數(shù)學(xué)建模課內(nèi)容和教學(xué)方法的探討

華 穎

(景德鎮(zhèn)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程系，江西景德鎮(zhèn) 333000)

0 前言

數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)相結(jié)合，已產(chǎn)生出一種重要的、可實現(xiàn)的技術(shù)，成為當代高新技術(shù)的重要組成部分。計算機技術(shù)可以用來解決數(shù)學(xué)建模過程中的數(shù)值計算以及建模過程中所涉及到的對數(shù)據(jù)的處理和分析，我們常用的數(shù)學(xué)軟件如MATLAB、LINGO、SPSS等，它們具有強大的繪圖、數(shù)值計算及多樣化的工具箱功能，能夠快捷、有效地計算數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)過程中所涉及到的數(shù)學(xué)模型的求解問題。

我們希望使用先進的數(shù)學(xué)軟件來完善數(shù)學(xué)建模課程的實踐教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅能學(xué)到數(shù)學(xué)知識，也能學(xué)習(xí)到相關(guān)的計算機軟件知識，使得學(xué)生能夠真正認識到數(shù)學(xué)的實用性，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實際問題的能力，也培養(yǎng)學(xué)生使用計算機和數(shù)學(xué)軟件的能力。總之，我們希望以數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)改革為目標，利用數(shù)學(xué)軟件完善數(shù)學(xué)建模課程的實踐教學(xué)為切入點，將數(shù)學(xué)建模的思想融入到數(shù)學(xué)專業(yè)的其他主干課程中去，在我校以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標的教學(xué)模式和思路上起到探索作用。

1 開設(shè)“數(shù)學(xué)建模與實驗”課程的具體做法與實踐

我們將數(shù)學(xué)建模課程的主要教學(xué)內(nèi)容分成兩大塊，第一塊教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)建模和第二塊教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)實驗，數(shù)學(xué)實驗課程安排六個實驗。根據(jù)學(xué)生的具體情況制作相應(yīng)的課件和軟件包，這部分重點介紹使用相關(guān)數(shù)學(xué)軟件對模型的求解，用講座的形式邊講邊演示。數(shù)學(xué)建模采用建模方法加案例的方式進行介紹，其中包括六大模塊，針對每個模塊我們制作相應(yīng)的課件，在教學(xué)過程中應(yīng)注重與學(xué)生的互動，要使學(xué)生通過案例的學(xué)習(xí)能夠?qū)ο鄳?yīng)的建模方法舉一反三，在以后遇到相似的問題會自已解決。下面我們具體介紹一下這兩個模塊的內(nèi)容。

1.1 數(shù)學(xué)建模教學(xué)結(jié)構(gòu)

我們將數(shù)學(xué)建模課程按數(shù)學(xué)知識內(nèi)容分為六大模塊，每個模塊選取四到六個案例，通過案例介紹，使學(xué)生學(xué)會怎樣建立模型，感受到數(shù)學(xué)的廣泛用途。課程內(nèi)容分六個部分介紹:⑴初等模型和簡單優(yōu)化模型;⑵線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃;⑶微分方程和差分方程;⑷數(shù)理統(tǒng)計模型 ;⑸數(shù)據(jù)處理(回歸、方差、插值和擬合);⑹離散模型。

第一部分初等模型和簡單優(yōu)化模型。從最簡單的初等數(shù)學(xué)模型開始，讓學(xué)生了解應(yīng)用初等數(shù)學(xué)方法來解決實際生活中的問題，具體介紹光盤的數(shù)據(jù)容量、雙層玻璃的功效、劃船比賽的成績等模型，使學(xué)生對數(shù)學(xué)建模過程有一個感性的認識。在介紹模型的同時，使用Matlab軟件對課程中所建立的數(shù)學(xué)模型進行求解，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)軟件對求解數(shù)學(xué)模型的重要作用。

第二部分線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃模型。通過介紹奶制品的生產(chǎn)與銷售、自來水輸送與貨機裝運、汽車生產(chǎn)與原油采購等實際問題，讓學(xué)生學(xué)會確定優(yōu)化的目標和尋求的決策。規(guī)劃模型對決策變量的取值范圍有限制，通過加入限制條件可以得到相應(yīng)的優(yōu)化模型，實際中的優(yōu)化問題通常有多個決策變量，對變量的選取和目標函數(shù)的建立是這部分內(nèi)容的關(guān)鍵，在教學(xué)中需重點介紹。至于數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的求解，可以通常使用Matlab軟件包和Lingo軟件包。

第三部分是微分方程和差分方程。我們先介紹傳染病模型、經(jīng)濟增長模型、正規(guī)站與游擊戰(zhàn)模型等，它們是對實際對象的某些特性隨時間(或空間)而演變的過程，分析它的變化規(guī)律、預(yù)測未來性態(tài)、研究它的控制手段時，通常要建立微分模型。然后進一步介紹微分方程的穩(wěn)定性理論，對建立的微分方程作出穩(wěn)定性分析，這樣可使學(xué)生對微分方程模型有一個全面的了解。對差分方程模型的介紹先介紹投入產(chǎn)出模型、原子彈爆炸的能量估計與量綱分析模型和市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型;然后進一步介紹差分方程的穩(wěn)定性分析理論。對微分和差分方程模型的求解我們主要是使用Matlab軟件包，當難以求得微分方程的解析解時，可以求其數(shù)值解。

