二維傅立葉變換的教學(xué)實(shí)踐

楊 文，何 楚

(武漢大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北武漢 430072)

“數(shù)字圖像處理”是高校電子信息類專業(yè)的選修課。該課程的開設(shè)，學(xué)生可以藉此掌握?qǐng)D像處理的基本概念，基本性質(zhì)及基本算法，獨(dú)立的編寫圖像處理程序，能提高處理圖像、分析圖像和理解圖像的能力。

文獻(xiàn)［1-4］已對(duì)“數(shù)字圖像處理”總體課程乃至具體章節(jié)的教學(xué)改革與實(shí)踐進(jìn)行了有意義的探索。本文針對(duì)當(dāng)前“數(shù)字圖像處理”課程的教學(xué)現(xiàn)狀，以二維傅立葉變換章節(jié)為例介紹幾點(diǎn)教學(xué)實(shí)踐探索和體會(huì)，對(duì)二維傅立葉變換的內(nèi)容和重難點(diǎn)進(jìn)行解析。

1 二維傅立葉變換內(nèi)容解析

二維傅立葉變換2-Digital Fourier Transform(2DFT)的教學(xué)內(nèi)容分為4部分:背景知識(shí)、傅立葉變換及實(shí)現(xiàn)、傅立葉譜及應(yīng)用和最新進(jìn)展。

筆者在教學(xué)實(shí)踐中具體分為五個(gè)步驟:①通過(guò)線性系統(tǒng)以及相關(guān)發(fā)展歷史引出傅立葉變換，然后從一維傅立葉變換拓展到二維傅立葉變換;②基于核函數(shù)的概念分析和理解圖像的傅立葉變換，通過(guò)具體實(shí)例了解2DFT的計(jì)算過(guò)程;③探討傅立葉變換的幅度譜和相位譜，分析和比對(duì)僅通過(guò)幅度譜或相位譜重建，加深對(duì)傅立葉變換的本質(zhì)含義和各種變化的理解;④介紹2DFT的相關(guān)應(yīng)用，并用相關(guān)的程序語(yǔ)言進(jìn)行演示;⑤介紹傅立葉變換的最新發(fā)展:稀疏傅立葉變換及其應(yīng)用［5］。

我們?cè)谥v授過(guò)程中對(duì)步驟①和④作簡(jiǎn)要介紹，把重點(diǎn)放在步驟②和③，步驟⑤的內(nèi)容則讓學(xué)生先在課外做文獻(xiàn)檢索調(diào)研，然后在課堂上分組匯報(bào)。

傅立葉變換是圖像處理中最常用的變換，它是進(jìn)行圖像處理和分析的有力工具。通過(guò)本節(jié)教學(xué)要讓學(xué)生弄清楚傅里葉變換實(shí)際上是一個(gè)積分變換，因此要研究的數(shù)字化信號(hào)和圖像應(yīng)該是有限延續(xù)和有界的函數(shù)。其次，要讓學(xué)生深入理解圖像的頻率這個(gè)容易造成誤解的概念。從物理意義上說(shuō)，周期的倒數(shù)即為頻率。而對(duì)圖像信號(hào)來(lái)說(shuō)，頻率是指單位長(zhǎng)度內(nèi)亮度做周期性變化的次數(shù)。換言之，圖像的頻率是圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，即灰度在平面空間上的梯度，在噪聲點(diǎn)和圖像邊緣處的頻率為高頻。對(duì)圖像做二維傅立葉變換得到頻譜圖，實(shí)際上就是圖像的梯度分布圖。最后讓學(xué)生通過(guò)Matlab編程動(dòng)手操作，進(jìn)一步熟悉2DFT的性質(zhì)和圖像處理應(yīng)用，親眼見(jiàn)證用所學(xué)的理論知識(shí)對(duì)圖像處理的結(jié)果。

2 教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題

二維傅立葉變換這一章節(jié)的理論性和實(shí)踐性較強(qiáng)，其中涉及大量的數(shù)學(xué)公式和理論推導(dǎo)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高。而學(xué)生對(duì)枯燥的公式和理論推導(dǎo)一般都缺乏興趣，很難對(duì)抽象的理論形成具體的印象，學(xué)習(xí)效果較差。具體表現(xiàn)在很多學(xué)生課后對(duì)圖像的頻率概念還是很模糊，對(duì)傅立葉變換的幅度譜和相位譜的含義也不清楚。同時(shí)，該章節(jié)還要求學(xué)生具備一定的編程能力，能夠?qū)⒗碚撝R(shí)以程序化語(yǔ)言進(jìn)行描述實(shí)現(xiàn)。而在課程設(shè)置中，學(xué)生僅學(xué)習(xí)過(guò)基礎(chǔ)的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，而且編程實(shí)踐較少，將理論知識(shí)編程實(shí)現(xiàn)的能力較弱，致使教與學(xué)脫節(jié)。比如要求基于Matlab平臺(tái)自行設(shè)計(jì)一個(gè)平滑尺度和模板大小均可變的高斯平滑濾波器，很多學(xué)生對(duì)于這樣的問(wèn)題，不知從何下手。

