均值與偏度約束下CVaR最小投資組合優(yōu)化模型研究

大連交通大學(xué) 吳 雷 姜昱汐 李博達(dá) 東北大學(xué)秦皇島分校 李 剛

一、引言

投資組合問題是現(xiàn)代金融理論研究的起源和熱點(diǎn)，其核心思想可概括為：如何把財(cái)富配置到不同的資產(chǎn)中，以達(dá)到確保收益、分散風(fēng)險(xiǎn)之目的。自1952年Markowitz建立均值-方差模型定量研究資產(chǎn)組合選擇問題后，人們相繼提出許多其他的投資組合模型?，F(xiàn)有模型側(cè)重于對收益前兩階矩（均值和方差）的關(guān)注，大多忽視了收益的三階矩（偏度）風(fēng)險(xiǎn)。Arditi（1975）指出偏度越大意味著低收益率出現(xiàn)的概率越小而高收益率發(fā)生的概率越大，忽略偏度得出的最優(yōu)組合可能是一個(gè)無效的組合，但未予實(shí)證。張樹斌等（2004）對構(gòu)建的均值-方差-偏度模型進(jìn)行靈敏度測試，進(jìn)一步證實(shí)了偏度的引入極大改變投資組合的選擇。高岳林等（2010）構(gòu)建了均值和VaR約束下偏度最大的多期投資組合模型。遲國泰等（2009）、吳灝文（2011）在均值-方差模型基礎(chǔ)上引入偏度大于等于零約束，建立了正態(tài)分布下的均值-方差-偏度的貸款組合優(yōu)化模型，實(shí)證表明偏度的引入能降低貸款組合的風(fēng)險(xiǎn)，但沒有討論非正態(tài)分布下的情形。

在上述帶有偏度的模型中，仍然使用方差或VaR來度量組合的風(fēng)險(xiǎn)。由于方差將收益的向上波動(dòng)和向下波動(dòng)都視為風(fēng)險(xiǎn)，不符合實(shí)際，夸大了組合的風(fēng)險(xiǎn)；VaR雖是當(dāng)前備受推崇的風(fēng)險(xiǎn)測度方法，但Artzner（1997）證明了VaR不滿足風(fēng)險(xiǎn)測度一致性公理中的次可加性，且對尾部風(fēng)險(xiǎn)關(guān)注不足，因此方差和VaR均不是完善有效的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。Rockafellar和Uryasev于2000年在VaR的基礎(chǔ)上首次提出CVaR概念，并將其與VaR比較后發(fā)現(xiàn)：CVaR滿足次可加性、具有凸性等優(yōu)點(diǎn)，且證實(shí)CVaR更能反映投資組合風(fēng)險(xiǎn)。林東旭等（2004）討論了正態(tài)分布下的均值-CVaR模型及其有效前沿。但肖甲山（2008）對我國股票收益率檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其不服從正態(tài)分布，進(jìn)而討論了非正態(tài)分布下的均值-CVaR模型，并對CVaR加以離散化和線性化處理后將模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，且在求解CVaR的同時(shí)得到了VaR，實(shí)證表明其比均值-方差模型更能降低極端風(fēng)險(xiǎn)。

在綜合考慮以上因素后，本文選用CVaR來測度組合的風(fēng)險(xiǎn)，引入偏度大于等于0約束來降低組合的風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建均值和偏度約束下CVaR最小的投資組合優(yōu)化模型，并利用股票市場數(shù)據(jù)對模型加以驗(yàn)證。

二、模型構(gòu)建

（一）目標(biāo)函數(shù)建立 CVaR的全稱是ConditionalValueatRisk，一般譯為條件在險(xiǎn)價(jià)值，其含義是：在一定的置信水平下，損失超過VaR的條件均值，反映了超額損失的平均水平，又可稱為尾部VaR或平均超額損失。相對于方差和VaR，CVaR有顯著的優(yōu)點(diǎn)：對尾部風(fēng)險(xiǎn)考慮更為充分，滿足次可加性，具有凸性等。故CVaR也被認(rèn)為是當(dāng)前較為完善有效的一種風(fēng)險(xiǎn)測度方法。因此，本文選用CVaR度量投資組合風(fēng)險(xiǎn)，目標(biāo)函數(shù)就是使CVaR最小Uryasev，即：

