構(gòu)造三角形中位線解圓錐曲線問題

蔣玉清

眾所周知，三角形中位線是平面幾何中的一個(gè)重要定理，近年高考題往往涉及圓錐曲線和平面幾何的綜合，如果在處理這類圓錐曲線問題中，利用坐標(biāo)原點(diǎn)是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，巧妙構(gòu)造三角形中位線，揭示其幾何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？搖求圓錐曲線的離心率

通過圓錐曲線的中心是連接兩焦點(diǎn)線段的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，建立方程，得到幾何量之間的關(guān)系。

例1 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)A，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

解 不妨設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)′為右焦點(diǎn)，連接PF′，則OA是三角形PFF′的中位線，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因?yàn)閨PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案選A。

二、求動點(diǎn)的軌跡

通過對弓箭形狀補(bǔ)成等腰三角形，借助于對稱性構(gòu)造三角形中位線，獲取圓錐曲線中動點(diǎn)與不動點(diǎn)間的關(guān)系。

例2 設(shè)F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 - =1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，Q是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，求點(diǎn)P的軌跡方程。

解 延長F1P與QF2交于點(diǎn)M，因?yàn)镼F1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，從而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是點(diǎn)P的軌跡方程是圓的一部分。

三、判斷兩圓的位置關(guān)系

通過構(gòu)造三角形中位線建立圓錐曲線中變量之間的相互關(guān)系。

例3 已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓 + （a>b>0）上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，求證：以PF 為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

證明 設(shè)以PF2為直徑的圓的圓心為A，半徑為r。

因?yàn)镕1、F2為焦點(diǎn)，所以由橢圓定義知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。連接OA，由三角形中位線定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

四、求線段的長度

通過構(gòu)造三角形中位線，探求涉及圓錐曲線不變量的度量。

例4 設(shè)橢圓 + =1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)1是該橢圓的左焦點(diǎn)，

若點(diǎn)M滿足 = （ + ），則| |= 。

解 設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)第二定義可解答：

因?yàn)?= = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M為PF1中點(diǎn)，

則| |是△PF2F1的中位線。

所以| |= |PF2|=2。

綜上所述，我們在解答涉及圓錐曲線問題時(shí)，要注重平面幾何知識的運(yùn)用，加強(qiáng)數(shù)與形的認(rèn)識，提高綜合解題能力。 （作者單位：江西省南昌市第三中學(xué)）endprint

眾所周知，三角形中位線是平面幾何中的一個(gè)重要定理，近年高考題往往涉及圓錐曲線和平面幾何的綜合，如果在處理這類圓錐曲線問題中，利用坐標(biāo)原點(diǎn)是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，巧妙構(gòu)造三角形中位線，揭示其幾何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？搖求圓錐曲線的離心率

通過圓錐曲線的中心是連接兩焦點(diǎn)線段的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，建立方程，得到幾何量之間的關(guān)系。

例1 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)A，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

解 不妨設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)′為右焦點(diǎn)，連接PF′，則OA是三角形PFF′的中位線，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因?yàn)閨PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案選A。

二、求動點(diǎn)的軌跡

通過對弓箭形狀補(bǔ)成等腰三角形，借助于對稱性構(gòu)造三角形中位線，獲取圓錐曲線中動點(diǎn)與不動點(diǎn)間的關(guān)系。

例2 設(shè)F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 - =1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，Q是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，求點(diǎn)P的軌跡方程。

解 延長F1P與QF2交于點(diǎn)M，因?yàn)镼F1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，從而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是點(diǎn)P的軌跡方程是圓的一部分。

三、判斷兩圓的位置關(guān)系

通過構(gòu)造三角形中位線建立圓錐曲線中變量之間的相互關(guān)系。

例3 已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓 + （a>b>0）上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，求證：以PF 為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

證明 設(shè)以PF2為直徑的圓的圓心為A，半徑為r。

因?yàn)镕1、F2為焦點(diǎn)，所以由橢圓定義知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。連接OA，由三角形中位線定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

四、求線段的長度

通過構(gòu)造三角形中位線，探求涉及圓錐曲線不變量的度量。

例4 設(shè)橢圓 + =1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)1是該橢圓的左焦點(diǎn)，

若點(diǎn)M滿足 = （ + ），則| |= 。

解 設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)第二定義可解答：

因?yàn)?= = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M為PF1中點(diǎn)，

則| |是△PF2F1的中位線。

所以| |= |PF2|=2。

綜上所述，我們在解答涉及圓錐曲線問題時(shí)，要注重平面幾何知識的運(yùn)用，加強(qiáng)數(shù)與形的認(rèn)識，提高綜合解題能力。 （作者單位：江西省南昌市第三中學(xué)）endprint

眾所周知，三角形中位線是平面幾何中的一個(gè)重要定理，近年高考題往往涉及圓錐曲線和平面幾何的綜合，如果在處理這類圓錐曲線問題中，利用坐標(biāo)原點(diǎn)是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，巧妙構(gòu)造三角形中位線，揭示其幾何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？搖求圓錐曲線的離心率

通過圓錐曲線的中心是連接兩焦點(diǎn)線段的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，建立方程，得到幾何量之間的關(guān)系。

例1 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)A，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

解 不妨設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)′為右焦點(diǎn)，連接PF′，則OA是三角形PFF′的中位線，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因?yàn)閨PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案選A。

二、求動點(diǎn)的軌跡

通過對弓箭形狀補(bǔ)成等腰三角形，借助于對稱性構(gòu)造三角形中位線，獲取圓錐曲線中動點(diǎn)與不動點(diǎn)間的關(guān)系。

例2 設(shè)F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 - =1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，Q是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，求點(diǎn)P的軌跡方程。

解 延長F1P與QF2交于點(diǎn)M，因?yàn)镼F1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，從而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是點(diǎn)P的軌跡方程是圓的一部分。

三、判斷兩圓的位置關(guān)系

通過構(gòu)造三角形中位線建立圓錐曲線中變量之間的相互關(guān)系。

例3 已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓 + （a>b>0）上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，求證：以PF 為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

證明 設(shè)以PF2為直徑的圓的圓心為A，半徑為r。

因?yàn)镕1、F2為焦點(diǎn)，所以由橢圓定義知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。連接OA，由三角形中位線定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

四、求線段的長度

通過構(gòu)造三角形中位線，探求涉及圓錐曲線不變量的度量。

例4 設(shè)橢圓 + =1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)1是該橢圓的左焦點(diǎn)，

若點(diǎn)M滿足 = （ + ），則| |= 。

解 設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)第二定義可解答：

因?yàn)?= = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M為PF1中點(diǎn)，

則| |是△PF2F1的中位線。

所以| |= |PF2|=2。

綜上所述，我們在解答涉及圓錐曲線問題時(shí)，要注重平面幾何知識的運(yùn)用，加強(qiáng)數(shù)與形的認(rèn)識，提高綜合解題能力。 （作者單位：江西省南昌市第三中學(xué)）endprint