由于二維傅立葉變換教學(xué)具有以上特點(diǎn)，傳統(tǒng)以課堂為中心、以教師為中心、以教材為中心的教學(xué)模式很難達(dá)到預(yù)期的效果。下面結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐介紹幾種提高教學(xué)效果的方法。

3 提高教學(xué)效果的思考與方法

1)基于問(wèn)題的啟發(fā)式教學(xué)

教師在教學(xué)中，要始終注意以學(xué)生為中心，采用啟發(fā)式和提問(wèn)式教學(xué)，開拓學(xué)生的發(fā)散性思維。因此在教學(xué)實(shí)踐中筆者首先通過(guò)引入一些與講課內(nèi)容相關(guān)的小問(wèn)題以引出要講述的內(nèi)容，比如什么是傅立葉變換?為什么要進(jìn)行傅立葉變換?圖像的傅立葉變換的本質(zhì)是什么?其有什么樣的性質(zhì)和用途?我們從抽象到具體，逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行分析并獲得正確的理解，培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

其次，在課堂上注意啟發(fā)學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)相關(guān)的性質(zhì)和規(guī)律，比如基于Matlab對(duì)Lena標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像進(jìn)行傅立葉變換，讓學(xué)生仔細(xì)觀察線、細(xì)節(jié)、背景或平滑區(qū)域?qū)?yīng)的空間頻率特性，對(duì)比發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的規(guī)律，教師再進(jìn)行總結(jié)歸納。

最后，對(duì)于難以理解的知識(shí)點(diǎn)采用提問(wèn)—探索—解答的模式進(jìn)行講解。例如提出如下問(wèn)題:①在傅立葉變換中，為什么f(x)直接與每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的正余弦函數(shù)求相關(guān)，而不是將與其他頻域正余弦函數(shù)表達(dá)之后的剩余部分來(lái)求相關(guān)?(通過(guò)這個(gè)問(wèn)題理解正交基底的重要性);②傅立葉變換中，僅通過(guò)幅度譜或相位譜信息進(jìn)行重建會(huì)有什么效果?(這個(gè)問(wèn)題理解相位信息的重要性);③為什么在信號(hào)或圖像處理中通常只對(duì)幅度譜進(jìn)行處理?(籍此問(wèn)題探究傅立葉變換應(yīng)用中的實(shí)際問(wèn)題)。

2)基礎(chǔ)理論與編程實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合

在教學(xué)實(shí)踐中推導(dǎo)公式時(shí)，要強(qiáng)調(diào)公式背后所體現(xiàn)的物理概念和意義，將方法和原理講解透徹后，注重讓學(xué)生掌握其具體實(shí)現(xiàn)和工程應(yīng)用。

二維傅立葉變換章節(jié)的研究對(duì)象基本上都是直觀的圖像，算法的作用效果也用圖像的形式顯示，圖像比語(yǔ)言更直觀，更容易被學(xué)生感知。

例如，以Matlab實(shí)例現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)行的方式，對(duì)算法的效果用幻燈片進(jìn)行演示，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于圖像變換中的二維傅立葉變換，一般課程中的實(shí)例都是數(shù)據(jù)到數(shù)據(jù)，而該課程的實(shí)例是圖像到圖像。在講解變換原理的同時(shí)，可以通過(guò)對(duì)比變換前后的圖像實(shí)例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，更直觀地表達(dá)二維傅立葉變換的作用。

圖1給出了Matlab實(shí)例課堂現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)行的僅利用圖像的傅立葉變換幅度譜信息和相位譜信息的Lena圖像重建效果。我們結(jié)合理論分析和圖象效果比較，可使學(xué)生很容易理解:幅度譜決定了一幅圖像中含有的各種頻率分量的多少，而相位譜決定了每一種頻率分量在圖像中的位置。只要每一種頻率分量保持在圖像中的正確位置，那么圖像的完整性就能得到地保持。

