淺談分類思想的教學(xué)策略

王友祥

本文針對(duì)部分學(xué)生不會(huì)分類，分類不全面，標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一以至有畏難情緒等現(xiàn)狀，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，提出分類討論的三個(gè)教學(xué)策略，以求學(xué)生能理解分類討論思想方法的含義，初步掌握該方法的解題步驟，能夠運(yùn)用分類討論思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一、分類討論的教學(xué)策略（一）

“按需求而分”.在中學(xué)教學(xué)中，根據(jù)研究對(duì)象，數(shù)學(xué)的問(wèn)題過(guò)程需要進(jìn)行分類討論，需要是根本，在教學(xué)中，應(yīng)挖掘教材，采用分類討論思想方法解決有關(guān)教學(xué)問(wèn)題.同時(shí)，一定要讓學(xué)生體驗(yàn)到分類討論的必要性，是因解決問(wèn)題的需要而討論進(jìn)而逐步化為學(xué)生的思想意識(shí)。

1.有些概念本身就是分類定義（如絕對(duì)值）.有些性質(zhì)就應(yīng)分類表達(dá)（如指數(shù)、對(duì)數(shù)性質(zhì)）

例1.設(shè)a>1，解關(guān)于x的不等式logaax2

分析：原不等式化為1+2logaax

①logax≤-■；②-■

2.用一些公式、法則、定理等應(yīng)用范圍的限制需要討論

例2.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），求在x、y軸截距相等的直線方程.

分析：設(shè)在x軸、y軸截距分別為a、b，依題有兩類情況：

①a=b≠0；②a=b=0

解：設(shè)在x軸，y軸上的截距分到為a、b，依題意得：

①a=b≠0，設(shè)所求直線方程■+■=1，把M（1，2）代入■+■=1

求得a=3，即所求直線方程為■+■=1，即x+y-3=0.

②a=b=0，設(shè)所求直線方程y=（k≠0），把M（1，2）代入y=kx求得k=2，即所求直線方程y=2x.

故所求直線方程x+y-3=0或y=2x.

例3.已知橢圓■+■=1的離心率e=■，則m的值___.

分析：分焦點(diǎn)在x軸y軸兩類情況解m值.

①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，則a2=5，b2=m，解得m=3.

②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，則a2=m，b2=5，解得m=7.

故所求的m值為3或7.

3.含有參數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)研究對(duì)象的不同類型需分類討論

例4.已知a∈R，求函數(shù)f（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間.

分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.

解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)：f'（x）=2x.eax+ax2.eax=（2x+ax2）eax.

①當(dāng)a=0時(shí)，若x<0，則f'（x）<0，若x>0，則f'（x）>0.所以當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；

②當(dāng)a>0時(shí)，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，由2x+ax2<0解得-■0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；

③當(dāng)a<0時(shí)，由2x+ax2>0，解得0-■，所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-■）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-■，+∞）內(nèi)為減函數(shù).

從此題可看出：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性在近幾年新課程高考中經(jīng)常出現(xiàn)，這樣的問(wèn)題，往往與解含字母參數(shù)的不等式綜合到一起，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)命題的高考命題思想，解答這種問(wèn)題，學(xué)生易錯(cuò)之處在于對(duì)字母參數(shù)的分類討論.

二、分類討論的策略（二）

恰當(dāng)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏，分類討論解決問(wèn)題。首先根據(jù)問(wèn)題的需要而分類討論，其次確定劃分標(biāo)準(zhǔn)，同一次分類要按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，（1）對(duì)事件的整體分類；（2）根據(jù)需要，局部再分類.

例1.已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，A∩B含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)，①C（A∪B）且C中含有3個(gè)元素；②C∩A≠Φ.

分析：由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分為兩類：①屬于A的元素；②不屬于A的元素而屬于B的元素，并由集合A中元素的個(gè)數(shù)1，2，3而將取法又分3種.

解：C112C28+C212C18+C312C08=1084

例2.從7名運(yùn)動(dòng)員中選出4名組成4×100接力隊(duì)，其中甲、乙二人都不跑中間兩棒的安排方法數(shù)為多少？

分析：此問(wèn)題可分為兩個(gè)步驟解決，先決定誰(shuí)參加接力隊(duì)，再安排他們的跑棒順序，從7名運(yùn)動(dòng)員選4名組成接力隊(duì)，是組合問(wèn)題，依題意要考慮三種情況：4人中不含甲和乙；4人中只含甲、乙之一；4人中同時(shí)包含甲和乙.

解：C45A44+2C35A12A33+C25A22A22=400

三、分類討論的數(shù)學(xué)策略（三）

盡量避免討論.在高中教學(xué)過(guò)程，有時(shí)候分類討論是解決問(wèn)題的必須，但有時(shí)候通過(guò)認(rèn)真分析問(wèn)題的本質(zhì)意義，采用代換的方法，換一種思維方式解決問(wèn)題，常可避免繁雜討論，給出簡(jiǎn)潔的解法.

例1.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2■）、Q（-6■，7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析：若分焦點(diǎn)在x軸，y軸由上兩種情況分別求解，得出結(jié)論，過(guò)程較復(fù)雜，運(yùn)算大且易出錯(cuò)，若直接設(shè)所求雙曲線方程為Ax2+By2=1（AB<0），將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入聯(lián)立方程組求A、B值，這樣就避免討論，又計(jì)算量較小且不易出錯(cuò).

例2.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-2x+2，對(duì)于滿足1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析1：本題為含參數(shù)二次函數(shù)問(wèn)題，常規(guī)思路是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值，通過(guò)對(duì)a的不同取值情況，進(jìn)行討論，突現(xiàn)問(wèn)題的解決.（答案：a>■）.

分析2：通過(guò)變重分離得：a>■-■=■-2（■-■）2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的最大值，簡(jiǎn)化（避免）了討論的過(guò)程.

從此題看，分析1應(yīng)用分類討論法，其余解法體現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想，避免分類討論，解法較簡(jiǎn)潔.

總之，在各個(gè)模塊的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生逐步滲透用分類討論等數(shù)學(xué)思想去解決問(wèn)題.

（作者單位 福建省漳州龍海程溪中學(xué)）

？誗編輯 董慧紅