灰色系統(tǒng)理論在建筑物變形分析和預報中的應用*

魯明軍，崔金勇，陳 熙，陳泓吉

(1．上海華測導航技術(shù)有限公司，上海 200233； 2．云南登潤科技有限公司，云南 昆明 650034； 3．中國人民解放軍62106 部隊，遼寧大連 116000)

0 引言

變形現(xiàn)象以各種各樣的形式存在于自然界中，比如塌方，滑坡，地殼形變，工程建筑物的沉降和位移等。當變形體的變形量超過一定的范圍，就會導致災害的發(fā)生，危及人類的生命財產(chǎn)安全，給人類社會帶來巨大的損失和傷害。這些災害的發(fā)生都與變形有關(guān)，因此，變形監(jiān)測的研究受到了世界各國的廣泛關(guān)注。

變形監(jiān)測是對監(jiān)視對象或物體(簡稱變形體)進行測量以確定其空間位置隨時間的變化特征。變形監(jiān)測是為變形分析和預報提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，在變形監(jiān)測的工作中，監(jiān)測是為了獲得相關(guān)的數(shù)據(jù)，是變形監(jiān)測的基礎(chǔ);分析是對所獲取的數(shù)據(jù)進行合理化的處理，是變形監(jiān)測的手段;預報是根據(jù)之前的工作，來推測變形體的變化趨勢，確定是否會引發(fā)災害以及在災害發(fā)生前采取措施來盡可能阻止災害的發(fā)生或者減少災害帶來的損失，是變形監(jiān)測的最終目的。因此，變形分析與預報一直是測繪專業(yè)研究的熱點問題，具有重要的現(xiàn)實意義［1-5］。

1 研究方法及技術(shù)路線

本文對某高層建筑的沉降觀測數(shù)據(jù)運用灰色系統(tǒng)理論模型來處理，進行變形監(jiān)測的分析和預報。觀測數(shù)據(jù)為3 個監(jiān)測點的12 期沉降值，分別采用每個點的前n 期(n 大于或等于4)數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型，并檢驗模型精度，作出n期以后的沉降預報，并與實際測量值進行比較，評定預報效果，并得出一些有益的結(jié)論。

2 灰色系統(tǒng)理論概況及模型

灰色系統(tǒng)理論指出用離散的隨機數(shù)，經(jīng)過生成變?yōu)殡S機性被顯著削弱的較有規(guī)律的生成數(shù)，這樣便可以對變化過程做較長時間的描述，進而建立微分方程形式的模型?；疑Ｐ偷慕⒂幸韵聨讉€步驟:

2．1 原始數(shù)據(jù)的預處理(累加生成)

記原始數(shù)據(jù)序列X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，對其進行一次累加生成，得到生成列X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}。

2．2 計算灰參數(shù)a，b(對生成列建立一階微分方程并求解)

式中:a，b 是灰參數(shù)，其白化值為^a = a，[ ]bT。運用最小二乘原理，可解得:

式(2)中:

將式(3)、(4)結(jié)合式(2)可解出^a，由此即可確定灰參數(shù)a，b 的值。

2．3 建立模型

將^a 代入式(1)，便可解出微分方程式，得:

式(5)即為GM(1，1)模型的具體表達式，至此，模型建立完畢。

對^x(1)(k +1)作累減生成，可以還原數(shù)據(jù):

式(5)、式(6)即為灰色系統(tǒng)分析與預報的兩個基本模型，當k≤n 時，稱^x(0)(k)為模型模擬值;當k=n，稱^x(0)(k)為模型濾波值;當k ＞n 時，稱^x(0)(k)為模型預測值。

2．4 模型的檢驗

模型的檢驗方法有關(guān)聯(lián)度檢驗，殘差檢驗和后驗檢驗3 種方法。關(guān)聯(lián)度檢驗是考察模型值與建模序列曲線的相似程度;殘差大小檢驗是對模型值和實際值的誤差進行逐點的檢驗;后驗差檢驗則是對殘差分布的統(tǒng)計特性進行的檢驗，用后驗差比值C 和小誤差概率P 來共同描述。根據(jù)式(6)可以得到:^x(0)={^x(0)(1)，^x(0)(2)，…，^x(0)(n)}，計算殘差e(k)= x(0)(k)－^x(0)(k)，k=1，2，…，n。

再計算原始系列x(0)及殘差序列e 的方差:式中

得出S1和S2后，計算后驗差比值C=S2/S1，以及小誤差概率P。P 的計算公式為:

根據(jù)模型精度等級(見表1)判別式，模型等級精度=max{C 所在的級別，P 所在的級別}。

表1 模型精度等級Tab．1 Model accuracy class

3 灰色系統(tǒng)在某建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應用

以某高層寫字樓為例，介紹灰色系統(tǒng)在建筑物沉降監(jiān)測中的應用。該高層寫字樓為框架結(jié)構(gòu)，總建筑面積2 586 m2，基礎(chǔ)土層為高壓縮土，其中地下2 層，地面20 層。根據(jù)建筑物變形觀測規(guī)范要求，在建筑物施工及運營的一段時間內(nèi)(觀測時間見數(shù)據(jù)記錄表2)，對其進行了沉降觀測，布置了3 個水準基點(點位均位于地基穩(wěn)定區(qū)域)，組成水準網(wǎng)，在主樓一層柱墻+0．2 m ～+0．5 m標高處埋設觀測點24 個。采用視線高法對各個觀測點進行高程測量。觀測路線，如圖1 所示。部分數(shù)據(jù)記錄，如表2 所示。

圖1 觀測平面圖Fig．1 Observation plane figure

表2 數(shù)據(jù)記錄Tab．2 Data record sheet

表2 ( 續(xù)) 數(shù)據(jù)記錄

3．1 常規(guī)灰色模型的數(shù)據(jù)處理

選擇1 號點的前5 期觀測數(shù)據(jù)，Y(0)={0，-6，-11，-14，-16}。令X(0)=KY(0)，K = -1，則X(0)={0，6，11，14，16}，對X(0)進行一次累加生成得，X(1)={0，6，17，31，47}，對此生成序列建立一階微分方程dX(1)/dt +aX(1)=b，由X(1)可得數(shù)據(jù)矩陣B:，則

^a = ［a，b］T= (BTB)－1BTYN，代入數(shù)據(jù)得^a =［-0．2632 6．654］T，代 入 微 分 方 程。計 算 得:^x(1)(k +1)= 25．27e0．2632k－25．27，對^x(1)(k+1)做累減生成(IAGO)可得還原數(shù)據(jù)^x(0)(k+1)=^x(1)(k+1)-x(1)(k)，因為Y(0)(k)=K0X(0)(k)，K0= -1，則Y(0)的還原數(shù)據(jù)具體如下:y(0)(1)=0，y(0)(2)= -7．6，y(0)(3)= -9．9，y(0)(4)= -12．9，y(0)(5)= -16．8。

3．1．1 后驗差檢驗

由殘差計算公式可得:e(1)=0，e(2)=1．6，e(3)= -1．1，e(4)= -1．1，e(5)=0．8。記原始數(shù)列Y(0)及殘差數(shù)列e 的方差分別為S21、S22。由ˉe(k)= 0．04 ，ˉx(0)= － 9．4 可得:S21=33．44，S1=5．7827;S22 =1．1224，S2=1．0594;驗差比值C = S2/S1=0．18;小概率誤差P={|e(k)| ＜0．6745·S1}=1;模型精度等級=max{P 所在的級別，C 所在的級別}，將計算得出的C 和P與模型精度等級表比較，判定出該模型的精度為1 級。

3．1．2 利用模型進行預報

利用模型對1 號點的6 -12 期沉降值進行預測，后7 期數(shù)據(jù)預報結(jié)果，見表3。

表3 后7 期數(shù)據(jù)預測結(jié)果Tab．3 Seven periods of data forecast results of that followed

3．1．3 對1 號點選擇不同期數(shù)建模并進行預報并比較

觀察圖2 可以發(fā)現(xiàn):建模期數(shù)越多，模型預測曲線就越接近于測量值曲線，預測趨勢越理想。注意到對該建筑物進行變形監(jiān)測時，還處于工程建設階段。7 期以后，工程竣工，建筑物的沉降進入另一個階段。固也側(cè)面反映出，建模采用的數(shù)據(jù)樣本所包含的工程變形的情況越全面，模型的預報精度越高。對于第7 期，選擇前6 期建模所得的預測值相對誤差要比選擇前5期建模所得的預測值相對誤差要小，也就是精度更高。觀察其他組，也有相同情況。因此，可以得出:對同一期而言，建模所選用的數(shù)據(jù)樣本越大，所得的預報精度越高。對于常規(guī)GM 模型來說，若要盡可能高精度地預測第n 期的變形值時，就需盡量選擇前n -1 期來建模。當n 值比較大時，該方法雖然預測精度高，但是數(shù)據(jù)計算量也較大。

圖2 不同期數(shù)建模預測結(jié)果比較Fig．2 Comparison of forecast results modeled by using the different periods of data

3．2 基于灰色系統(tǒng)的等維滾動預測

3．2．1 灰色系統(tǒng)的等維滾動預測概念

選擇前n 期觀測數(shù)據(jù)，按照灰色系統(tǒng)理論建立模型并進行預報，然后再去掉第一期數(shù)據(jù)，選擇第n +1 期測量值作為第二次建模的數(shù)據(jù)樣本，建模的維度依然為n，依次進行下去，這就是灰色系統(tǒng)的等維滾動預測。

3．2．2 等維滾動預測

通過具體分析與預報來對比該方法與常規(guī)灰色系統(tǒng)建模方法的預報精度及優(yōu)缺點。選擇5 維、6 維、7 維，分別做4 次滾動預測，由于篇幅限制，具體演算過程不再詳述。