圖1 Lena圖像重建實(shí)驗(yàn)比較

為使學(xué)生進(jìn)一步理解相關(guān)的理論或方法，需要將抽象的數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)換為具體的程序語(yǔ)言，在該過(guò)程中應(yīng)為學(xué)生梳理圖像處理的基本步驟，以提高學(xué)生的科學(xué)思維能力和編程能力。同時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度開設(shè)一定的實(shí)驗(yàn)課，教師先講解實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，然后讓學(xué)生嘗試設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法和步驟并動(dòng)手實(shí)現(xiàn)。一般會(huì)遇到某些問(wèn)題，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)無(wú)法順利進(jìn)行，這時(shí)需要教師觀察學(xué)生遇到的主要問(wèn)題，并有針對(duì)性地講解解決這些問(wèn)題的方法。問(wèn)題排除后，學(xué)生再次修改實(shí)驗(yàn)方法和代碼繼續(xù)推進(jìn)實(shí)驗(yàn)進(jìn)程。我們通過(guò)給學(xué)生課后布置相關(guān)的綜合性應(yīng)用編程實(shí)踐，編程實(shí)踐可進(jìn)一步幫助他們綜合利用課程所學(xué)的內(nèi)容建立對(duì)二維傅立葉變換的感性認(rèn)識(shí)和本質(zhì)理解，培養(yǎng)其動(dòng)手實(shí)踐能力。

3)學(xué)生上講臺(tái)匯報(bào)

為了提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，筆者將教學(xué)步驟⑤的內(nèi)容僅以提綱形式給出，然后讓學(xué)生在課外進(jìn)行檢索、調(diào)研、備課并分組上講臺(tái)匯報(bào)，為他們提供充分展示自我的舞臺(tái)。這部分主要介紹美國(guó)由麻省理工學(xué)院研究出的稀疏傅里葉變換SFT(Sparse Fourier Transform)及其應(yīng)用。該算法主要利用了信號(hào)的稀疏性，對(duì)數(shù)據(jù)流的處理速度要比快速傅里葉變換高10至100倍，是繼20世紀(jì)60年代中期提出快速傅里葉變換FFT之后的又一重要突破。

學(xué)生在匯報(bào)前需通過(guò)自學(xué)整理相關(guān)技術(shù)的最新發(fā)展，同時(shí)也要復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)過(guò)的傅立葉變換的相關(guān)知識(shí)，并通過(guò)自己動(dòng)手編程對(duì)比展示采用最新的稀疏傅立葉變換和傳統(tǒng)快速傅立葉變換進(jìn)行圖像和視頻處理的效果，匯報(bào)完畢后還要回答教師和其他學(xué)生的提問(wèn)。教師可以綜合學(xué)生課堂匯報(bào)和回答問(wèn)題的情況給學(xué)生評(píng)分，并就匯報(bào)內(nèi)容和效果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，同時(shí)及時(shí)補(bǔ)充和修正相關(guān)學(xué)生匯報(bào)不到位的內(nèi)容，并補(bǔ)充講解學(xué)生不熟悉的其他內(nèi)容。這樣不僅能鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，語(yǔ)言組織與表達(dá)能力，而且能使學(xué)生根據(jù)教師的點(diǎn)評(píng)及時(shí)地查漏補(bǔ)缺，進(jìn)而對(duì)相關(guān)的理論知識(shí)有更深刻的理解和把握，同時(shí)也提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)和技術(shù)的融會(huì)貫通和隨機(jī)應(yīng)變的能力。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)“數(shù)字圖像處理”課程中二維傅立葉變換章節(jié)的教學(xué)實(shí)踐，采用了多種手段來(lái)提高教學(xué)效果。從網(wǎng)上評(píng)教系統(tǒng)的結(jié)果來(lái)看，學(xué)生對(duì)教學(xué)效果的總評(píng)成績(jī)由沒(méi)采用這些教改方法之前的92分提高到了現(xiàn)在的96.5分，學(xué)生普遍反映這些改進(jìn)措施進(jìn)一步激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情和興趣，有效地提高了課程的教學(xué)效果。對(duì)于今后的教改工作還需要進(jìn)一步地深入思考，不斷改革和探索。

［1］李樹濤.基于理論-設(shè)計(jì)-實(shí)踐的數(shù)字圖像處理研究性教學(xué)模式研究［J］，蘭州:高等理科教育，2009，(5):58-61

［2］魏廣芬，王永強(qiáng)，丁昕苗，何愛(ài)香.數(shù)字圖像處理課程教學(xué)改革的嘗試［J］，南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31(6):24-25

［3］鄭慧誠(chéng)，“數(shù)字圖像處理”課程教學(xué)實(shí)踐與探討［J］，南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2012，34(3):71-73

［4］鄧?yán)^忠，金濟(jì)，陳羽白.基于PBL模式的數(shù)字圖像處理實(shí)踐教學(xué)探索［J］，上海:實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2012(9):139-141

［5］H.Hassanieh，P.Indyk，D.Katabi，E.Price.Simple and Practical Algorithm for Sparse Fourier Transform，Proceedings of the Twenty-Third Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms(SODA)，Kyoto，Japan，17-19 January，2012:1183-1194