淺談構(gòu)造法在中職數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際運(yùn)用

斯日古楞 山丹

【摘 要】著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁……無一不可用數(shù)學(xué)來表達(dá)。”數(shù)學(xué)是一種精靈古怪的學(xué)科，它蘊(yùn)含的是智慧，展示的是風(fēng)流，是科學(xué)領(lǐng)域中最為神秘的宮殿。數(shù)學(xué)是一種貫穿思維的理性藝術(shù)，是打開科學(xué)大門的一把金鑰匙。美國當(dāng)代數(shù)學(xué)家哈爾斯提出了“問題是數(shù)學(xué)心臟”的論說，它簡潔生動地揭示了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是“生疑—質(zhì)疑—釋疑”的過程。然而有些問題是無法通過直接推理能夠順利進(jìn)行的，只能通過題設(shè)和結(jié)論的橋梁來加以溝通解決。這種橋梁往往隱含在題設(shè)之中，需要人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和構(gòu)造。數(shù)學(xué)構(gòu)造法既十分巧妙又很有價值。本文結(jié)合中職數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考，試簡要闡述之。

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué) 構(gòu)造法運(yùn)用 學(xué)生能力培養(yǎng) 實(shí)踐與思考

數(shù)學(xué)宗師喬治·波利亞曾經(jīng)指出：“構(gòu)造一個輔助問題是一項重要的思維活動?！边@是在突出強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的必要性和重要性。在科學(xué)發(fā)展史上，諸如高斯、拉格朗日等人都曾經(jīng)運(yùn)用構(gòu)造法非常成功地解決過數(shù)學(xué)方面的重大難題。什么是數(shù)學(xué)構(gòu)造法呢？就是人們在實(shí)際解題過程中，經(jīng)過認(rèn)真地觀察、分析和思考，把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為一個比較合適的等價問題，并把原問題作為已知問題去思考一個可能相關(guān)的問題，或者首先去解決一個既可特殊又可一般的問題，然后促使原來數(shù)學(xué)問題得以最終解決的一種方法。構(gòu)造法既是數(shù)學(xué)運(yùn)用的基本思想方法，也是數(shù)學(xué)思維的一種巧妙藝術(shù)。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行實(shí)際運(yùn)用呢？本文試從以下幾個方面對此作出拋磚引玉之論。

一、數(shù)學(xué)構(gòu)造法的價值意義和解題步驟

在數(shù)學(xué)解題中恰當(dāng)而合理地運(yùn)用構(gòu)造法，一方面可以有效地提高學(xué)生的解題能力，從中收獲簡潔明了、出奇制勝的效果；另一方面，還有利于培養(yǎng)學(xué)生以抽象思維能力和發(fā)散思維能力。它是培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維能力的有效手段之一，具有極其重要的數(shù)學(xué)價值和解題意義。構(gòu)造法的主要特點(diǎn)是“構(gòu)造”，而審題則是其中最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。在運(yùn)用這種解題方法時，我們要注意把握兩個方面問題，即“為什么而構(gòu)造”和“如何把握題設(shè)條件的特點(diǎn)”。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造法的一般性解題步驟可以歸納流程如下：①認(rèn)真審題，精準(zhǔn)把握題意。主要體現(xiàn)在“確認(rèn)問題類型”“弄清其中主要已知項”“明確所求問題的結(jié)論”等三個方面；②根據(jù)已知條件，精準(zhǔn)構(gòu)造一個與原命題緊密關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型；③利用上述所構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，把原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為相對簡單、具體的新問題，從而迅速獲解并得出最終結(jié)論。

