為“數(shù)學地思考”而教

陳紅娟

數(shù)學地思考是數(shù)學知識的本質(zhì)特征。主要體現(xiàn)在數(shù)學的思維方式，涉及抽象思維、形象思維、統(tǒng)計觀念、合情推理與演繹推理能力等諸多方面。這些數(shù)學思維方式幫助人們面臨各種問題情境（包括非數(shù)學問題）時，能夠從數(shù)學的角度去思考問題，能夠發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)學現(xiàn)象，并運用數(shù)學的知識與方法去解決問題。張奠宙先生曾說：數(shù)學是“思考、思考、再思考”的學科。圍繞數(shù)學思考展開的數(shù)學教學，可以稱為“數(shù)學思考”教學。

朱樂平老師執(zhí)教的“用字母表示數(shù)”一課，為我們在如何體現(xiàn)“數(shù)學思考”方面做了很好的詮釋?！坝米帜副硎緮?shù)”是由具體的、確定的數(shù)過渡到用字母表示抽象的、可變的數(shù)，是學生從算術(shù)走向代數(shù)認識上的一個飛躍。如何在學生的頭腦中實現(xiàn)由“具體的數(shù)”向“抽象的字母”跨越呢？這也是小學數(shù)學教學中大家感興趣的課題，其內(nèi)容主要包括用字母表示數(shù)、用字母表示運算定律和計算公式、用字母表示數(shù)量關(guān)系三部分內(nèi)容。本文擬結(jié)合朱老師執(zhí)教的這一課例，就如何進行“數(shù)學思考”的教學提出看法。

一、課例剖析

【片段描述1】用字母表示具體數(shù)——撲克牌中的字母

課件逐個出示撲克牌A、2、3……10，學生一起依次往下說；接著著重引出J、Q、K，代替11、12、13；然后老師挑出兩張（出示：7和K），這兩張哪一張大，為什么？（等待20秒左右，學生逐漸活躍起來發(fā)表不同意見）

【分析】

撲克牌中的字母和數(shù)列中的字母本身僅代表某一個特定的數(shù)。此時，字母和數(shù)之間存在的一一對應關(guān)系，在兒童的數(shù)學理解中，撲克牌中的字母可以“代替”某一個數(shù)，顯然，“代替”不等于“表示”。片段一中“老師挑出兩張（出示：7和K），這兩張哪一張大，為什么？” 朱老師這樣的啟發(fā)式提問，引導學生參與有條理地思考并表達自己的思考過程。當然我們應注意逐步發(fā)展學生有條理的思考和表達能力，可以讓學生經(jīng)歷佐證、對具體情況進行解釋、運用自己的語言說明理由、嚴格證明等階段。

【片段描述2】用字母表示計算公式——儲蓄罐中的字母表示式子

出示一個儲蓄罐，在發(fā)現(xiàn)罐子里面硬幣的個數(shù)可以用C表示后，接連出示4個問題：1.又放進了3個硬幣是多少？C+3；2.拿出2個硬幣是多少？C-2；3.每個罐里都有C個硬幣，那么3個儲蓄罐里有幾個硬幣？C×3；4.一個儲蓄罐的錢平均分給5個人，每個人得多少？C÷5。

【分析】

我們知道，要理解字母可以表示“未知數(shù)”本身并不難，但要真正理解“含有字母的式子”可以表示一種運算，又可以表示運算結(jié)果，對學生而言有相當?shù)碾y度。在學生形成的經(jīng)驗中，一切含有運算符號的式子，都只能表示一種運算。“C+3”既可以表示將C和3合并到一起的運算或過程，同時它也是一個獨立的對象（概念的兩重性，“過程—對象”），通俗地說，“C+3”也是一個結(jié)果。

該片段朱老師運用學生熟悉儲蓄罐的學情，通過大量的學生猜測、解釋、歸納，得出“都是有可能的，這樣有很多種可能的”用字母C表示。在這樣的基礎上，朱老師以“我再放進去三個一元硬幣，那么它現(xiàn)在里面有多少錢了呢”為題，引導學生進行富有針對性的思考。其目的不言而喻，希望學生能夠?qū)ζ渥鳛榻Y(jié)果的“C+3”有一個初步的把握。

