判斷常見函數(shù)單調(diào)性的幾種方法

梁義

摘 要： 函數(shù)的單調(diào)性應用十分廣泛，是函數(shù)性質(zhì)中最重要的性質(zhì).本文主要介紹求單調(diào)性的幾種常見方法，尤其是列出了順序，即不僅給出了方法，而且提出了求解思路.

關鍵詞： 函數(shù) 單調(diào)性 判斷方法

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最重要、運用范圍最廣泛的性質(zhì)，也是求值域、最值等問題必備的知識，同時在比較大小、解不等式、作函數(shù)的草圖、確立代數(shù)式的取值范圍等方面有著廣泛的應用.因此首先確定函數(shù)的單調(diào)性是解代數(shù)問題的重要基礎，由此確定函數(shù)單調(diào)性的方法就成了很重要的方法.下面我們介紹四種常見方法。

由于單調(diào)性的確定方法多樣，是一個系統(tǒng)的復雜工程，為降低難度，經(jīng)我多年研究，確定函數(shù)的單調(diào)性可以有順序地選擇以下方法.

方法一：判斷函數(shù)是否是已知的8個初等函數(shù)然后按其性質(zhì)直接得出單調(diào)性；

方法二：判斷函數(shù)是否為已知的8個初等函數(shù)的復合函數(shù)，可用“同則增、異則減”的方法確定函數(shù)的單調(diào)性；

方法三：求導數(shù)，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性；

方法四：利用定義進行證明，確定單調(diào)性.

因為以上四種方法我們是有順序地選擇的，所以在研究函數(shù)的單調(diào)性方面，方向明確，思路清晰，效果顯著.

下面我以2013年全國高考（山東）卷真題為例說明單調(diào)性的確定方法過程.

例1.【2013年山東理8題】

函數(shù)y=xcosx+sinx的圖像大致為（ ）

（A） （B） （C） （D）

分析：直接作圖顯然不可能，所以只有通過“性質(zhì)”排除.“性質(zhì)”中我們首先分析單調(diào)性.因為不屬于方法一、二兩類故選用方法三.

∵y′=2cosx-xsinx，當x∈（0，■）時，y是增函數(shù)，結(jié)合f（π）=-π<0函數(shù)的奇偶性，故選D.

點評：1.研究函數(shù)的性質(zhì)是作“草圖”的重要手段，所以圖像問題也是性質(zhì)問題，進而考查了單調(diào)性、奇偶性知圖像；2.單調(diào)性的確定有順序，方法固定，因此成了解決問題的切入點，降低了本題的難度.

例2.【2013年山東理12題】

設正實數(shù)x，y，z滿足x■-3xy+4y■-z=0，則當■取得最大值時，■+■-■是的最大值為（ ）

（A）0 （B）1 （C）■ （D）3

分析：由■=■=■

令u=■，∴■=■

構(gòu)造函數(shù)f（u）=■ u∈（0，+∞），

由方法二可知f（u）的單調(diào)性，且當u=2時，f（u）取得最大值.即：■=2？圯x=2y，并由z=x■-3xy+4y■知：■+■-■=■+■-■=-■+■.又構(gòu)造函數(shù)g（y）=-■+■=-（■-1）■+1，由方法一知g（y）■=1，故選B.

點評：1.最值問題就是函數(shù)的單調(diào)性問題，我們連續(xù)使用方法一、方法二確定函數(shù)的單調(diào)性，問題得解；2.為使用“方法”將代數(shù)式作合理簡化、變形，達到使用“方法”的目的.

例3.【2013年山東理21題】

設函數(shù)f（x）=■+c（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，c∈R）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間，最大值；

（2）討論關于x的方程|lnx|=f（x）根的個數(shù).

分析：（Ⅰ）∵f（x）=■+c？圯f′（x）=■（x∈R）

令1-2x=0？圯x=■

∴f（x）在（-∞，■）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）在（■，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，且f（x）■=f（■）=■+c.

（Ⅱ）構(gòu)造g（x）=|mx|，f（x）=■+c，由g（x）和f（x）的單調(diào)性（方法一和方法二可分別求得）分別作出圖像，因為方程的解就是圖像的交點，考慮到關鍵點g（1）=0，f（1）=■+c.

顯然：當g（1）>f（1），即c<-■時，無交點；

當g（1）=f（1），即c=-■時，有唯一交點；

當g（1）-■時，有兩個交點.

點評：1.對于“復雜”函數(shù)的單調(diào)性，很自然、合理地使用方法三（因為方法一二無法解決）；2.圖像問題、最值問題、零點問題等，幾乎都是單調(diào)性問題.

以上，我僅舉三例說明函數(shù)單調(diào)性的基本確定方法，可以看出很多數(shù)學問題（尤其是函數(shù)問題）幾乎都能轉(zhuǎn)化成函數(shù)單調(diào)性的問題，說明了函數(shù)單調(diào)性確定方法的重要性.