3．2．3 預報值的分析對比

3．2．3．1 常規(guī)預測與滾動預測的分析對比

通過3 組數(shù)據(jù)進行對比可以發(fā)現(xiàn):對于同一期預測，滾動預測值的相對誤差均要比常規(guī)預測值的相對誤差小很多。但也要注意到，3 組對比中，常規(guī)預測的建模樣本序列與滾動預測的建模樣本序列中僅有1 個數(shù)據(jù)不一樣:第一組中，常規(guī)預測建模序列為1 -5 期，滾動預測建模序列為2 -6 期;第二組中，常規(guī)預測建模序列為1 -6 期，滾動預測建模序列為2 -7 期;第三組中，常規(guī)預測建模序列為1 -7 期，滾動預測建模序列為2 -8期。固可以得出，在建模樣本的維度相同，建模所選擇的期數(shù)僅有1 期不相同時，滾動預測的預測效果要比常規(guī)預測好很多。

選擇前5 期的常規(guī)預測與維度為5 的第一次滾動預測比較，見表4。

表4 常規(guī)模型預測與滾動預測的對比Tab．4 Comparison of forecast results between routine and rolling

用選擇前6 期、選擇前7 期的常規(guī)預測分別與維度為6、維度為7 的滾動預測相比較，也得出相同結(jié)論。

3．2．3．2 等維滾動預測之間的分析對比

5 維滾動預測間的比較:第一次滾動預測值的中誤差為9．339 mm，第二次預測中誤差為7．753 mm，第三次預測中誤差為7．100 mm，第四次預測中誤差為4．712 mm。可以看出:隨著滾動次數(shù)的增加，預測中誤差越小，也就是預測效果越好。

表5 滾動預測的相互比較Tab．5 Comparison among rolling forecast results

通過計算，6 維、7 維也具有同樣的規(guī)律。由此，可以得出:在維度相同的情況下，滾動預測的次數(shù)越多，其總體上預測的效果越好。同時，也要注意到，對單期預報來說，并不是滾動預測次數(shù)越多預測值越好。

3．2．3．3 滾動預測值坐標圖

下面給出滾動預測的坐標圖，見圖3 -5。在前文中，通過對點1、點2、點3 分別以前5 期、前6 期、前7 期、前8 期、前9期、前10 期、前11 期數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)樣本建模進行比較，發(fā)現(xiàn)以前11 期數(shù)據(jù)建立的模型預報效果最好，但是，它的建模序列也是最大的，達到11 維，而本文所做的滾動預測所采用的樣本序列最大為7 維。若用前11 期的建模預測值與滾動預測的預測值進行比較，顯然不合理。所以，這里選用以前8 期為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)所建立模型的預測值曲線與滾動預測值曲線相比較。

由圖3 -5 可知:在1 到8 期內(nèi)，前8 期建模的預測值(常規(guī)預測)與測量值相符合，但在9 到12 期間，滾動預測都比前8 期建模的預測值更趨近于測量值。對于滾動預測4 而言，在9 到12 期間中，它的預測效果最好，而在5 到8 期間預測的效果卻一般。就預報測量值的總體變化趨勢而言，滾動預測4 更接近于實際情況，考慮到變形體的變形現(xiàn)象可能具有階段性，而滾動預測是不斷的更新建模的樣本數(shù)據(jù)，這恰恰能夠?qū)⒆冃维F(xiàn)象的階段性吸納進來，最終體現(xiàn)在模型的預測值上。

圖3 維度為5 的滾動預測與以前8 期建模的預測曲線圖Fig．3 Graphs between 5 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

圖4 維度為6 的滾動預測與以前8 期建模的預測曲線圖Fig．4 Graphs between 6 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

圖5 維度為7 的滾動預測與以前8 期建模的預測曲線圖Fig．5 Graphs between 7 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

另外，從圖3 -5 中也可以看出:曲線圖體現(xiàn)出的規(guī)律與本文3．2．3．1 節(jié)與3．2．3．2 節(jié)中所得到得結(jié)論相符。另外，還可以看出，滾動預測在短期預報中，只需要較少的數(shù)據(jù)就能獲得較高的預測精度，當然，所選用的數(shù)據(jù)必須能體現(xiàn)變形體的變形現(xiàn)象的階段性。

4 結(jié)論

通過對某高層建筑的變形監(jiān)測序列運用灰色系統(tǒng)理論方法建立不同的GM(1，1)對比分析不同模型的預報效果，筆者得出以下結(jié)論:

1)選擇的建模樣本數(shù)據(jù)越大，灰色系統(tǒng)理論模型的預測效果越好。

2)等維滾動預測模型比常規(guī)的GM(1，1)建模更適合短期預測。在建模樣本維度相同，建模所選擇的期數(shù)僅有1 期不相同時，滾動預測的預測效果要比常規(guī)預測好很多。

3)對于等維滾動預測來說，在維度相同的情況下，滾動預測的次數(shù)越多，其總體上預測的效果越好。同時，也要注意，對單期預報來說，并不是滾動預測的次數(shù)越多預測值越好。

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