當面臨實際問題時，學生通過實驗、歸納、類比、概括等發(fā)現(xiàn)其中蘊含的一般性規(guī)律，并運用自己的語言描述，最終運用數(shù)、圖形、符號等概括地將這個規(guī)律表示出來，這是一個運用數(shù)學的思維方式進行思考的過程。這一過程超越了具體問題的情境，深刻地揭示了存在于一類問題中的共性和普遍性，把學生的認識和思考提高到一個更高的水平。

需要特別指出的是，學生在表示具體情境蘊含的一般規(guī)律時，常常會有自己特有的表示，而數(shù)學自身則提供公認的常規(guī)的數(shù)學表示，如何讓兩者之間建立自然的對接是我們需要思考的。朱老師給了我們一個很好的范例，他讓學生自己提出一些例子，并引導學生去解釋，在積累一些經(jīng)驗后，自然地引入到數(shù)學表示上。

【片段描述3】用字母表示數(shù)量關(guān)系——年齡情境中的字母表示數(shù)量關(guān)系

教師提一個簡單情境“小紅的爸爸比小紅大30歲”，而后將這一情境細分出4個小問題：1.引出小紅年齡是a，爸爸年齡就是a+30；2. a是什么意思？a與4有什么不同？提問后，讓學生靜靜思考，接著花5分鐘時間讓學生說說對這句話的理解；3.4+30與a+30有什么不同；4.比較a與a+30，誰大，大多少？誰小，小多少？

【分析】

含有字母的式子不僅可以表示運算和結(jié)果，還可以表示具體的數(shù)量和數(shù)量間的關(guān)系。該片段朱老師深入淺出的教學，讓學生親身體驗了將實際問題抽象成數(shù)學模型的過程。

一開始朱老師與學生一起思考，引導學生試著用含有字母的式子去概括其中不變的函數(shù)關(guān)系。接著借用問題“a=1，什么意思？這時候的a+30呢？”啟發(fā)學生思考，這個思考過程也是思維過程，是借助歸納推理來“探究成因”的過程。同時，在這些探索與思考過程中，學生積累了活動經(jīng)驗。

在此基礎上，朱老師提出：“想一想：4與a有什么不同？”這一提問把學生推向深深的思辨之中，而這種思辨背后所潛藏著“字母可以表示變化的數(shù)”的一種把握——“a是一個未知數(shù)，而4是一個已知數(shù)。也可以說，a是一個變量，4是一個定量?！蔽覀兿嘈胚@樣的把握是完美的，更希望這樣完美的表述能深深種在學生學習的心田中。朱老師作了一次追問：“什么叫作一個已知，一個是未知，也可以說一個是變化的變量，一個是確定的定量？沒有聽懂的同學當然要認真聽，聽懂的要想好，如果你來說，你說哪幾句話？”在學生思辨、表達、內(nèi)化過程中，朱老師又通過舉例子的方式讓學生對字母可以表示變化的數(shù)獲得了更深的體驗。緊接著，朱老師提問：“4+30與a+30有什么不同？”三次提問，一次追問，每一次都指向了“具體數(shù)”與“字母表示的數(shù)”的關(guān)系，這種關(guān)系恰恰是字母和含有字母的式子所能夠表示的豐富內(nèi)涵。endprint

同時，我們應該看到朱老師引導學生思考的一些做法：1.與學生一起思考；2.培養(yǎng)學生的歸納推理能力；3.幫助學生積累活動經(jīng)驗。

二、反思

（一）轉(zhuǎn)變重結(jié)果輕過程的教學觀念

數(shù)學教學應重視過程教學，不能僅停留在表面形式上。數(shù)學教學應該不只是教知識、教技巧，還要教數(shù)學思考、教思想，把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為教育形態(tài)，努力去體現(xiàn)數(shù)學的價值，培養(yǎng)能力，培育意識、觀念，形成良好的品質(zhì)。重視過程教學，就是要重視學生思維的真實過程，重視解決問題時的思考過程，就是要在教學中堅持數(shù)學思考的培養(yǎng)離不開學生親身經(jīng)歷的原則，盡可能地創(chuàng)設合理的、有價值的問題情境。