根據(jù)CVaR的定義，可以得到：

其中，f（x，r）表示投資組合的損失函數(shù)，θ代表置信水平。

通過式（2），很難直接得到CVaR，因?yàn)槭街泻蠽aR這個(gè)內(nèi)生參數(shù)。本文根據(jù)Roclcafellar（2002）設(shè)計(jì)的方法，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，并對CVaR進(jìn)行離散化處理，得到CVaR的近似表達(dá)式：

由式（3）得到的β值就是VaR，這把VaR和CVaR兩者有效的聯(lián)系起來，在求解CVaR的同時(shí)順便得到VaR。

綜合（1）式和（3）式，目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為：

（二）約束條件的建立 具體如下：

（1）收益率約束。理性投資者追求在既定的收益下使風(fēng)險(xiǎn)最小，對于投資組合的收益，一般使用收益率的數(shù)學(xué)期望（均值）表示，即

（2）偏度約束。偏度（skewness）定義為收益與均值之差三次方的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差三次方的比值，其計(jì)算公式為：

其中：σ為收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，ri為收益率的第i個(gè)樣本數(shù)據(jù)，r為平均收益率。

圖1 不同偏度的收益率分布

偏度一般用來衡量收益率概率分布的偏斜方向和偏斜程度。如圖1所示，實(shí)曲線C與虛曲線D是期望值相同的兩個(gè)概率分布，但其偏度不同。實(shí)曲線C的偏度大于0，

左尾薄而右尾厚，低收益率發(fā)生的概率較小，而高收益率出現(xiàn)的機(jī)會較大，這是令投資者滿意的。而虛曲線D的偏度小于0，左尾厚而右尾薄，低收益率發(fā)生的概率較大，而高收益率出現(xiàn)的幾率較小，這是投資者所不希望的。

正態(tài)分布是無偏分布，其偏度為0。但大量研究表明，投資組合的收益率不服從正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)“尖峰厚尾”的形狀。收益率概率分布的“左尾”表示實(shí)際收益率低于預(yù)期收益率的概率，是投資者面臨的真正風(fēng)險(xiǎn)。因此，用偏度大于等于0來控制風(fēng)險(xiǎn)，既可以從整體上減少低收益率發(fā)生的概率，同時(shí)增加高收益率發(fā)生的幾率，符合投資者的心理。

要使組合收益率的偏度大于等于0，等價(jià)于使組合收益率的三階矩大于等于0，即

（3）投資比例和非負(fù)約束。組合中所有資產(chǎn)投資比例之和應(yīng)等于 1，即

同時(shí)，組合中所有資產(chǎn)通常不允許賣空，即：

（三）模型建立 綜合（4）-（8）式，可以建立均值和偏度約束下CVaR最小的投資組合優(yōu)化模型，即：

岳瑞峰等（2003）證明了在求解優(yōu)化問題時(shí)將CVaR加以離散化和線性化處理后最優(yōu)解不變，因此，（10）式中的模型與（9）式中的模型有相同的最優(yōu)解。對（10）式中的模型進(jìn)行求解后，目標(biāo)函數(shù)值就是CVaR值，值就是VaR值。

由此可見，對CVaR加以離散化和線性化處理，不僅降低了優(yōu)化模型的求解難度，而且在求解CVaR的同時(shí)順便得到VaR。同時(shí)，此模型不需要假定組合收益率服從某一具體分布就能求出投資比例，這使模型的適用范圍進(jìn)一步拓寬，模型的實(shí)用價(jià)值也得以提升。

（四）模型特色 首先，在傳統(tǒng)的均值-CVaR模型中，引入偏度大于等于0的約束，既可以減少低收益率發(fā)生的概率，同時(shí)也增加高收益率出現(xiàn)的機(jī)會，進(jìn)而降低了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，提高了模型的合理性。其次，對CVaR作離散化和線性化處理，將模型轉(zhuǎn)化為一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，不僅降低了模型的求解難度，而且使模型適用于求解任何形式的投資組合問題，提升了模型的實(shí)用性。

