數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的幾點(diǎn)“關(guān)注”

張曉兵

思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的潛在目的，思維教育是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，數(shù)學(xué)問題的解決最終是通過思維實(shí)現(xiàn)的. 思維繼續(xù)和發(fā)展著感知和記憶表象的認(rèn)識功能. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾乎每一個(gè)環(huán)節(jié)都需要思維. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，邏輯推理占據(jù)了最重要的一個(gè)部分，關(guān)注概念教學(xué)中的起點(diǎn)、要點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)，合理訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升他們的思維品質(zhì)，都是我們需要著力思考和解決的問題. 筆者以“二次函數(shù)解析式的確定”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)概念教學(xué)中的幾點(diǎn)關(guān)注.

一、關(guān)注起點(diǎn)

關(guān)注起點(diǎn)，需要關(guān)注設(shè)計(jì)編排的浸潤狀態(tài)，關(guān)注的是學(xué)生如何獲取內(nèi)容，在設(shè)計(jì)編排的浸潤狀態(tài)中，學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是以整合的、相互關(guān)聯(lián)的方式向?qū)W生呈現(xiàn)的，提供的經(jīng)驗(yàn)中包含選擇和整體感.

對于用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同學(xué)們在研究一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式的確定時(shí)已經(jīng)涉及并能夠熟練應(yīng)用. 遵循“學(xué)生會(huì)的，教者不教”，在課堂的開始，教者讓學(xué)生直面要研究的對象：“請根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)說說你如何用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. ”這時(shí)學(xué)生通過思考積極回答問題，總結(jié)出了先判斷函數(shù)類型，再設(shè)合適的含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，尋求合理的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，進(jìn)而確定二次函數(shù)解析式. 這時(shí)教者進(jìn)而提出：“二次函數(shù)解析式有三種形式，你如何選用合理的關(guān)系式呢？”此時(shí)學(xué)生們紛紛發(fā)言，積極補(bǔ)充，明確了三種關(guān)系式各自適用的情境，教者及時(shí)給出了學(xué)習(xí)建議“關(guān)注特征，合理選擇”.

二、關(guān)注能力

關(guān)注能力，需要關(guān)注學(xué)生的放松性警覺. 放松性警覺保證了學(xué)生在一種安全的情境下受到挑戰(zhàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力獲得提升，思維品質(zhì)得到進(jìn)一步鞏固.

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的基本能力，它貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程. 教者常常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠想到這個(gè)數(shù)學(xué)問題如何解決，但就是得不出正確結(jié)果，很多時(shí)候就是因?yàn)檫\(yùn)算能力不過關(guān)造成的. 所以教者應(yīng)該在概念教學(xué)的始終都應(yīng)見縫插針地訓(xùn)練和提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

在學(xué)生明確了如何用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式后，教者及時(shí)拋出一個(gè)小題組，分別讓學(xué)生設(shè)一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，并對如何應(yīng)用技巧提升運(yùn)算效率進(jìn)行了點(diǎn)撥. 在后續(xù)的練習(xí)中，學(xué)生掌握了一定的運(yùn)算技巧，運(yùn)算速度和正確率大幅提高. 所以適時(shí)適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥指導(dǎo)讓枯燥的數(shù)學(xué)運(yùn)算也有一些魅力，具備一定的吸引力，在學(xué)生邊運(yùn)算邊思考“如何算得更快更巧”時(shí)，已不知不覺提升了自己的運(yùn)算能力.

三、關(guān)注變化

關(guān)注變化，需要關(guān)注學(xué)習(xí)過程中的積極加工. 積極加工是指“學(xué)習(xí)者通過一種對個(gè)人有意義的以及概念上一致的方式鞏固和內(nèi)化信息. 它是通向理解的唯一途徑，而不僅僅是為了記憶. ”

數(shù)學(xué)是強(qiáng)調(diào)變化、強(qiáng)調(diào)思維的學(xué)科，教者就應(yīng)在概念教學(xué)中有意識地關(guān)注變化并適度加入概念的變式應(yīng)用. 一題多解、一題多變是數(shù)學(xué)變化研究時(shí)常用的方法.

在同學(xué)們初步掌握應(yīng)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式之后，教者給出了三組變化.

第一組變化——法變. 例：若拋物線y = ax2 + 2x + c的對稱軸是直線x = 2，且函數(shù)的最大值是-3，求 a，c.同學(xué)們通過觀察思考，尋找出題目中的隱含條件——頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，-3），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)既可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，也可設(shè)頂點(diǎn)式求解.

第二組變化——法變形變. 例：拋物線過（-1，0），（3，0），（1，-5）三點(diǎn)，求此拋物線解析式.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)可用一般式或者交點(diǎn)式求解，但是用交點(diǎn)式比較簡單. 這時(shí)教者讓同學(xué)們繼續(xù)觀察判斷，還有沒有特征點(diǎn). 借助于拋物線的軸對稱性，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)（1，-5）這個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，所以也可用頂點(diǎn)式. 此時(shí)教者沒有停下研究的步伐，改變了題目中給出的三個(gè)點(diǎn)，問題發(fā)生了形變：“拋物線過（-1，10），（3，10），（1，-5）三點(diǎn)，求此拋物線解析式.”學(xué)生用剛剛獲得的經(jīng)驗(yàn)，很快可以發(fā)現(xiàn)（1，-5）這個(gè)點(diǎn)仍然是頂點(diǎn)，進(jìn)而設(shè)頂點(diǎn)式. 教者沒有滿足于現(xiàn)狀，為了進(jìn)一步加深對概念的理解，形再變：“根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求函數(shù)解析式. ”學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)（1，-5）這個(gè)點(diǎn)仍然是頂點(diǎn)，還可設(shè)頂點(diǎn)式，再另選一對對應(yīng)值代入即可.

第三組變化——形變而神未變. 例：拋物線在x軸上截得的線段長為4，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-2），求此拋物線的解析式.學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)借助于拋物線的軸對稱性，得到拋物線與x軸兩交點(diǎn)到對稱軸直線x = 3的距離都是2，從而寫出這兩個(gè)交點(diǎn)分別是（1，0）和（5，0），問題得解. 這時(shí)教者及時(shí)推出形變：“拋物線與直線y = 3兩交點(diǎn)間的距離是4，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-2），求此拋物線的解析式.”借助于原題的研究，運(yùn)用類似的方法同學(xué)們很快就找到了思路. 思維的通暢讓同學(xué)們有了更多的躍躍欲試，教者適時(shí)推出了形變神未變：“拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB = 4，對稱軸為直線x = 3，頂點(diǎn)為點(diǎn)C，且S△ABC = 4，求此拋物線的解析式.”同學(xué)們紛紛提出自己的見解，在生生互動(dòng)中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題中的頂點(diǎn)可能在x軸上方，也可能在下方，所以是多解問題，解題時(shí)容易漏解. 為了進(jìn)一步拓寬同學(xué)們的思維，教者又提出形變而神似的問題：“拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離為3，且經(jīng)過點(diǎn)（2，8）和（0，-4），求此拋物線的解析式.”經(jīng)過師生互動(dòng)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)仍然是抓住對稱性，明確兩交點(diǎn)間的關(guān)系，可設(shè)左邊的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y = a（x - x1）（x - x1 - 3），然后把其余兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解決問題.

通過這三組變化，同學(xué)們的思維得到了錘煉和提升，也明確了自我研究、自我拓展的方向. 由于這樣的變化，學(xué)生對概念的內(nèi)涵、外延有了更深的認(rèn)識和體會(huì)，也明確了學(xué)習(xí)研究的方法，學(xué)習(xí)能力得到了較大的提升.

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