芻議初中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論法

黃倩

摘 要：分類(lèi)討論既是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)也是重點(diǎn)，在歷屆中考中通常以較難的題型出現(xiàn)，大多數(shù)同學(xué)容易丟分。為了能使同學(xué)們更深刻、更全面地掌握好這一數(shù)學(xué)思想方法，本文從分類(lèi)方法、分類(lèi)原則、分類(lèi)方法的運(yùn)用三大方面做一淺析。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；分類(lèi)討論法；應(yīng)用探討

中圖分類(lèi)號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）03-314-01

分類(lèi)討論既是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)也是重點(diǎn)，在歷屆中考中通常以較難的題型出現(xiàn)，大多數(shù)同學(xué)容易丟分。為了能使同學(xué)們更深刻、更全面地掌握好這一數(shù)學(xué)思想方法，下面我從分類(lèi)方法、分類(lèi)原則、分類(lèi)方法的運(yùn)用三大方面談一談。

一、分類(lèi)方法

1、分類(lèi)及其要素

分類(lèi)是根據(jù)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)將對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的基本的邏輯方法，分類(lèi)也叫劃分。

數(shù)學(xué)中的分類(lèi)是，按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的一種思想方法。

分類(lèi)以比較為基礎(chǔ)，通過(guò)比較識(shí)別出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象歸并為較大的類(lèi)，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為較小的類(lèi)；從而將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級(jí)系統(tǒng)。

分類(lèi)具有三要素：

（1）母項(xiàng)，即被劃分的對(duì)象；

（2）子項(xiàng)，即劃分后所得的類(lèi)概念；

（3）根據(jù)，即劃分的標(biāo)準(zhǔn)。

2、分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)

分類(lèi)的關(guān)鍵在于正確選擇分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)科學(xué)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)⑿枰诸?lèi)的數(shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)行不重復(fù)、無(wú)遺漏的劃分。

例如，將平行四邊形分成矩形、菱形、正方形是不恰當(dāng)?shù)?。因?yàn)樵诰匦魏土庑沃卸及叫?，而且還存在大量的既不是矩形也不是菱形的平行四邊形。又如，將自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)也是不正確的，因?yàn)檫z漏掉“l(fā)”這個(gè)既非質(zhì)數(shù)又非合數(shù)的自然數(shù)。

3、現(xiàn)象分類(lèi)與本質(zhì)分類(lèi)

數(shù)學(xué)分類(lèi)有現(xiàn)象分類(lèi)和本質(zhì)分類(lèi)的區(qū)別。所謂現(xiàn)象分類(lèi)，是指僅僅根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的外部特征或外部聯(lián)系進(jìn)行分類(lèi)。這種分類(lèi)往往把本質(zhì)上相同的對(duì)象分為不同的類(lèi)別，而把本質(zhì)上不相同的對(duì)象歸為同一類(lèi)別。所謂本質(zhì)分類(lèi)，即根據(jù)事物的本質(zhì)特征或內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行分類(lèi)

二、分類(lèi)的原則

任何分類(lèi)，都必須遵循下列四個(gè)原則。

1、不重復(fù)

不重復(fù)，即要求分類(lèi)應(yīng)是純粹的。

2、無(wú)遺漏

無(wú)遺漏，即要求分類(lèi)應(yīng)是完備的，從量的方面要求一個(gè)不能少。

3、標(biāo)準(zhǔn)同一

是在一次分類(lèi)中只能按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，兩者不可混淆。

4、按層次逐步劃分

分類(lèi)應(yīng)取被分類(lèi)概念最鄰近的概念按步驟進(jìn)行，不能越級(jí)，應(yīng)按層次逐步進(jìn)行。否則就會(huì)出現(xiàn)越級(jí)劃分的錯(cuò)誤。

三、分類(lèi)方法的應(yīng)用

1、分類(lèi)可使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化

通過(guò)分類(lèi)可以使大量繁雜的知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，有助于人們更好地掌握知識(shí)和形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并為進(jìn)行分門(mén)別類(lèi)的深人研究創(chuàng)造條件。

2、分類(lèi)討論

所謂分類(lèi)討論，就是在解決問(wèn)題時(shí)，根據(jù)解題需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)的、合理的分類(lèi)，然后逐類(lèi)進(jìn)行討論，從而使問(wèn)題得到圓滿(mǎn)解決。數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類(lèi)討論”的原因大致有如下幾個(gè)方面。

（1）由概念的定義引起的討論

數(shù)學(xué)中許多概念的定義是分類(lèi)給出的，如絕對(duì)值、平方根、一元二次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等。當(dāng)題目中涉及到這些概念時(shí)就需要進(jìn)行分類(lèi)討論。

例1：求y=√ax-2a+1的定義域。

分析：由ax-2a+1≥0得ax≥2a-1，于是

當(dāng)a=0時(shí)，x是任何實(shí)數(shù)

例2：在平面內(nèi)，已知一直線(xiàn)n外的兩點(diǎn)A、B到直線(xiàn)n的距離分別為a、b（a

分析：必須考慮到在直線(xiàn)n外的兩點(diǎn)A，B與直線(xiàn)n的位置關(guān)系是不確定的，有兩點(diǎn)在直線(xiàn)n的同側(cè)與異側(cè)兩種情況 .

（1）由問(wèn)題中含有字母參數(shù)引起的討論

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有字母參數(shù)，隨著參數(shù)取值的不同，會(huì)使問(wèn)題出現(xiàn)不同的結(jié)果。遇到這類(lèi)問(wèn)題，需要對(duì)字母參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論。

（2）由于問(wèn)題提供的情景比較復(fù)雜需要分類(lèi)討論

例3：從5雙不同尺碼的鞋子中任取4只，其中至少有2只配成一雙，有多少不同的取法？

解法一：由于“任取4只鞋子，其中至少有2只配成1雙”，實(shí)際上包括兩種情況：

一類(lèi)是，4只中只有2只配成一雙；另一類(lèi)是，4只中恰好配成兩雙。

解法二：如果沒(méi)有限制條件，從5雙中任取4只，共有120種取法。所有這些取法可以分為兩類(lèi)：

一類(lèi)是，4只中沒(méi)有2只能配成一雙的取法；

另一類(lèi)是，4只中至少有2只配成一雙的取法，這正是所要求的取法。