“如切如磋”的數(shù)學(xué)反例教學(xué)

陳艷

摘 要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“反例”有助于鞏固與強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，理解與掌握概念、定理，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。本文從數(shù)學(xué)概念、定理和公式的理解與掌握這三個側(cè)面談如何運(yùn)用反例教學(xué)

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；反例；教學(xué)

引言：這是一個關(guān)于數(shù)學(xué)反例的小故事：

18世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家歐拉在證明了費(fèi)爾馬方程后，提出了一個猜想：x1n+x2n+…+xn-1n=xnn（n≥4）無正整數(shù)解。此后，在長達(dá)兩個世紀(jì)的時間里，都沒有人能夠否認(rèn)歐拉猜想的正確性。直到1966年，L.J.Lander和T.R.Parkin利用電子計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)了：275+845+1105+1335=1445，對于n=4的情形，在1987年，哈佛大學(xué)的N.Elkies也找到了反例：26824404+153656394+187967604=206156734，后來R.Frye又找到了更小的反例：958004+2175194+4145604=

4224814。

正如數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆與奧斯特德在《分析中的反例》一書中所指出的，數(shù)學(xué)是有證明和反例組成的，數(shù)學(xué)是想著提出證明和構(gòu)造反例的方向不斷發(fā)展的。一個數(shù)學(xué)命題需要嚴(yán)密的證明才能肯定其正確性，而一個巧妙的反例就可以否定一個命題的正確性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“反例”對鞏固與強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，理解與掌握概念、定理，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)等有著極為重要的意義。

一、運(yùn)用反例，層層推進(jìn)概念的理解與掌握

矛盾沖突是事物發(fā)展的根本動力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，矛盾沖突同樣有助于激活學(xué)生思維，優(yōu)化理性思維品質(zhì)。我國有句古話叫“如切如磋，如琢如磨”，我認(rèn)為這句話放在這里也是很合宜的。通過運(yùn)用反例，激起思維上的矛盾沖突，在辨析中深刻概念的理解與掌握。臺大教授黃武雄也說過“導(dǎo)引定義，經(jīng)?？梢詮姆蠢帧?。

二、運(yùn)用反例，熟練定理或性質(zhì)的掌握與運(yùn)用

數(shù)學(xué)定理具有科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，定理的描述往往都是條件句，而定理的證明也多是從假設(shè)出發(fā)，才推出結(jié)論的。而一些學(xué)生在記憶的時候，往往忽略了定理中的“條件”，對“條件”有誤，就會導(dǎo)致定理的運(yùn)用錯誤。

例如，在學(xué)習(xí)全等三角形的判定時，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生有兩種錯誤：其一認(rèn)為不僅“邊邊邊、邊角邊、角角邊、角邊角”的情況下三角形全等，而且滿足“角角角”的情況下三角形也全等。這時候，我僅僅只是舉起了一塊三角板，學(xué)生就明白了，因?yàn)樵谶@塊直角三角板的內(nèi)部還有一個鏤空的三角形，內(nèi)外兩個直角三角形的角均對應(yīng)相等，但三角形顯然不全等。

又例如，在學(xué)習(xí)“有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生將這個“夾”字給忽略了，記成“有兩邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”這時候，我就在黑板上畫了：

當(dāng)然，在對定理的拓展延伸階段仍可以巧用反例，在認(rèn)識到“有兩邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”這句話不正確以后，我提出了“只有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形一定不全等么？”結(jié)合圖1有學(xué)生想到，加入這個角對應(yīng)的是這個三角形中最大的一邊，則兩個三角形是全等。然后，我又讓學(xué)生仿照這個格式，尋找滿足“只有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”命題的條件還有哪些，在經(jīng)過較長時間的思考后，學(xué)生陸續(xù)提出，“當(dāng)已知的等角是直角時，命題成立”“若兩個三角形都是兩個鈍角三角形，則命題成立”“若兩個三角形都是銳角三角形，則命題成立”等等。

通過這樣的證明與反例交替的學(xué)習(xí)，學(xué)生對定理或性質(zhì)的理解就不再僅僅局限于文字表面了，對定理的熟練運(yùn)用也十分有益。

在一些命題和性質(zhì)的證明中，應(yīng)用反例的方法，就是數(shù)學(xué)中最常見的反證法。對一些命題，直接證明不易入手，而應(yīng)用反證法，往往會豁然開朗。如，命題中帶有“沒有”“不能”“不是”字樣的否定性命題就適于用反證法。例如“求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角?！币阎螦、∠B、∠C是△ABC的三個內(nèi)角，求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個鈍角。那么，我們就可以假設(shè)∠A、∠B是鈍角，即∠A>90°，∠B>90°，則∠A+∠B+∠C>180°，與定理“三角形內(nèi)角和為180°”的定理矛盾，因此，假設(shè)不成立，即在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。

此外，像帶有“至多、至少”字樣的限定性命題、帶有“總是、全部”字樣的全肯定命題都適用反證法來證明。而對某些命題的逆命題的證明，應(yīng)用反證法進(jìn)行證明時可以使用原命題的結(jié)論，為解題帶來便捷。

三、運(yùn)用反例，準(zhǔn)確掌握和運(yùn)用公式

很多數(shù)學(xué)的公式的運(yùn)用是有其前提條件的，學(xué)生在初學(xué)的時候，往往忽略了這些條件，在運(yùn)用公式的時候就經(jīng)常犯錯。面對這種情況，我經(jīng)常會給學(xué)生設(shè)下個小圈套，假如學(xué)生“中計(jì)”我正好將條件在這時候抖落出來，加深學(xué)生對錯誤的認(rèn)識，再不敢粗心大意的用公式了。

反例對幫助學(xué)生澄清是非，認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)用公式有十分積極的教學(xué)意義。

四、運(yùn)用反例教學(xué)應(yīng)注意的問題

在教學(xué)中運(yùn)用反例，最大的目的在于幫助學(xué)生換位思考，不要老師糾結(jié)命題為什么對，而是去思考命題為什么錯，錯在哪？在運(yùn)用反例教學(xué)的時候，需要注意以下問題。

首先，反例的引入要合理。反例教學(xué)雖好，但一節(jié)課上用的過多，也會讓學(xué)生生厭，適得其反。反例的設(shè)計(jì)要合理，要切合學(xué)生練習(xí)中常出現(xiàn)的錯誤，對學(xué)生起到警示、糾錯的作用。對癥下藥，才能藥到病除。其次，反例要有知識梯度。即運(yùn)用反例要考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既要注意難度程度的遞進(jìn)，又要針對學(xué)生的反應(yīng)適時地給學(xué)生搭建踏板，幫助他們實(shí)現(xiàn)知識過渡。最重要的是，運(yùn)用反例要有針對性，要有指向性，要針對本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)或教學(xué)重難點(diǎn) [3]。

反例教學(xué)不僅能幫助學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)概念、定理和公式，還能幫助學(xué)生糾錯、培養(yǎng)他們的邏輯思維和創(chuàng)新思維，提高他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。此外，學(xué)會舉反例，更有助于學(xué)生形成批判意識。可見反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值是巨大的，我們不僅要重視命題證明方面的教學(xué)，也要重視反例教學(xué)。使學(xué)生在“證明”與“反例”的“切磋”中，全面掌握數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]王曉勇. 反例在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的價值[J]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（16）.

[2]凌建民. 運(yùn)用反例，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)[J]中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué)，2014（7）.

[3]張?jiān)ＨA. 淺析初中數(shù)學(xué)反例教學(xué)實(shí)施的具體要求[J]理科考試研究·數(shù)學(xué)版，2013（11）.