改進(jìn)的PTM方法及其在區(qū)間估計(jì)中的應(yīng)用

呂 鵬,相榮霞,袁永生

(河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 210098)

PTM(投影深度削減平均)[1]方法是一種比較穩(wěn)健的區(qū)間估計(jì)方法，該方法基于Bootstrap抽樣[2-7]，合理地引進(jìn)深度函數(shù)[1,4-5]，抑制異常點(diǎn)[6]、重尾分布以及污染數(shù)據(jù)的影響.但是，從文獻(xiàn)[8-9]提出的PTM方法雖然具有較好的穩(wěn)健性，但按照深度截尾得到的區(qū)間偏左，或可能出現(xiàn)區(qū)間“倒置”，而且在小樣本情形下，運(yùn)用該方法可能存在溢出，因此不可用.基于上述可能存在的缺陷，筆者合理地改進(jìn)了PTM方法，對(duì)原來(lái)的深度函數(shù)進(jìn)行重新定義,得到了更加合理的，既適合于小樣本情形，又適合于大樣本情形下的再抽樣區(qū)間估計(jì)方法.

1 Bootstrap抽樣方法

Bootstrap實(shí)際上就是一種再抽樣方法，再抽樣的次數(shù)通常很大，一般都在200次以上.本文用到2種Bootstrap抽樣方法[2,7].

方法1 直接利用原始樣本數(shù)據(jù)作有放回抽樣.設(shè)從1～n內(nèi)產(chǎn)生的n個(gè)隨機(jī)整數(shù)，以上述隨機(jī)產(chǎn)生數(shù)為下標(biāo)的原始樣本數(shù)據(jù)作為再生樣本.這種方法可能存在如下2個(gè)缺點(diǎn)：

1) 抽樣后所產(chǎn)生新的樣本序列可能并不服從原始樣本所服從的總體分布.

2) 抽樣之后的樣本總體依賴于(0，n)隨機(jī)發(fā)生器，若(0，n)隨機(jī)發(fā)生器產(chǎn)生的數(shù)據(jù)服從某種分布或者均衡性不好，會(huì)使最終的抽樣總體存在系統(tǒng)偏差.當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題可以解決.

設(shè)原始樣本為x1,x2,…,xn，在(0,1)內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生n個(gè)(0,1)內(nèi)的小數(shù)ri,i=1,2,…,n，其中n為原始樣本容量.令αi=(n-1)ri，βi=|αi|+1，i=1,2,…,n，并且令y*i=xβi+(βi-αi+1)(xβi+1-xβi)，i=1,2,…,n，以此作為一個(gè)新的樣本.如此繼續(xù)重復(fù)抽樣B次，得到B個(gè)Bootstrap樣本[2].

2 改進(jìn)的PTM方法

對(duì)PTM方法進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)原來(lái)的深度函數(shù)進(jìn)行重新定義,利用深度函數(shù)的大小來(lái)去掉原始數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn), 使得到的參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間更加精確地逼近于真值，從而提高區(qū)間估計(jì)的精度.

改進(jìn)的PTM方法的一般步驟.

第1步：定義PTM.

1) 設(shè)X=(x1,x2,…,xn)為任意樣本，令Med(X)為樣本中位數(shù)，MAD(X)為{|xi-Med(X)|,(i=1,2,…,n)}的中位數(shù).

2) 定義深度函數(shù)

對(duì)原來(lái)的深度函數(shù)進(jìn)行重新定義，可以克服原來(lái)定義中的可能出現(xiàn)溢出的缺陷，使得到的改進(jìn)的PTM方法更加合理有效.

3) 對(duì)于某一個(gè)常數(shù)β>0，對(duì)于所有滿足PD(xi,X)≥β的xi(i=1,2,…，k)有

其中，之所以取某一個(gè)常數(shù)β>0，并對(duì)所有滿足條件PD(xi,X)≥β的xi取均值，作為均值參數(shù)μ的一個(gè)估計(jì)，其主要思想是利用深度函數(shù)的大小來(lái)去掉原始數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)或者“貢獻(xiàn)”較小點(diǎn)的影響，使得到的參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間更加精確地逼近于真值或者在樣本均值附近，從而提高區(qū)間估計(jì)的精度.并且可以證明PTMβ(X)漸近趨于均值μ.

第2步：利用Bootstrap抽樣方法，得到參數(shù)的估計(jì)區(qū)間：

1) 設(shè)X=(x1,x2,…,xn)為來(lái)自于經(jīng)驗(yàn)分布Fn的樣本容量為n的任意樣本，采用Bootstrap抽樣方法，對(duì)這組樣本進(jìn)行模擬抽樣，得到B組樣本容量為n的樣本，我們把這B組樣本放在一起，記作Y=(X1,X2,…,XB)；

2) 對(duì)這B個(gè)樣本中的每一組樣本，分別按照PTM的定義進(jìn)行計(jì)算，得到B個(gè)PTMβ值，按照樣本下標(biāo)順序，我們令得到的PTMβ值分別為

PTMβ1,PTMβ2,…,PTMβB;

3)然后將PTMβ1,PTMβ2,…,PTMβB按照大小排序PTMβ(1),PTMβ(2),…,PTMβ(B)；

將得到的PTMβ1,PTMβ2,…,PTMβB按照大小進(jìn)行排序，改變了原來(lái)PTM方法中按照深度進(jìn)行排序，這樣主要是避免出現(xiàn)置信區(qū)間“倒置”的缺陷.

