元二次方程，巧妙地運用二次函數(shù)的性質(zhì)特征。

在二次函數(shù)壓軸題中遇到與幾何圖形結(jié)合時，多采用幾何方法來解題。例如，一些證明題的證明過程需要運用到幾何圖形特征和定理。而對于幾何圖形與二次函數(shù)結(jié)合求動點的問題，應(yīng)該將幾何方法和代數(shù)方法相結(jié)合來解題。如當(dāng)壓軸題是二次函數(shù)和三角形結(jié)合的類型時，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用三角形的對應(yīng)邊長的比例關(guān)系，列出方程式求解。

3.正確書寫解答步驟

要獲得高分，正確地書寫解答步驟是關(guān)鍵，需要同學(xué)們細(xì)心認(rèn)真。首先，審題之后，分析題目中給出的條件，得出客觀存在的已知條件；其次，經(jīng)過分析判斷是否存在隱含條件，并得出隱含條件，找到問題突破口；再次，根據(jù)題目和要求解的問題選擇正確的解題方法，判斷是采用幾何方法、代數(shù)方法還是代數(shù)幾何結(jié)合的方法；最后，根據(jù)上述的分析先在草稿上寫出大致的思路，然后在試卷上仔細(xì)認(rèn)真地書寫解題過程，得出結(jié)論。切記有些問題最后需要驗證，才算完整解題。

四、結(jié)語

綜上所述，二次函數(shù)壓軸題題型靈活多變，解題過程不僅要應(yīng)用二次函數(shù)的知識，還要結(jié)合幾何圖形的知識，巧妙地運用上面提到的方法，認(rèn)真書寫解題過程，這樣在解答二次函數(shù)壓軸題時才能得心應(yīng)手。

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