群中由子集定義的關(guān)系

劉宏偉, 陳 剛

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院, 湖北武漢430079)

1 引 言

在一般綜合性大學(xué)和師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)設(shè)置的課程中，抽象代數(shù)(有時又稱為近世代數(shù))課程對于培養(yǎng)學(xué)生抽象的邏輯思維能力具有不可替代的重要地位，同時這門課程也擔(dān)當(dāng)著數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)方向其他課程學(xué)習(xí)的承前啟后的作用.它承接數(shù)學(xué)專業(yè)一、二年級開設(shè)的高等代數(shù)、解析幾何課程，也為群論等后續(xù)代數(shù)課程的學(xué)習(xí)提供必要的知識、方法和能力的準(zhǔn)備. 這門課程也與中學(xué)數(shù)學(xué)課程的知識、教學(xué)等緊密聯(lián)系.

群、關(guān)系、等價關(guān)系以及偏序關(guān)系等都是抽象代數(shù)課程中的重要基本概念，貫穿于抽象代數(shù)課程學(xué)習(xí)的整個知識體系結(jié)構(gòu)之中. 在抽象代數(shù)課程的實(shí)際教學(xué)中， 一般都是利用群的一個子群來定義等價關(guān)系， 從而引出左陪集、右陪集的概念，并導(dǎo)出群論中第一個非常有用的定理，即Lagrange定理. 例如在文獻(xiàn)[1]中第二章的命題2.4.1是如下敘述的：

設(shè)G是一個群，H是G的子群. 對任a,b∈G， 如果b-1a∈H，則記a≡Lb(modH),稱a與b模H左同余，那么≡L(modH)是G上的等價關(guān)系.a所在的等價類為[a]L=aH∶={ah|h∈H},稱為a所在子群H的左陪集，商集記作G/H={aH|a∈G}.

本文的主要目的是推廣上述由群的子群來定義關(guān)系的思想： 即由一個群的非空子集來定義該群上的關(guān)系，并討論相關(guān)的一些性質(zhì). 也就是通過如下方式定義的關(guān)系：

定義1設(shè)G是一個群，S是G的一個非空子集. 對a,b∈G, 如果b-1a∈S，則記a～Lb(modS),稱a與b模S左同余；同理可以定義關(guān)系～R(modS).

本文只對～L(modS)來敘述主要結(jié)果，對關(guān)系～R(modS)，可以得到類似的結(jié)論.

設(shè)S是群G的一個非空子集，記S-1={s-1|s∈S}.關(guān)于等價關(guān)系、偏序關(guān)系的定義可參見[1.§1.2]或其它標(biāo)準(zhǔn)抽象(近世)代數(shù)教材.

在定義1之下， 有如下主要結(jié)果：

命題1上述由群G的非空子集S定義的關(guān)系～L(modS)具有如下性質(zhì)：

(i) ～L(modS)滿足自反律當(dāng)且僅當(dāng)1∈S；

(ii) ～L(modS)滿足傳遞律當(dāng)且僅當(dāng)S是G的乘閉子集；

(iii) ～L(modS)滿足對稱律當(dāng)且僅當(dāng)S-1?S.

由命題1，我們有如下顯然的推論：

推論1若～L(modS)滿足傳遞律和對稱律， 那么它一定滿足自反律.

下面定理的一個方向就是[1,命題2.4.1.].

定理1～L(modS)是G上的等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)S是G的子群.

下面考慮～L(modS)何時是偏序關(guān)系. 有如下結(jié)論：

定理2～L(modS)是G上的偏序關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)S是G的幺子半群且S∩S-1={1}.

注1 與[2,§5.1]中序域(ordered fields)類似，可以把滿足定理2條件的群稱為序群. 我們不清楚哪些群可以成為序群.當(dāng)然，對任何群G，取S={1}可以得到G上的平凡序關(guān)系，相等關(guān)系. 找到一些特殊群上的非平凡的序關(guān)系似乎是一個有意思的問題.

2 主要結(jié)果及其證明

本節(jié)將給出主要結(jié)果的證明.

命題1的證明(i)～L(modS)滿足自反律當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈G均有a～La(modS), 當(dāng)且僅當(dāng)a-1a∈S對任意的a∈G成立當(dāng)且僅當(dāng)1∈S.

(ii) 若～L(modS)滿足傳遞律，注意到對任意的s,t∈S,由定義，有

s～L1(modS), 1～Lt-1(modS).

從而由～L(modS)的傳遞性，得

s～Lt-1，

即ts∈S，故S是G的乘閉子集.

反之，設(shè)S是G的乘閉子集. 對任意的a,b,c∈G, 若

a～Lb(modS),b～Lc(modS)

即有b-1a∈S,c-1b∈S.故由S的乘閉性， 得

c-1a=(c-1b)(b-1a)∈S，

亦即a～Lc(modS), 故～L(modS)滿足傳遞律.

(iii) 設(shè)～L(modS)滿足對稱律. 對任意的s∈S， 注意到

s～L1(modS),

從而由對稱性1～Ls(modS), 即有s-1=s-11∈S.故S-1?S.

反之， 設(shè)S-1?S,對任意的a,b∈S. 若

a～Lb(modS),

即有b-1a∈S，由于S-1?S,則

a-1b=(b-1a)-1∈S.

從而

b～La(modS),

于是～L(modS)滿足對稱律.

推論1的證明若～L(modS)滿足傳遞律和對稱律, 從而S是G的乘閉子集且S-1?S.故1∈S, ～L(modS)滿足自反律.

定理1的證明由命題1及[1,命題2.4.1.]易證.

定理2的證明根據(jù)偏序關(guān)系的定義，～L(modS)是G上的偏序關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)～L(modS)滿足自反律、傳遞律和反對稱律.根據(jù)命題1，進(jìn)一步可得， ～L(modS)是G上的偏序關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)1∈S,S是G的乘閉子集且～L(modS)滿足反對稱律當(dāng)且僅當(dāng)S是G的幺子半群且～L(modS)滿足反對稱律.

注意到～L(modS)滿足反對稱律當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a,b∈G，若a～Lb(modS)且b～La(modS), 則一定有a=b.

一方面，假設(shè)由幺子半群S定義的關(guān)系～L(modS)滿足反對稱律，但S∩S-1?{1},則可取

1≠s∈S∩S-1，

那么

1～Ls(modS),s～L1(modS).

但這里s≠1，這與～L(modS)滿足反對稱律相矛盾.

另一方面，設(shè)幺子半群S滿足S∩S-1={1}，那么對任意的a,b∈G，若a～Lb(modS)且b～La(modS),則

b-1a∈S,a-1b∈S,

于是

a-1b=(b-1a)-1∈S∩S-1={1}，

從而a=b, ～L(modS)滿足反對稱律.

例1設(shè)Z是所有整數(shù)構(gòu)成的加群. 如果取S是所有非負(fù)整數(shù)的集合， 那么S是Z的一個幺子半群且S∩-S={0}. 由S定義了Z上的一個偏序關(guān)系，即為整數(shù)的大小關(guān)系.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 樊惲,劉宏偉.抽象代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社,2008.

[2] Jacobson N. Basic algebra I[M]. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.,1985.