4) 對(duì)于給定的精度α，利用百分位法截尾，得到的置信區(qū)間為

(PTMβ(?B.α/2?+1),PTMβ(?B.(1-α/2)?)).

3 改進(jìn)的PTM方法的優(yōu)良性比較

改進(jìn)的PTM方法是基于左義君PTM方法的優(yōu)勢(shì)[8-9]，結(jié)合其存在的缺陷，加以改進(jìn)得到的一種合理的、有效的、穩(wěn)健的區(qū)間估計(jì)方法.該方法可以適用于任何分布的指定參數(shù)的區(qū)間估計(jì).下面本文分別在正態(tài)分布、泊松分布、指數(shù)分布的情形下，分別基于小樣本情形和大樣本情形，比較改進(jìn)的PTM方法和經(jīng)典方法、百分位法的優(yōu)良性.

用Matlab軟件和數(shù)據(jù)模擬的方法比較改進(jìn)的PTM方法與經(jīng)典t方法、百分位法，以此來(lái)研究改進(jìn)的PTM方法的優(yōu)良性.

由于本文中Bootstrap抽樣方法有2種，且使用較多的是方法1(稱為一般的Bootstrap抽樣方法)和方法2(稱為加權(quán)處理的Bootstrap抽樣方法[2,10]).因此，基于不同的Bootstrap抽樣方法，比較改進(jìn)的PTM方法和傳統(tǒng)方法的優(yōu)良性.并且在樣本容量不同時(shí)，各種方法表現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)良性也不相同，結(jié)合有關(guān)樣本數(shù)目的規(guī)定，分別比較當(dāng)樣本容量為7、20、和120，Bootstrap抽樣為500時(shí)的改進(jìn)的PTM的優(yōu)良性.見表1～2.

表1 一般Bootstrap抽樣下置信水平為95%的隨機(jī)模擬500次置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度(覆蓋率)

表2 加權(quán)Bootstrap抽樣下置信水平為95%的隨機(jī)模擬500次置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度(覆蓋率)

1)n=7時(shí)，改進(jìn)的PTM方法中的參數(shù)β的取值在不同的分布下取不同的值，一般的在正態(tài)分布下，令β=0.52，在泊松分布下，令β=0.5，在指數(shù)分布下，令β=0.53.N=20，120時(shí)，PTM方法中，參數(shù)β的取值均取值為0.5.

2) 在實(shí)際的問(wèn)題當(dāng)中，當(dāng)樣本容量小于15時(shí)，經(jīng)典方法是不適用.在這里我們暫時(shí)假設(shè)它可以適用，比較得到上述結(jié)果.

綜合上述多種情形可以看出：在總體為正態(tài)分布和指數(shù)分布時(shí)，改進(jìn)的PTM都具有較好的優(yōu)良性.特別是在小樣本的情形下，改進(jìn)的PTM方法較經(jīng)典方法和百分位法具有更好的優(yōu)良性：相同置信水平下，較經(jīng)典方法得到的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度更短，并且真值的覆蓋率較高，基本處于95%左右.對(duì)于加權(quán)處理的 Bootstrap 抽樣方法，在相同置信水平下，改進(jìn) PTM 方法得到的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度更短，且具有更好的穩(wěn)健性.在總體分布為泊松分布時(shí)，改進(jìn)的PTM方法的優(yōu)良性不突出，可能跟泊松分布樣本的離散性有關(guān)，需要進(jìn)一步的驗(yàn)證分析.

4 實(shí)例驗(yàn)證

數(shù)據(jù)來(lái)自某廠某種燈泡的壽命[11]，已知服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16個(gè)，測(cè)得其壽命為 1 510、1 450、1 480、1 460、1 520、1 480、1 490、1 460、1 480、1 510、1 530、1 470、1 500、1 520、1 510、1 470 h.

從表3中可以看出在小樣本情況下，一般Bootstrap抽樣下的PTM方法所得的所有燈泡的平均壽命的置信區(qū)間比用 Bootstrap 4 種方法和常規(guī)方法估計(jì)的區(qū)間寬度短，從而說(shuō)明對(duì)于一般的 Bootstrap 抽樣方法，在相同置信水平下，改進(jìn) PTM 方法得到的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度更短，且具有更好的穩(wěn)健性.同時(shí)，加權(quán)Bootstrap抽樣下的PTM方法所得的所有燈泡的平均壽命的置信區(qū)間比一般Bootstrap抽樣下的PTM方法所得的所有燈泡的平均壽命的置信區(qū)間的區(qū)間寬度要更小一點(diǎn)，具有更高的精度.

表3 常規(guī)方法和 Bootstrap 方法以及PTM方法對(duì)燈泡壽命的區(qū)間估計(jì)

注：PTM1為一般Bootstrap抽樣下的PTM方法，PTM2為加權(quán)Bootstrap抽樣下的PTM方法；上述Bootstrap抽樣次數(shù)B均為1000.

在小樣本情形下，改進(jìn)的PTM方法較經(jīng)典方法具有更高的精度，相同置信水平下，改進(jìn)的PTM方法得到的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度更短，且具有較高的真值覆蓋率，所以改進(jìn)的 PTM 方法得到的置信區(qū)間具有較好的穩(wěn)健性;尤其在加權(quán)之后的 Bootstrap 方法下，所得到的區(qū)間更加穩(wěn)健，左右擺動(dòng)的幅度更小，且區(qū)間長(zhǎng)度更短.

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