導(dǎo)數(shù)能讓參數(shù)問(wèn)題迎刃而解

王吉全

導(dǎo)數(shù)，作為解決與高次函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的一種工具，有著無(wú)可比擬的優(yōu)越性，越來(lái)越受到各省命題專(zhuān)家的“青睞”.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的新增知識(shí)點(diǎn)，它是研究函數(shù)性質(zhì)的先進(jìn)工具，特別是使用導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系）.如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)在這點(diǎn)有極大（?。┲?，而此時(shí)不用和端點(diǎn)值進(jìn)行比較，也可以得知這就是最大（小）值.甚至可以說(shuō)導(dǎo)數(shù)已由解決問(wèn)題的工具上升到解決問(wèn)題必不可少的工具.

對(duì)眾多的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中，圍繞高考的命題特點(diǎn)，我談?wù)剳?yīng)用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍的幾種常見(jiàn)題型及求解策略，與大家共勉.

一、分離變量法

解決問(wèn)題的關(guān)鍵：是通過(guò)將兩個(gè)變量構(gòu)成的不等式（方程）變形到不等號(hào)（等號(hào)）兩端，使兩端變量各自相同，解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個(gè)變量，其中一個(gè)范圍已知，另一個(gè)范圍未知.分離變量之后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問(wèn)題.分離變量后，對(duì)于不同問(wèn)題，我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下結(jié)論均為已知x的范圍，求a的范圍.

結(jié)論一：不等式f（x）≥g（a）恒成立？圳[f（x）]■≥g（a）（求解f（x）的最小值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立？圳[f（x）]■≤g（a）（求解f（x）的最大值）.

結(jié)論二：不等式f（x）≥g（a）存在解？圳[f（x）]■≥g（a）（求解的最大值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立？圳[f（x）]■≤g（a）（即求解f（x）的最小值）.

結(jié)論三：方程f（x）=g（a）有解？圳g（a）的范圍=f（x）的值域（求解f（x）的值域）.

（2008年江蘇卷）設(shè)函數(shù)f（x）=ax■-3x+1（x∈R），若對(duì)于任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為？搖 ？搖.

解：當(dāng)x=0，則不論a取何值，f（x）≥0顯然成立；

當(dāng)0

令g（x）=■-■，則g′（x）=■，

所以g（x）在區(qū)間（0，■]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[■，1]上單調(diào)遞減，

因此g（x）■=g（■）=4，從而a≥4；當(dāng)-1≤x<0時(shí)，f（x）=ax■-3x+1≥0可化為a≤■-■，g′（x）=■>0，g（x）在區(qū)間[-1，0）上單調(diào)遞增，因此g（x）■=g（-1）=4，從而a≤4.綜上，a=4.

分離變量法是近幾年高考考查和應(yīng)用最多的一種.解決問(wèn)題時(shí)需要注意：（1）確定問(wèn)題是恒成立、存在、方程有解中的哪一類(lèi)；（2）確定是求最大值、最小值還是值域.高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，很多題目都需要用到分離變量的思想，除了基礎(chǔ)題目可以使用分離變量外，很多壓軸題也可以用這種方法求解.

二、數(shù)形結(jié)合法

（2010年山西）若不等式3x■-log■x<0在（0，■）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由題意知：3x■

觀察兩函數(shù)圖像，當(dāng)x∈（0，■）時(shí)，若a>1函數(shù)y=log■x的圖像顯然在函數(shù)y=3x■圖像的下方，所以不成立；

當(dāng)0a≥■，綜上得：1>a≥■.

三、構(gòu)造新函數(shù)法

對(duì)于某些不容易分離出參數(shù)的恒成立問(wèn)題，可利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再借助新函數(shù)的圖像、性質(zhì)等求解，可以開(kāi)拓解題思路、化難為易.

（2013年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x■+ax+b，g（x）=e■（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kgf（x），求k的取值范圍.

分析：（Ⅰ）利用所給的點(diǎn)及切線方程列出方程組求解字母的取值.

由已知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，a=4，b=2，c=2，d=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=x■+4x+2，g（x）=2e■（x+1），

構(gòu)造函數(shù)F（x）=kg（x）-f（x）=2ke■（x+1）-x■-4x-2，

則F′（x）=2ke■（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke■-1），

由題設(shè)可得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0得，x■=-lnk，x■=-2.

（?。┤?≤k0，即F（x）在（-2，x■）上單調(diào)遞減，在（x■，+∞）上單調(diào)遞增，故F（x）在[-2，+∞）上的最小值為F（x■）=2x■+2-x■■-4x■-2=-x■（x■+2）≥0.故當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

（ⅱ）若k=e■，則F′（x）=2e■（x+2）（e■-e■）.從而當(dāng)x>-2時(shí)，F(xiàn)′（x）>0，即F（x）在（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，而F（-2）=0，故當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

（ⅲ）若k>e■，則F（-2）=-2ke■+2=-2e■（k-e■）<0，從而當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

綜上，k的取值范圍是[1，e■].

通過(guò)適時(shí)構(gòu)造新的函數(shù)，簡(jiǎn)化了問(wèn)題，把求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，對(duì)解題起到了畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用.

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，借助導(dǎo)數(shù)，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行更加透徹的研究.在利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題時(shí)，分離變量、主次元變換、極值法、構(gòu)造新函數(shù)等都是行之有效的方法.在教學(xué)中要充分穿插、滲透，并及時(shí)加以總結(jié)、應(yīng)用和鞏固，促進(jìn)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化，才能增強(qiáng)我們解決數(shù)學(xué)中常見(jiàn)問(wèn)題的能力，逐步提高教學(xué)能力.