第四部分數(shù)理統(tǒng)計模型。如果建模時所研究的對象受到隨機因素的影響，在建模時就應(yīng)該建立隨機性的數(shù)學(xué)建模，本部分內(nèi)容我們通過討論傳送系統(tǒng)的效率、報童的訣竅、軋鋼中的浪費和航空公司的訂票策略等問題，討論如何用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型及概率模型。其中要用到的概率運算，以及概率分布、期望、方差等計算問題我們會在相應(yīng)的數(shù)學(xué)實驗課上介紹使用Matla軟件中的相關(guān)語句進行求解。

第五部分數(shù)據(jù)處理(回歸、方差、插值和擬合)模型。如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么通常的辦法是搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析去建立模型。我們就可以使用用途非常廣泛的一類隨機模型統(tǒng)計回歸模型，我們使用SPSS軟件進行對統(tǒng)計回歸模型的數(shù)據(jù)進行處理和分析。

第六部分離散模型。一般地說確定性離散模型包括的范圍很廣，在此主要介紹在實際中應(yīng)用較廣的幾個離散模型，如層次分析模型和沖量過程模型是對社會經(jīng)濟系統(tǒng)進行系統(tǒng)分析的有力工具。循環(huán)比賽的名次和公正的選舉討論了排序問題，席位分配是社會政治領(lǐng)域中一個令人關(guān)注的問題，對于離散模型的求解問題我們使用Matlab軟件進行處理。

1.2 數(shù)學(xué)建模課的實驗

數(shù)學(xué)建模課程涉及到大量的模型求解問題，而數(shù)學(xué)實驗課程就是使用數(shù)學(xué)軟件對數(shù)學(xué)問題進行求解的一門課程，因此為了完善數(shù)學(xué)建模課程我們將這兩門互補的課程結(jié)合在一起。數(shù)學(xué)實驗是以計算機為工具，配以各種數(shù)學(xué)計算軟件(Matlab，Mathematics，Maple，Spss等)作為實驗環(huán)境，用以加工處理各種數(shù)學(xué)資料信息，得到計算結(jié)論過程。因此在教學(xué)過程中需要把課堂教學(xué)與實際操作結(jié)合起來，給學(xué)生實踐機會，提高學(xué)生的動手能力和進行數(shù)值計算與數(shù)據(jù)處理的能力，并且在解決數(shù)學(xué)模型問題的過程中提升學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。對于模塊二數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)我們將數(shù)學(xué)建模實驗課的內(nèi)容分成六個專題，做成六個多媒體課件。課件的主要內(nèi)容是介紹數(shù)學(xué)建模課程中所學(xué)案例的求解方法，主要的教學(xué)方法是將多媒體與軟件包的計算結(jié)合起來，由教師介紹求解過程然后要求學(xué)生動手練習(xí)使用相關(guān)軟件包。多媒體課件的主要制件思路為:以Powerpoint和Matlab、Spss、Lingo軟件為平臺，根據(jù)數(shù)學(xué)建模課本上的案例建立模型，分析同一類模型之間的聯(lián)系，然后對所建立的模型利用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件進行求解，我們把求解的相關(guān)數(shù)學(xué)軟件和算法事先編好在軟件的工作區(qū)中，使用Powerpoint做超級聯(lián)接，在Matlab工作區(qū)調(diào)用保存在寫字板上的Matlab程序的方件名，即得到運算結(jié)果。

1.3 數(shù)學(xué)建模課程的考核

學(xué)期結(jié)束時，我們給出一個具體的建模題目，要求學(xué)生在給定的時間里完成模型的建立和使用數(shù)學(xué)軟件對模型進行求解，并按數(shù)學(xué)建模比賽的格式交一份建模論文和相關(guān)的附件，老師對論文進行評閱給出每個學(xué)生數(shù)學(xué)建模課程的考試成績?？己说闹攸c在建模過程中所作的假設(shè)是否合理，所建立的模型是否正確，以及求解過程是否正確使用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件。我們也希望學(xué)生自已動手完成一篇建模論文，以提高論文寫作能力和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

2 需要進一步解決的問題

在教學(xué)實踐過程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗課程是具有興趣的，因為在學(xué)習(xí)的過程中他們能夠運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題，也為他們在以后的工作和學(xué)習(xí)中更好地使用數(shù)學(xué)工具解決問題打下基礎(chǔ)。但由于我們學(xué)校在這方面的起步比較晚，所以在實踐教學(xué)和數(shù)學(xué)建模比賽的指導(dǎo)過程中遇到了一些問題，主要有以下幾點:

⑴數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗課的結(jié)合及相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式還需要我們在實踐的過程中進一步完善。

⑵應(yīng)該分配相應(yīng)的課時讓學(xué)生自已上機操作，加強學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)軟件的使用能力。

⑶學(xué)生的計算機能力應(yīng)進一步提高，等等。

⑷各個模塊案例的選取還需進一步地討論，應(yīng)注重實用性和靈活性。

⑸任課教師和指導(dǎo)教師的知識結(jié)構(gòu)還有待改善和調(diào)整。

在今后的教學(xué)工作中我們會針對以上的幾個問題作重點的討論和完善，希望能不斷地提高我們學(xué)院數(shù)學(xué)建模教學(xué)及比賽的水平，把這項有益于學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)的活動開展得更好。

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.高等教育出版社，2011.

［2］但琦，趙靜，付詩祿.數(shù)學(xué)建模課內(nèi)容和教學(xué)方法的探討［J］.工科教學(xué)，2002.

［3］李尚志等.數(shù)學(xué)實驗(第二版)［M］.北京.高等教育出版社，2003.