三、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)收集與統(tǒng)計(jì)分析 為分散組合風(fēng)險(xiǎn)，從我國滬深兩市不同行業(yè)隨機(jī)選取10只股票，時(shí)間從2012年1月6日到2012年7月6日，采集每周末的股票收盤價(jià)，使用表達(dá)式 計(jì)算股票周收益率，其中Pi，t和Pi，t-1分別表示第i只股票第t周和第t-1周的周末收盤價(jià)。通過計(jì)算可以獲得25周的數(shù)據(jù)，樣本描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1：

表1 10只股票收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

由表1可知，10只股票收益率的偏度和峰度均不為0，不符合正態(tài)分布。其中，華策影視和深圳燃?xì)膺@兩只股票收益率的偏度分別為-3.77和-4.6，峰度分別高達(dá)16.17和22.23，其分布明顯帶有“尖峰厚尾”，發(fā)生極端損失的可能性較大。如果對負(fù)偏度產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)不予考慮，投資者遭受較大損失的可能性就會上升。

（二）模型求解與分析 將m=25，n=10等數(shù)據(jù)代入（10）式模型中，置信水平θ取95%，建立優(yōu)化模型，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果如表2所示。由表2可以看出：在給定三種不同期望收益率下，投資的股票種類保持不變，始終為青島啤酒、格力電器、大商股份、中國人壽和深圳燃?xì)膺@五只股票，只是投資的比例有所調(diào)整。當(dāng)周期望收益率設(shè)定為0.55%，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值CVaR和VaR分別為3.55%和4.17%，這意味著有95%的把握可以保證，上述五只股票的組合收益率在未來一周內(nèi)，因市場波動(dòng)而導(dǎo)致的正常損失不超過3.55%，極端損失不超過4.17%。同時(shí)也不難發(fā)現(xiàn)，在三種不同期望收益率下，CVaR值比VaR值均要大，這說明風(fēng)險(xiǎn)度量方法CVaR比VaR更能捕捉投資組合所面臨的極端風(fēng)險(xiǎn)。伴隨著期望收益率逐步提高，VaR和CVaR也同時(shí)增高，這表明投資者要求的報(bào)酬越高，承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也相應(yīng)越高。

表2 模型的求解結(jié)果

四、結(jié)論

首先，本文使用組合收益率偏度大于等于零控制重大損失發(fā)生的概率，在既定的期望收益率水平下使組合的風(fēng)險(xiǎn)值CVaR最小，構(gòu)建了均值和偏度約束下CVaR最小的投資組合優(yōu)化模型，并利用股票市場數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。其次，在傳統(tǒng)的均值-CVaR模型的基礎(chǔ)上引入偏度大于等于零約束，既減少低收益率發(fā)生的概率，同時(shí)也增大高收益率出現(xiàn)的機(jī)會，進(jìn)而降低了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，提高了投資的合理性。最后，對CVaR進(jìn)行離散化和線性化處理，不僅降低了模型的求解難度，而且使模型適用于任何概率分布的投資組合問題，提高了模型的實(shí)用性。

［1］ 張樹斌、白隨平、姚立：《含有交易成本的均值-方差-偏度資產(chǎn)組合優(yōu)化模型》，《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識》2004年第2期。

［2］ 高岳林、孫瀅、安曉會：《基于偏度的多期組合投資調(diào)整模型》，《商業(yè)研究》2010年第2期。

［3］ 遲國泰、遲楓、閆達(dá)文：《貸款組合的“均值-方差-偏度”三因素優(yōu)化模型》，《運(yùn)籌與管理》2009年第4期。

［4］ 林東旭、鞏前錦：《正態(tài)條件下均值-CVaR有效前沿的研究》，《管理科學(xué)》2004年第3期。

［5］ 肖甲山：《CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法及在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用研究》，中南大學(xué)出版社2008版。

［6］ 吳灝文：《基于高階風(fēng)險(xiǎn)防范的銀行資產(chǎn)負(fù)債組合優(yōu)化模型研究》，大連理工大學(xué)出版社2011版。

［7］ 岳瑞峰、李振東、楊曉萍：《風(fēng)險(xiǎn)管理的CVaR方法及其簡化模型》，《河北省科學(xué)院學(xué)報(bào)》2003年第3期。