妙用猜想 激活思維

唐恒安

【摘要】 數(shù)學(xué)猜想是一種數(shù)學(xué)想象，合理恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用猜想可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 本文結(jié)合教學(xué)實(shí)例，論述了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生猜想思維的培養(yǎng)策略，以求迸發(fā)出智慧的火花.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；猜想；思維

牛頓曾說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn). ”猜想是一種想象，是人的思維依據(jù)已知的原理和公式，在探索未知的規(guī)律、本質(zhì)時(shí)的一種策略. 眾所周知，數(shù)學(xué)為我們提供了一些學(xué)習(xí)證明推理的好機(jī)會(huì)，合理恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用猜想，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生大膽思維，讓學(xué)生的邏輯思維在“先知先覺”的猜想中得到飛躍和升華. 下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)例，談?wù)勅绾卧诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想思維，以帶領(lǐng)學(xué)生從猜想的角度探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的奧秘.

一、通過直觀形象，提出猜想

形象材料的最主要特征是具體性、直觀性，借助于事物的形象（表象），引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想和想象，讓學(xué)生在直觀形象中發(fā)現(xiàn)問題，形象伴隨著思維，一表一里，相得益彰. 因此，教師可以借助直觀的圖形、數(shù)學(xué)模型等，通過啟發(fā)誘導(dǎo)，充分調(diào)動(dòng)中學(xué)生利用表象進(jìn)行思維，進(jìn)而為學(xué)生直觀生動(dòng)地建立數(shù)學(xué)概念.

例如在講等腰三角形“兩個(gè)底角相等”這一性質(zhì)時(shí)，我首先讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的等腰三角形紙片并進(jìn)行大膽猜想：這個(gè)三角形的底角大小是否相等？學(xué)生通過直觀的形象，很容易猜想出等腰三角形的兩個(gè)底角相等，并通過用量角器量、對(duì)折等方式進(jìn)行了驗(yàn)證. 為了讓猜想具有一般性，我再次利用多媒體技術(shù)去驗(yàn)證學(xué)生的直覺推斷能力：如圖1所示，拖動(dòng)鼠標(biāo)，通過使等腰三角形的頂點(diǎn)垂直上下移動(dòng)，底邊兩個(gè)端點(diǎn)同時(shí)左右移動(dòng)，而隨意改變等腰三角形的外形，再通過計(jì)算機(jī)的測(cè)算功能驗(yàn)證了等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 同理，猜想并驗(yàn)證“等腰三角形三線合一”的性質(zhì).

通過讓學(xué)生以直觀形象先猜測(cè)結(jié)果，再去驗(yàn)證，這種猜想尤其適合平面幾何，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高教學(xué)效果.

二、通過類比，提出猜想

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽說過：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發(fā)其一端而已. ”類比猜想是將兩個(gè)本質(zhì)相同的對(duì)象進(jìn)行類比，找出它們類似或相同的規(guī)律，這是解決問題的有效捷徑，有利于提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的靈活應(yīng)變能力.

例如有道題目如下：已知a2 + 2a - 1 = 0，b2 + 2b - 1 = 0，且a ≠ b，求ab + 2a + 2b的值. 初看這道題目，很多學(xué)生都似乎無從下手，感覺解題過程會(huì)很繁瑣. 但如果能引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，利用類比、聯(lián)想，將原問題轉(zhuǎn)化為類似問題來解決，便能從已知條件中聯(lián)想到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，從而產(chǎn)生新思路：構(gòu)造一個(gè)以a和b為根的一元二次方程x2 + 2x - 1 = 0，根據(jù)韋達(dá)定理，a + b = -2，ab = -1，代入原式ab + 2a + 2b = ab + 2（a + b） = -1 + 2 × （-2） = -5. 通過類比，使學(xué)生快速地解決了問題，也有利于學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，遇到類似問題時(shí)也能做到舉一反三、觸類旁通.

三、通過歸納，提出猜想

歸納是對(duì)考察的對(duì)象進(jìn)行比較和綜合，通過歸納，學(xué)生可以對(duì)隱藏在其中的某些可能存在的規(guī)律提出大膽猜想，把個(gè)別事物的特征上升到一類事物特征，再用一般特征去指導(dǎo)個(gè)別事物的特征，使學(xué)生建立起一種比較牢固的新型的解題方法.

例如在進(jìn)行“平行四邊形”的教學(xué)中，我引入了這樣一道題：根據(jù)圖2所示的三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去，第n個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是多少？

學(xué)生開始仔細(xì)觀察起來，第一個(gè)圖中共有6個(gè)平行四邊形，第二個(gè)圖中共有18個(gè)平行四邊形，第三個(gè)圖中共有36個(gè)平行四邊形. 依據(jù)這個(gè)規(guī)律，學(xué)生根據(jù)平行四邊形的定義進(jìn)行歸納并猜測(cè)每個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)可用3n（n + 1）來表示，得到一般規(guī)律. 然后通過自畫圖形，驗(yàn)證了這一猜想，第n個(gè)圖形的平行四邊形個(gè)數(shù)3n（n + 1）與圖號(hào)的關(guān)系式.

四、通過逆向思維，提出猜想

有時(shí)候，循著某一固定思路解決數(shù)學(xué)難題，會(huì)屢遭失敗，我們不妨沿著相反的方向進(jìn)行思考，會(huì)有“柳暗花明又一村”的感覺，這就是逆向思維，也有人稱之為“倒過來想”，這是一種重要的思考能力，能啟迪學(xué)生智慧，開拓學(xué)生的思路.

例如：如圖3所示，已知圓環(huán)的外圓半徑R = 7.5，內(nèi)圓半徑r = 2.5，求圓環(huán)的面積S. 對(duì)于這道題目，可逆用平方差公式求圓環(huán)的面積S = πR2 - πr2. 再比如化簡(jiǎn)（ - ）（ + ）這一題，也可以通過逆用公式 = |a|來進(jìn)行求解. 已知am = 3，an = 2，求a3m+2n的值，這一道題同樣也可以通過逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解，即：a3m+2n = a3m×a2n = （am）3 × （an）2.

通過引導(dǎo)學(xué)生擺脫固定的思路和習(xí)慣去逆過來思考，提出猜想，并從反面去思考和解答應(yīng)用問題，能讓學(xué)生從不同的方向去思考和理解問題，可以培養(yǎng)學(xué)生合情的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索、積極思維的潛在能力.

總之，猜想是數(shù)學(xué)活動(dòng)不可或缺的重要方法，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展有著十分重要的作用. 我們要以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)為依據(jù)，適時(shí)引導(dǎo)并教給學(xué)生必要的數(shù)學(xué)猜想規(guī)律和方法，把論證式推理和推測(cè)式推理有效結(jié)合起來進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，才能帶領(lǐng)學(xué)生從猜想的角度探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的奧秘！

【參考文獻(xiàn)】

[1]郝利華.猜想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2013（6）：156.

[2]李成康.初中數(shù)學(xué)教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力[J].廣西教育，2009（2）：45.

[3]曹兵祝.淺談猜想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].新課程，2011（3）：81.