二、數(shù)學(xué)構(gòu)造法的主要類型及實(shí)際運(yùn)用

1、逆向構(gòu)造法的類型及其運(yùn)用。就是按照逆向思維（或求異思維）的方式，讓學(xué)習(xí)思維向其對立方向發(fā)展，從問題的相反面進(jìn)行推導(dǎo)；或者對于某些特殊問題，從結(jié)論往回推進(jìn)行倒過來思考，使得問題更趨簡單化，以便于最終解決?！纠?】求和：S=1×3+2×4+3×5+…+n（n+1）（1+2）.分析如下：若按照常規(guī)求和方法考慮上述題目是比較困難的，我們引導(dǎo)學(xué)生不妨進(jìn)行逆向性思考，構(gòu)造一個比數(shù)列更高階但結(jié)構(gòu)比較相似的數(shù)列S=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+n（n+1）（n+2）（+3）.然后順其方向繼續(xù)深入地思維下去，問題就可以得到最后的解決。這是一種與由繁到簡的習(xí)慣方向完全相反的思考途徑。歷史上的“司馬光砸缸”就是逆反思維的聰明之舉。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，適當(dāng)開展逆向思維的訓(xùn)練活動，能夠有效打破學(xué)生的慣性思維模式，促使他們在實(shí)踐活動中敢于“反其道而思之”，對于活化思維方式和培養(yǎng)創(chuàng)新能力，能夠發(fā)揮不可或缺的促進(jìn)作用。

2、歸納構(gòu)造法的類型及其運(yùn)用。就是通過許多個別現(xiàn)象歸納出共有特性，從而得出一般性結(jié)論的一種論證方法。歸納法既可先舉事例再歸納結(jié)論，也可先提出結(jié)論再舉例加以證明?！纠?】已知f（n）=（2n+7）×3^n+9，存在任意自然數(shù)m，使得對任意n屬于整數(shù)，都能使m整除f（n），求m的最大值。解題程序如下：由f（n）=（2n+7）×3^n+9得f（1）=36， f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.接著用歸納法予以證明：①當(dāng)n=1時，顯然成立。②假設(shè)n=k時，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）×3^k+9能被36整除；當(dāng)n=k+1時，[2（k+1）+7]×3^（k+1）+9=3[（2k+7）×3^k+9]+18（3^（k-1）-1），由于3^（k-1）-1是2的倍數(shù)，所以18（3^（k-1）-1）能被36整除。也就是說，當(dāng)n=k+1時，f（n）也能被36整除。由①②可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）×3^n+9能被36整除，m的最大值為36.有目的地聯(lián)想能打開思路、拓寬視野。

3、直覺構(gòu)造法的類型及其運(yùn)用?！皵?shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起?！倍庇X思維雖是非邏輯思維的一種，但它與邏輯思維的統(tǒng)一構(gòu)成了創(chuàng)造性思維，又因“是持久探索和思考的結(jié)果”，仍然具有邏輯性。【例3】求sin10×sin30×sin50×sin70的值。首先假設(shè)A=sinlO×sin30×sin50×sin70，再構(gòu)造對偶式B=coslO×cos30×cos50×cos70，由A×B 可逐步求出A 的值。在這一解題過程中，對于式子B=oslO×cos30×cos50×cos70的構(gòu)造，就是憑借感性經(jīng)驗(yàn)、已有知識結(jié)構(gòu)和潛在性解題意識匯合作用而產(chǎn)生的想法。這種具有創(chuàng)造性的思維方式就是直覺構(gòu)造。換言之，直覺是一種直接的領(lǐng)悟性的思維方式，其活動原理正如錢學(xué)森所言：“…是在潛意識中醞釀問題，然后與顯意識突然溝通，于是一下子得到了問題的答案，而對信息加工的具體過程，我們則沒有意識到?！比缡嵌?。

此外，構(gòu)造法還有類比和聯(lián)想等其它類型。數(shù)學(xué)解題構(gòu)造法是一種富含創(chuàng)造性元素的方法，它在抽象、聯(lián)想、概括、歸納、類比等數(shù)學(xué)方法中都有實(shí)質(zhì)性體現(xiàn)。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用構(gòu)造法對培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、促進(jìn)其可持續(xù)發(fā)展能力將產(chǎn)生深刻久遠(yuǎn)的影響。