高一教學(xué)中如何滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想

押雪霞

一、問題提出

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論的數(shù)學(xué)思想可以說無處不在，如：函數(shù)y = ax2 + 2x + 3的圖像一定是拋物線嗎？函數(shù)y=loga（2x-1）一定是增函數(shù)嗎？不等式a■ < a2x-3與不等式x2 < 2x - 3同解嗎？……比比皆是. 它們都需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論. 以誰為標(biāo)準(zhǔn)分類才能做到不重不漏是許多高中生的困惑. 有的學(xué)生到高三復(fù)習(xí)了遇見參數(shù)還是無所適從，不是盲目地按a > 0，a < 0，a = 0分類，就是機(jī)械地按a > 1，a < 1，a = 1分類. 本文擬從高一教學(xué)中探討如何逐步滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，以使學(xué)生在高中起始階段就能正確掌握分類討論的方法，從而在后續(xù)學(xué)習(xí)中能靈活應(yīng)用，并游刃有余.

二、目標(biāo)實(shí)施

1. 小處著眼，逐步遞進(jìn)

高一學(xué)習(xí)第二章“基本初等函數(shù)”時(shí)，首先要復(fù)習(xí)初中已學(xué)過的二次函數(shù). 在此教師可有意識(shí)地設(shè)計(jì)：函數(shù)y = ax2 + 2x + 3的圖像是什么？學(xué)生很容易回答是拋物線. 教師可反問它的圖像一定是拋物線嗎？學(xué)生就會(huì)恍然大悟，應(yīng)分a = 0，a ≠ 0兩種情況考慮：當(dāng)a = 0時(shí)，它為一次函數(shù)，它的圖像是直線；當(dāng)a ≠ 0時(shí)，它是二次函數(shù)，它的圖像才是拋物線. 在此為學(xué)生埋下了分類討論的數(shù)學(xué)思想的種子，使學(xué)生有了初步的感官認(rèn)識(shí). 緊接著教師給出例1：求函數(shù)y = x2 - 2ax + 3，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)的最小值. 學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是求出對(duì)稱軸x = a，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就為最小值. 教師可提示已知條件中所給的區(qū)間x∈[1，3]有什么作用，從而使學(xué)生意識(shí)到應(yīng)按對(duì)稱軸x = a與區(qū)間的位置分a < 1，1 ≤ a ≤ 3，a > 3三種情況求解. 至此，學(xué)生對(duì)分類討論的數(shù)學(xué)思想有了更進(jìn)一步的感性認(rèn)識(shí)，教師應(yīng)趁熱打鐵給出例2：求函數(shù)y = x2 - 2x + 3，當(dāng)x∈[a，a + 1]時(shí)的最小值，“吃一塹，長一智”，學(xué)生自然就會(huì)按對(duì)稱軸x = 1與區(qū)間的位置分1 < a，a ≤ 1 ≤ a + 1，1 > a + 1三種情況求解. 教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)兩例題的區(qū)別和聯(lián)系：一個(gè)是軸動(dòng)區(qū)間定，一個(gè)是軸定區(qū)間動(dòng). 它們都需要按對(duì)稱軸和區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論. 這類題的一般規(guī)律是將對(duì)稱軸放在區(qū)間的左面、區(qū)間的中間、區(qū)間的右面，分三種情況進(jìn)行討論求解，從而使學(xué)生對(duì)分類討論的數(shù)學(xué)思想上升為理性認(rèn)識(shí).

2. 溫故知新，螺旋上升

在二次函數(shù)的復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)分類討論的數(shù)學(xué)思想有了初步的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上，我趁勢(shì)給出了三個(gè)二次的關(guān)系，即一元二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生來探討含參數(shù)的一元二次不等式的方法.

例1：解一元二次不等式x2 - （a - 1）x - a > 0. 因?yàn)橐辉畏匠蘹2 - （a - 1）x - a = 0有兩個(gè)根x = a和x = -1，由一元二次函數(shù)的圖像知此一元二次不等式的解應(yīng)在兩根之外. 但兩根的大小不能斷定，目的就是讓學(xué)生想到從兩根的大小分三種情況進(jìn)行討論求解.

例2 ：解一元二次不等式x2 - ax + 1 > 0. 因?yàn)橐辉畏匠蘹2 - ax + 1 = 0的判別式為a2 - 4，其正負(fù)不能斷定，即此方程是否有根不知道，目的就是讓學(xué)生想到由判別式的大小分三種情況進(jìn)行討論求解.

例3 ：解不等式ax2- （2a + 1）x + a + 1 > 0. 本題目的是讓學(xué)生想到由x2的系數(shù)a來分三種情況進(jìn)行討論求解. 因?yàn)閍 = 0時(shí)，此不等式為一次不等式；當(dāng)a > 0時(shí)，此一元二次不等式的解集為兩根之外；而當(dāng)a < 0時(shí)，此一元二次不等式的解集變?yōu)閮筛g. 需要注意的是，由于是高一學(xué)生，分類討論的難度教師一定要把握好. 個(gè)人認(rèn)為讓學(xué)生掌握一層分類即可，而那種先按是否有根分類討論，再按兩根大小分類討論的多層討論不必涉及.

3. 不斷強(qiáng)化，形成習(xí)慣

有了前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)分類討論的數(shù)學(xué)思想有了深刻的認(rèn)識(shí). 在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中教師應(yīng)當(dāng)乘勝追擊，以使學(xué)生能在不斷的強(qiáng)化過程中形成良好的習(xí)慣. 首先教師給出例1：解不等式a < a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1），有了前面的鋪墊，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能從容地分a > 1，a < 1兩種情況求解. 緊接著教師給出例2：求函數(shù)y = a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1）的單調(diào)區(qū)間. “一回生兩回熟，三次見面就是老朋友.”在對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，教師不妨給出同樣的兩道例題，例1：解不等式loga（2x-1） < loga（x - 3） （a > 0 且a ≠ 1）與例2：求函數(shù)log a（2x-1）（a > 0 且a ≠ 1）的單調(diào)區(qū)間，目的就是使學(xué)生在不斷的強(qiáng)化中，自然而然地將分類討論的數(shù)學(xué)思想在腦海中根深蒂固. 實(shí)踐證明，高一有了學(xué)習(xí)必修1的良好開端，高一的必修2的教學(xué)就顯得格外輕松. 例如在必修2解析幾何的學(xué)習(xí)中，當(dāng)教師讓求直線2x - ay + 3 = 0的斜率時(shí)，學(xué)生都會(huì)自覺地考慮a = 0時(shí)斜率不存在，a ≠ 0時(shí)斜率為時(shí). 不僅如此，他們還能按a > 0，a < 0來進(jìn)一步判斷斜率的正負(fù)以及傾斜角什么時(shí)候是銳角、什么時(shí)候是鈍角.

三、一點(diǎn)感想

優(yōu)秀是一種習(xí)慣. 從高一開始，學(xué)生從起初的遇見參數(shù)就犯錯(cuò)誤到不斷吸取教訓(xùn)，探索規(guī)律，直到后來遇見參數(shù)就分類討論，可以說已經(jīng)成為他們自覺的習(xí)慣. 從一開始的不知道如何分類到后來分類標(biāo)準(zhǔn)的不重不漏，可以說他們對(duì)分類討論的方法已經(jīng)掌握得爐火純青. 我相信這不僅為他們學(xué)好高中階段的數(shù)學(xué)樹立了信心，這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊唤z不茍的學(xué)風(fēng)也一定會(huì)遷移到他們今后的學(xué)習(xí)和工作中，一定能使他們受益終生.