古代一元一次方程問題探究實(shí)錄

曹焱

人教版《數(shù)學(xué)》七年級上冊108頁有一道悠久歷史的名題，簡要記述了希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的生平，題中沒有明確說出丟番圖的壽命等數(shù)字，但又隱含于題中。如何解決這類古代問題？筆者進(jìn)行了這樣的教學(xué)探索：

活動(dòng)1：故事里的數(shù)學(xué)

課件：鏈接動(dòng)畫“趣味故事——愣人請客”

傳說中有個(gè)人因?yàn)椴恢v究說話藝術(shù)，結(jié)果把好事辦壞了。

一天，他大擺宴席，請來了一些客人。他看有幾位客人還沒有到，就自言自語地說：“怎么該來的還不來呢？”客人們聽了，心想：“這么說，我們都是不該來的啦！”于是，有一半人悄悄走了。他一看人走了許多，十分焦急，又說：“嗨，不該走的倒走了！”剩下的人一聽，已走的都是不該走的，那么，該走的倒是我們了。于是，又有三分之二的人離開了。

這人一見客人都陸續(xù)不辭而別，急得直拍大腿，連連說：“這，這，我說的不是他們！”最后剩下的3人一聽，心想：“那定是說我們了！”于是，一個(gè)個(gè)也拍拍屁股抬腳告辭了。結(jié)果，所有的客人都走光了。

師：同學(xué)們，首先我們一起來聽個(gè)小故事……。（師鏈接動(dòng)畫“趣味故事——愣人請客”，生聲情并茂講故事）

師：你知道，故事中所有的客人分幾次走光的？

生：分三次走光的：第一次，有一半人悄悄走了；第二次，又有三分之二的人離開了；第三次，最后剩下的3人告辭了。

師：好！根據(jù)這位同學(xué)的分析，1、2、3組的同學(xué)能否試著用算術(shù)方法求故事中一開始共來了多少位客人？4、5、6組的同學(xué)能否嘗試著用方程解呢？看看哪一組的同學(xué)更快。（學(xué)生分組討論，組長負(fù)責(zé)記錄，教師巡視、參與討論）

師：我們先來聽聽第1組的探究成果。（將記錄投影，學(xué)生代表結(jié)合投影講解）

生：我們組一致認(rèn)為可以把來客總數(shù)看作一個(gè)整體，那么第一次走后剩下總數(shù)的1-■=■。第二次走了剩下人數(shù)的■，就是走了總數(shù)的■×■=■。所以最后余下的3人，相當(dāng)于總數(shù)的：1-■-■=■，所以，客人總數(shù)是：3÷■=18（人）。

師：這個(gè)小組用算術(shù)方法確定了客人總數(shù)，探究成果是顯著的，這位同學(xué)的講解也很清晰，值得我們學(xué)習(xí)。能用方程思想來解嗎？第4組展示一下。（將記錄投影，學(xué)生代表結(jié)合投影講解）

生：我們是用方程來解的，首先我們發(fā)現(xiàn)三次走掉的人數(shù)之和等于來的客人總數(shù)，可以設(shè)開始時(shí)共來了x位客人，則三次走掉的人數(shù)分別是■x、■×■x、3，所以列出方程：

■x+■×■x+3=x，解得：x=18。所以，共來了18位客人。

師：今天同學(xué)們的探究都很投入，分別從算術(shù)和方程兩個(gè)角度解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題，成果斐然。尤其上來講解的同學(xué)語言簡潔、明了，非常清楚地表達(dá)了他們的想法，值得大家學(xué)習(xí)。

活動(dòng)2：丟番圖墓志銘

鏈接動(dòng)畫：1. 丟番圖簡介 2. 丟番圖的墓志銘

公元3世紀(jì)古希臘的著名代數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上，刻著如下的銘文：

“過路人，這兒埋著丟番圖的骨灰，下面的數(shù)目可以告訴您，他一生究竟有多長。他生命的六分之一是幸福的童年。再活了十二分之一，頰上長起了細(xì)細(xì)的胡須。丟番圖結(jié)了婚，可是還不曾有孩子。這樣又過了一生的七分之一。再過了五年，他得了頭胎兒子，感到很幸福?？墒敲\(yùn)給這孩子在世界上的光輝燦爛的生命只有他父親的一半。自打兒子死了以后，這老頭兒在深深的悲痛中活了四年，也結(jié)束了塵世的生涯。

請您算算看，丟番圖活了多大歲數(shù)？

師：從“丟番圖的墓志銘”上你可以知道丟番圖的一生分成了幾個(gè)階段？

生：可以分： “六分之一的童年， 再活了十二分之一， 又過了一生的七分之一， 再過了五年， 他孩子的生命（又過了一生的一半）， 又活了四年”六個(gè)階段。

師：這位同學(xué)分析的非常好，下面各小組可以選擇用算術(shù)方法解或用方程解合作完成。

看看哪一組的同學(xué)更快。（學(xué)生分組討論，組長負(fù)責(zé)記錄，教師巡視、參與討論）

師：我們先來聽聽第3組的探究成果。（將記錄投影，學(xué)生代表結(jié)合投影講解）

生：我們組一致認(rèn)為可以把丟番圖的一生當(dāng)作一個(gè)整體1， 因?yàn)轭}中只有一個(gè)四年和五年是具體數(shù)量，所以要考慮這九年占的分率，相除即可得出。設(shè)單位“1”，即丟番圖活的歲數(shù)為：4+5÷1-■-■-■-■=84（歲）

師：有其它解法嗎？第5組

生：我們組認(rèn)為： 丟番圖的年齡必為12和7的公倍數(shù)，12與7的最小公倍數(shù)為12×7=84，檢驗(yàn)后，84就是他的年齡。

師：方程思想怎么做？第6組

生：設(shè)丟番圖的年齡是x歲，由題意可得：

■x+■x+■x+5+■x+4=x，

去分母：14x+7x+12x+42x+84（5+4）=84x，解得：x=84。

所以丟番圖的年齡為84歲。

師：通過上面兩個(gè)活動(dòng)，你能說說用算術(shù)方法解或用方程解實(shí)際問題時(shí)哪種方法更方便呢？

生：在復(fù)雜問題中用算術(shù)方法分析時(shí)較困難，用方程分析時(shí)就比較方便了， 但是關(guān)鍵要找到相等關(guān)系。

師：通過本節(jié)課的探究學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會(huì)？

生1：在小學(xué)時(shí)，我們用算術(shù)方法解決應(yīng)用題，是逆向思考；進(jìn)初中學(xué)習(xí)了一元一次方程的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)原來還可以用方程思想解決應(yīng)用題，是順向思考。每一種方法都各有所長。

生2：在解決比較復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)，方程方法比算術(shù)方法更簡便，可以節(jié)約很多時(shí)間。

生3：我認(rèn)同前面同學(xué)的觀點(diǎn)。我認(rèn)為方程方法比算術(shù)方法更簡潔明了，將復(fù)雜問題簡單化，易于找到突破口。

生4：在實(shí)際問題中，我們來根據(jù)不同的問題選擇適合的方法，才能快速的解決問題。