張家口市萬全縣統(tǒng)一高斯平面直角坐標(biāo)系的建立*

王文棟，楊久東

(1．河北聯(lián)合大學(xué)，河北 唐山 063009； 2．河北省地質(zhì)測繪院，河北 廊坊 065000)

0 引言

按照河北省國土資源廳的工作部署，河北全省正在以縣域為單位開展“三權(quán)”(即集體土地所有權(quán)、集體建設(shè)用地使用權(quán)、農(nóng)村宅基地使用權(quán))調(diào)查工作，為了統(tǒng)一全省地籍調(diào)查的技術(shù)路線和工作方法，河北省國土資源廳組織制定了《河北省地籍調(diào)查技術(shù)細(xì)則》，該細(xì)則針對坐標(biāo)系的選擇提出了如下要求:

1)農(nóng)村集體土地所有權(quán)調(diào)查，應(yīng)采用統(tǒng)一3°帶高斯—克呂格投影。

2)土地使用權(quán)調(diào)查，當(dāng)長度變形值不大于2．5 cm/km 時，采用統(tǒng)一3° 帶高斯—克呂格投影;當(dāng)長度變形值大于2．5 cm/km時，按下列順序選擇坐標(biāo)系:①選擇高斯—克呂格投影統(tǒng)一1．5°帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng);②選擇高斯—克呂格投影任意帶平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。

3)坐標(biāo)系選擇的參考橢球，投影面必須與1980 西安坐標(biāo)系或2000 國家大地坐標(biāo)系統(tǒng)保持一致。

4)一個縣級行政區(qū)的坐標(biāo)系、中央子午線盡可能統(tǒng)一。

同時，為了滿足一個縣域內(nèi)的工程建設(shè)、城鄉(xiāng)規(guī)劃和測圖控制的需要，由控制點平面坐標(biāo)反算的邊長應(yīng)與實測平距相接近，即由邊長的高程歸化及投影改化引起的總的長度相對變形值應(yīng)小于1/40 000(2．5 cm/km)，這是建立平面坐標(biāo)系的基本原則。

本文分別以萬全縣城鄉(xiāng)建設(shè)和“三權(quán)”調(diào)查的角度為出發(fā)點，分析如何合理地建立萬全縣統(tǒng)一高斯平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。

1 萬全縣基本地理情況

萬全縣地處河北省西北部，張家口市西北部，地理位置位于東經(jīng)114°20'24″～114°50'32″，北緯40°40'14″～41°01'08″，西北以明長城為界與尚義、張北西縣接壤，南隔洋河與懷安縣相望，東臨張家口市，總面積1 161．48 km2，全境東西長約38 km，南北長約35 km。萬全縣是川、丘、山并存的縣份，地形特點是北高南低，西高東低，其中縣境南東部河川區(qū)盆地面積317．95 km2，海拔在600 ～800 m之間;中部丘陵淺山區(qū)面積200．8 km2，海拔在800 ～1200 m之間;北部為高中山區(qū)，海拔在1200 ～1540 m之間。全縣平均海拔為890 m，最低680 m，最高1540 m。

根據(jù)萬全縣的地理情況特點可知，該縣位于標(biāo)準(zhǔn)3°帶統(tǒng)一中央子午線東側(cè)，且面積廣，地形起伏高差大，全縣最低、最高海拔相差860 m，這對選擇建立平面坐標(biāo)系時因高差引起的投影變形將非常明顯。因此，如何在該縣建立統(tǒng)一的平面直角坐標(biāo)系值得認(rèn)真探討。

2 有關(guān)高斯投影變形的基本原理

眾所周知，平面控制測量平面坐標(biāo)系的選擇，即是投影面和中央子午線的選擇，主要是解決長度變形問題。這種投影變形主要由以下兩種因素引起:

1)實測邊長歸算到參考橢球面上的變形影響，其值為ΔS1，計算公式為:

式中:Hm為實測邊高出參考橢球面的平均高程;S 為實測邊長;R 為實測邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑(取6 371 km)。由式(1)變換，可得每公里實測邊長投影相對變形值為:

根據(jù)式(1)、(2)，計算得到不同高程面上的每公里長度變形，見表1。

表1 不同高程面投影到參考橢球面上的每公里長度變形Tab．1 The projection length distortion per kilometer from different elevation plane to reference ellipse plane

2)將參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的邊長變形，其值為ΔS2，計算公式為:

式中:S0= S+ΔS1;ym為實測邊兩端點橫坐標(biāo)平均值;Rm為參考橢球面平均曲率半徑(取6 375 km)。

由式(2)變換得到投影邊長的相對變形為:

依式(3)、(4)計算得到每公里的長度投影變形，見表2。

表2 參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的每公里投影變形Tab．2 The projection length distortion per kilometer from reference ellipse plane to Gauss projection plane