（二）學會獨立思考，積淀活動經(jīng)驗

我們希望學生在積極的思維參與中領(lǐng)悟數(shù)學的本質(zhì)和核心，這種思維積極參與的數(shù)學活動有利于達到對數(shù)學知識的深刻理解和融會貫通。數(shù)學學習中善于問為什么、善于尋根究底、善于浮想聯(lián)翩和聯(lián)系推廣，是思維真正參與到數(shù)學學習活動的重要方面。引領(lǐng)學生進行有效的獨立思考需要解決兩個問題：“你是怎樣想的？”“你是怎么想到的？”獨立思考是學生在學習情境中借助于數(shù)學語言在頭腦中默默地進行的，是數(shù)學語言的“內(nèi)在表達”。它常常表現(xiàn)出簡化的、壓縮的、跳躍的，從而思考的過程和結(jié)果都具有模糊性。

1.重點解決“你是怎樣想的”。數(shù)學交流中，我們應引導學生充分交流“你是怎樣想的”，同時要引導學生交流“還有沒有其他的想法”“他的想法和你的有什么不一樣”，給學生充分展示自己的思考過程，并從他人的思考過程中探索新的思考方法，從而慢慢習慣于“學會思考”。

2.關(guān)鍵解決“你是怎么想到的”。在數(shù)學交流過程中（包括爭辯別人的反駁觀點），學生可以更好地理解和使用數(shù)學語言和符號，可以組織和強化自己的思考，可以理清獨立思考的過程，鞏固獨立思考的結(jié)果，同時通過思考他人的想法和策略來豐富和擴展自己的知識和思維。

因此，我們應積極創(chuàng)設數(shù)學交流的環(huán)境，讓學生將自己的思考過程、思考結(jié)果用數(shù)學語言通過口頭或書面表達出來，處于混沌姿態(tài)的數(shù)學思考就能逐漸明晰起來，從而促進學生獨立思考能力的提高。當然，獨立思考能力發(fā)展是逐漸深化的過程。從“會獨立思考問題”到“能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己思考過程與結(jié)果”，再到“能獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式”。

（三）學會數(shù)學地思考，體驗數(shù)學化過程

當面臨實際問題時，學生通過實驗、歸納、類比、概括等發(fā)現(xiàn)其中蘊含的一般性規(guī)律，并運用自己的語言描述，最終運用數(shù)、圖形、符號等概括地將這個規(guī)律表示出來，這是一個運用數(shù)學的思維方式進行思考的過程。這一過程超越了具體問題的情境，深刻地揭示了存在于一類問題中的共性和普遍性，把學生的認識和思考提高到一個更高的水平。三個片段都實現(xiàn)了數(shù)學地思考過程。我們時常發(fā)現(xiàn)學生在表示具體情境蘊含的一般規(guī)律時，常常有自己特有的表示方式。這種帶有個人色彩的表示，盡管缺少常規(guī)表示的精確性和普遍性，但這些表示對學生個人是有意義的，并且對促進學生的理解起著重要作用，有助于問題的解決。這些個人特有的表示方式，提供了一個能使學生對其他表示（包括常規(guī)的數(shù)學表示）的本質(zhì)和作用進行認識的經(jīng)驗基礎。而數(shù)學自身則提供公認的常規(guī)的數(shù)學表示，如何實現(xiàn)從個人特有的自我表示到數(shù)學表示的飛躍？朱老師的教學給我們提供了一個范例。如“想一想：4與a有什么不同”，朱老師在提出問題后，讓學生自己來表達，在學生的不斷表達與修正（在沒有教師的肯定下，學生表達會開放一些，回答會越來越趨向數(shù)學表示）后，接著追問，“什么叫作一個已知，一個是未知，也可以說一個是變化的變量，一個是確定的定量？”使學生認識到數(shù)學表示方法的特點，由此實現(xiàn)從自己的表示向數(shù)學表示的飛躍。

（浙江省溫州市少年藝術(shù)學校 325000）endprint