初中數(shù)學(xué)反例教學(xué)初探

賴世明

何謂反例呢？想要證明一個(gè)命題是對(duì)的，需要步驟嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评砗驼撟C，而如果我們想要否定一個(gè)命題，就可以舉出一個(gè)符合題設(shè)卻與結(jié)論矛盾的例子，來證明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的。我們所舉的這個(gè)例子便是反例，利用反例可以使學(xué)生從另一個(gè)方面思考、推理，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，并培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)密性和創(chuàng)新能力。具體而言，反例究竟有何作用呢？初中數(shù)學(xué)課堂中我們又該如何去舉反例進(jìn)行教學(xué)呢？

一、反例的作用

1. 論證命題的錯(cuò)誤，推進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展

我們前面提到，想要證明一個(gè)命題是對(duì)的，需要步驟嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评砗驼撟C，而如果我們想要否定一個(gè)命題，就可以舉出一個(gè)符合題設(shè)卻與結(jié)論矛盾的例子，來證明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的。由此可知，反例可以論證命題的錯(cuò)誤，排除一些錯(cuò)誤的思維和概念，推翻錯(cuò)誤的猜想，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

2. 使概念更加確切與清晰，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展

經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)可知，數(shù)學(xué)學(xué)科中有太多的概念和定理，這些概念和定理結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使人難以理清，亂如一團(tuán)麻。而運(yùn)用反例，則可以使概念更加確切，更容易被學(xué)生理解。

3. 鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)繁雜，邏輯性嚴(yán)謹(jǐn)，環(huán)環(huán)相扣，如果我們得過且過，憑著感覺去理解，就不容易掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，容易造成數(shù)學(xué)知識(shí)的混淆。而利用反例，則可以鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)反例中學(xué)習(xí)正確的知識(shí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

4. 及時(shí)糾正錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力

反例教學(xué)設(shè)計(jì)能及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，可以及時(shí)糾正錯(cuò)誤，明辨是非，深化數(shù)學(xué)概念，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力。例如：在教不等式性質(zhì)的章節(jié)內(nèi)容時(shí)，我發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)對(duì)定義、定理等認(rèn)識(shí)模糊，運(yùn)用中時(shí)常出錯(cuò)。原因是學(xué)生對(duì)條件結(jié)論密切相關(guān)的重要性認(rèn)識(shí)不足，理解不深，只是記結(jié)論，為此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中我有目的、有意識(shí)地讓學(xué)生在定義中找出關(guān)鍵字，變換定理（或命題）的條件或結(jié)論，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際判斷，對(duì)不成立的讓他們舉出反例，使學(xué)生在討論中加深理解，學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)

上面我們分析了反例的作用，那么具體到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該如何運(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)呢？

1. 對(duì)反例進(jìn)行分析，對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行糾正

運(yùn)用反例，如果一帶而過，不加以分析，就會(huì)導(dǎo)致形式化，達(dá)不到應(yīng)有的作用。因此要想實(shí)現(xiàn)反例教學(xué)的作用，就要對(duì)反例進(jìn)行分析，要將反例中存在的錯(cuò)誤一一指出，并引導(dǎo)學(xué)生分析問題，對(duì)錯(cuò)誤給予糾正。我們可以拿學(xué)生平時(shí)做錯(cuò)的題目作為反例，或者將學(xué)生可能會(huì)出錯(cuò)的問題展示出來，讓班上學(xué)生判斷正誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，探討正確的解法。例如，學(xué)生在判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量是否成反比例的量時(shí)，往往不是很清楚。因此我利用學(xué)生不清楚的狀況，舉了一個(gè)反例：如果要做10道數(shù)學(xué)題，那么已經(jīng)做了的題和沒有做的題是成反比例的。這個(gè)例子一出，學(xué)生的意見就分成了兩派。有些學(xué)生認(rèn)為這個(gè)說法是正確的，而有的學(xué)生則認(rèn)為這個(gè)題目是錯(cuò)誤的。我及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論、分析。經(jīng)過討論后，學(xué)生得出一致認(rèn)識(shí)：滿足反比例有三個(gè)條件，而第三個(gè)條件是兩個(gè)量的乘積是一定的。雖然這個(gè)題目中，做過的題和沒做過的題之和是一定的，但這個(gè)題目仍不符合“乘積一定”這個(gè)條件，所以是錯(cuò)誤的。

通過這樣的反例教學(xué)，加深了學(xué)生的印象，糾正了這一常見錯(cuò)誤，同時(shí)解決了教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，提高了教學(xué)的有效性。

2. 注意反例教學(xué)的逐層深入性

凡事都是循序漸進(jìn)的，是有一定規(guī)律的，列舉反例也是需要一點(diǎn)一滴地深入，化難為簡的。所以我們?cè)谂e反例的時(shí)候，要根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)，把難以理解的問題化為一些容易掌握的內(nèi)容，逐漸深入，使反例起到應(yīng)有的作用。比如全等三角形的判定教學(xué)中，學(xué)生基本上掌握了全等三角形的判斷定理——SSS、AAS、ASA、SAS。教師可以給出個(gè)反例讓學(xué)生判斷是否正確。如：∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，則△ABC與△A1B1C1全等。學(xué)生經(jīng)過觀察和分析，發(fā)現(xiàn)雖然三個(gè)角相等，而邊不確定，所以這個(gè)例子是錯(cuò)誤的。之后我們可以再提出一個(gè)例子：固定∠A=∠A1，AC=A1C1，那么如果BC=B1C1=a，說明BC或B1C1可以通過以下作圖方法來畫出：以C或者C1為圓心，a為半徑畫弧，a只要滿足一定的條件，此時(shí)所畫的弧就很可能與AB或者A1B1所在的直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)再構(gòu)造出不全等的三角形就減少了難度。

由此可見，只有循序漸進(jìn)，反例才能逐漸被學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤，并積極改正，不再犯類似的錯(cuò)誤。

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)有效的策略，而反例教學(xué)也是另辟蹊徑，從另外一個(gè)方面加深了學(xué)生的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生建構(gòu)了知識(shí)體系，促使學(xué)生達(dá)到了知識(shí)的掌握、認(rèn)識(shí)的提升、思維的培養(yǎng)。我們數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)該時(shí)刻注意，恰當(dāng)運(yùn)用反例，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，提高教學(xué)效率。