3 幾種常用的平面直角坐標(biāo)系

在城鄉(xiāng)規(guī)劃建設(shè)及國土資源部門土地利用現(xiàn)狀調(diào)查中，主要有以下幾種常用的平面直角坐標(biāo)系。

3．1 國家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系

自東經(jīng)1．5°開始，每個3°為1 帶，投影面為參考橢球面，全球共劃分120 帶，由表1 、表2 可見，當(dāng)測區(qū)平均高程在100 m以下，且ym值不大于40 km時，每公里邊長投影變形值均小于2．5 cm，可以滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求，此時可以直接采用國家統(tǒng)一3°帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系。

3．2 帶抵償投影面的統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系

在這種坐標(biāo)系中，仍采用國家統(tǒng)一3°帶高斯投影，但是投影的高程面不是參考橢球面，而是依據(jù)補償高斯投影長度變形而選擇的高程參考面，在這個高程參考面上，長度變形為零。即由上述ΔS1+ ΔS2= 0 ，可導(dǎo)出:

式中:ΔH 為測區(qū)海拔高程面與所選擇的抵償高程面之間的高差。

3．3 任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系

投影面仍選擇參考橢球面，但投影帶的中央子午線不按國家統(tǒng)一3°帶的劃分方法，而是依據(jù)補償高程面投影長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線，即由上述ΔS1+ ΔS2=0，保持Hm不變，導(dǎo)出:

式中:y 為測區(qū)與選擇的中央子午線的距離。

3．4 具有高程抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系

通常是，投影的中央子午線選在測區(qū)的中央，投影面選擇測區(qū)平均高程面，按高斯正形投影計算平面直角坐標(biāo)，是綜合3．2節(jié)、3．3 節(jié)兩種坐標(biāo)系長處的一種任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系。

4 萬全縣建立統(tǒng)一高斯平面直角坐標(biāo)系的技術(shù)分析

4．1 建立標(biāo)準(zhǔn)國家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系

按照萬全縣所處的地理位置，位于3°帶第38 帶內(nèi)，中央子午線為114°，縣城最西部距中央子午線約29 km，即y西=29 km，西部平均高程1 000 m，即Hm=1 000 m，則實測每公里邊長投影變形用上面公式計算為:

ΔS1= -0．157 m ΔS2=0．010 m

ΔS西=ΔS1+ΔS2= -0．147 m

縣城最東部距中央子午線約67 km，即y東=67 km，東部平均高程為800 m，即Hm= 800 m，則實測每公里邊長投影變形為:

ΔS1= -0．126 m ΔS2=0．055 m

ΔS東=ΔS1+ΔS2= -0．071 m

根據(jù)計算結(jié)果分析可知，此坐標(biāo)系全縣城范圍內(nèi)的投影變形均大于2．5 cm/km。

4．2 建立帶有抵償高程面的國家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系

根據(jù)萬全縣的地理海拔情況，選擇全縣平均高程890 m作為投影面，則縣域西部，y西=29 km，按照投影變形公式計算得:

ΔS1= -0．017 m ΔS2= +0．010 m ΔS= -0．007 m

縣域東部，y東=67 km，Hm東= -90 m，則:

ΔS1= +0．014 m ΔS2= +0．055 m ΔS= +0．069 m

縣域中部，y中=48 km，Hm中=60 m(中部平均高程約為950 m)，則:

ΔS1= -0．009 m ΔS2= +0．028 m ΔS= +0．019 m

縣域中北部，y中=48 km，Hm中北=460 m(中北部平均高程約為1350 m)，則:

ΔS1= -0．072 m ΔS2= +0．028 m ΔS= -0．044 m

縣域東北部，y東=67 km，Hm東北=460 m(東北部平均高程約為1350 m)，則:

ΔS1= -0．072 m ΔS2= +0．055 m ΔS= -0．017 m

根據(jù)計算結(jié)果分析可知，此坐標(biāo)系在全縣域約60%的范圍內(nèi)能保證投影變形小于2．5 cm/km。

4．3 建立任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系

4．3．1 全縣域建立一個任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系

以橫坐標(biāo)ym的影響產(chǎn)生的投影變形抵消高差影響產(chǎn)生的投影變形。以縣域中部作為測區(qū)中心，取平均高程Hm=890 m，則按公式:

根據(jù)y 值，反算出該任意帶的中央子午線為113°19'43″。

此坐標(biāo)系，縣域中部(東西向)投影變形定小于2．5 cm/km。

縣域西部，ym西=87．5 km，平均高程Hm=1 000 m，則:

ΔS1= -0．157 m ΔS2=0．094 m ΔS= -0．063 m

縣域東部，ym東=125．5 km，平均高程Hm=800 m，則:

ΔS1= -0．126 m ΔS2= +0．194 m ΔS= +0．068 m

經(jīng)分析比較，此坐標(biāo)系能保證投影變形小于2．5 cm/km 的范圍小于整個縣域的1/2。

4．3．2 全縣域分東西兩半部分，各建立一個任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)系建立原理與上面一致，只是將縣域按東西方向一分為二。每個坐標(biāo)系只覆蓋東西19 km的寬度，取平均高程Hm=890 m，也是用向西偏移中央子午線加大橫坐標(biāo)y 值引起的投影變形抵消高差引起的投影變形。按這種方法分別建立縣域西部和縣域東部任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系，中央子午線分別為113°12'15″和113°27'15″。

覆蓋縣域西半部的坐標(biāo)系，西邊緣ym西= 97 km，Hm=1 000 m，則投影變形:

ΔS1= -0．157 m ΔS2= +0．116 m ΔS= -0．041 m

東邊緣，ym東=116 km，Hm=950 m，則投影變形:

ΔS1= -0．149 m ΔS2= +0．165 m ΔS= +0．016 m

覆蓋縣域東半部分的坐標(biāo)系，西邊緣ym西=97 km，Hm=950 m，則投影變形:

ΔS1= -0．149 m ΔS2= +0．116 m ΔS= -0．033 m

東邊緣，ym東=116 km，Hm=800 m，則投影變形:

ΔS1= -0．126 m ΔS2= +0．165 m ΔS= +0．039 m

經(jīng)分析比較，此坐標(biāo)系只能保證全縣域70%以上的區(qū)域投影變形小于2．5 cm/km，但能保證全縣域90%以上的區(qū)域投影變形小于4．0 cm/km。

4．4 建立帶有高程抵償面的任意帶平面直角坐標(biāo)系

4．4．1 全縣域建立一個帶有高程抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系

以全縣域平均高程面890 m 為投影面，取縣域中部114°35'28″為中央子午線，則縣域西部ym西= -19 km，Hm=110 m，則投影變形為:

ΔS1= -0．017 m ΔS2= +0．004 m ΔS= -0．013 m

縣域東部ym東=19 km，Hm= -90 m，則投影變形為:

ΔS1= +0．014 m ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．018 m

縣域北部最大投影變形的情況為，ym=0，Hm=460 m(1350- 890)，則:

ΔS1= -0．072 m ΔS2=0 ΔS= -0．068 m

縣域南部最大投影變形的情況為，ym= 19 km，Hm=-210 m(680 - 890)，則:

ΔS1= +0．033 m ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．037 m

經(jīng)分析得知，此坐標(biāo)系能保證全縣域70%以上的區(qū)域投影變形小于2．5 cm/km。

4．4．2 全縣域南、北半部分別建立一個帶有不同高程抵償面的任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系

根據(jù)萬全縣的地形特點，將縣域分成南、北兩半部分，北半部分取平均高程1150 m，南半部分取平均高程800 m，中央子午線均取縣域中部114°35'28″，南、北半部分各建立一個坐標(biāo)系。

縣域北半部分坐標(biāo)系，東、西邊緣，ym= ± 19 km，Hm=200 m(1350 -1150)，則投影變形:

ΔS1= -0．031 m ΔS2= +0．004 m ΔS= -0．027 m

最北部，Hm=390 m(1540 - 1150)，取ym=0，則投影變形:

ΔS1= -0．061 m ΔS2=0 ΔS= -0．061 m

縣域南半部分坐標(biāo)系，東、西邊緣，ym= ±19 km，Hm=0，則投影變形:

ΔS1=0 ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．004 m

最南部，Hm= -120 m(680 - 800)，取ym=19 km，則投影變形:

ΔS1= +0．019 m ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．023 m

經(jīng)分析得知，按此方法建立的坐標(biāo)系，能保證整個縣域90%以上的區(qū)域投影變形小于2．5 cm/km。

5 結(jié)論

根據(jù)萬全縣的地形地理特點，通過全文的分析，可以得出如下結(jié)論:

1)萬全縣縣域面積較大、東西跨度較大、地形南高北低、西高東低、縣域內(nèi)高差大，所以全縣域建立一個投影變形小于2．5 cm/km的高斯平面直角坐標(biāo)系是不可能的。

2)如果為了盡量達(dá)到《河北省地籍調(diào)查技術(shù)細(xì)則》的要求(坐標(biāo)系的投影面必須與1980 西安坐標(biāo)系或2000 國家大地坐標(biāo)系統(tǒng)保持一致)，又使投影變形盡可能的小，可以考慮將全縣域按東西向等分成兩部分，各建立一個任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系。

3)如果從為了滿足萬全縣城鄉(xiāng)規(guī)劃和工程建設(shè)的需要，可以選擇全縣域建立一個帶有高程抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系，如果為了達(dá)到更高的投影精度，可以選擇將全縣域等分成南北兩半部分，分別建立一個帶有不同抵償高程面的任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系。

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