具有一般激活函數(shù)的變時滯并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性

賈玉生，楊 紅

(青島濱海學(xué)院 文理基礎(chǔ)學(xué)院，山東 青島 266555 )

Chua等[1]在1988年首先提出細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)理論，目前有很多學(xué)者研究其理論和應(yīng)用[2-12]，細胞非線性網(wǎng)絡(luò)是當今計算機科學(xué)、電子工程、數(shù)學(xué)、信息科學(xué)等學(xué)科和領(lǐng)域的研究熱點之一，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在人工智能、認知科學(xué)、生物分子學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，1991年美國學(xué)者Pinter教授等[2]首先提出并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SICNNs),從那時開始，很多學(xué)者研究了并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，現(xiàn)在它在數(shù)據(jù)壓縮、模糊信息處理、圖像處理及優(yōu)化設(shè)計等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.考慮的時滯并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始模型如下：cij表示在(i,j)位置的細胞，其在t時刻的狀態(tài)方程為：

(1)

其中xij(t)是細胞cij在t時刻的活動狀態(tài)函數(shù)，Lij(t)表示外部輸入函數(shù)，激活函數(shù)f(xkl)是連續(xù)函數(shù)且是正的，Nr(i,j)是細胞cij的一個r-鄰域：

Nr(i,j)={ckl:max(|k-i|,|l-j|≤r,1≤k≤m,1≤l≤n}.

從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)有的實際應(yīng)用出發(fā)，其收斂的動力學(xué)行為研究的較多，人們總認為動力學(xué)行為最終獲得的信息是抓得住的形式，既穩(wěn)定狀態(tài)的平衡點，這種穩(wěn)定狀態(tài)的獲取在模式識別、組合優(yōu)化等方面很有用，如果我們利用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是穩(wěn)定的，則我們的目的比較容易達到，所以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計和分析中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是極為重要的且是非常有實際意義的.

另一方面，在實際模型的設(shè)計時,需要考慮一些重要數(shù)據(jù)的變化范圍和重要的系統(tǒng)參數(shù)的取值界限,比如在電路設(shè)計中，系統(tǒng)參數(shù)的擾動是必須要考慮的具體問題，因此，研究系統(tǒng)在參數(shù)的某些變化內(nèi)的穩(wěn)定性也就是系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性是非常重要的，我們研究如下的并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(2)

其中，τ是一個有界非負常數(shù)，f(xkl)是連續(xù)的函數(shù)且是正的、有界的，根據(jù)實際情況，在文中我們研究Lij(t)=Lij為常數(shù)的情況，根據(jù)激活函數(shù)的實際意義，研究并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時有假設(shè)H1：

|f(x)-f(y)|≤μ|x-y|.

文獻[13]給出了系統(tǒng)(2)的一個與時滯無關(guān)的全局魯棒穩(wěn)定性的充分條件，

在實際的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用時時滯往往不是固定的而是隨時間變化的，應(yīng)該說常時滯僅為變時滯的特殊情況，所以我們研究變時滯并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性更具實際意義.

考慮變時滯并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(3)

其中，根據(jù)實際情況我們認為τ(t)是非負有界的連續(xù)函數(shù)，即存在正數(shù)τ>0，0≤τ(t)≤τ，在文中我們研究Lij(t)=Lij為常數(shù)的情況，在以往的研究中[9-10,14]，都是假設(shè)f(xkl)是正的連續(xù)有界函數(shù)，這在某種程度上限制了實際應(yīng)用，而我們研究具有一般激活函數(shù)的情形，我們僅要求If=infx∈Rf(x)存在即可, 這是比較新的嘗試，我們研究并且得到了其全局穩(wěn)定的充分條件.

1 主要結(jié)果

下面給出具一般激活函數(shù)的變時滯并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性的充分條件.

定理1 若x*是系統(tǒng)(3)的平衡點，當假設(shè)H2:

成立時，則

證明若x*是系統(tǒng)(3)的平衡點，則x*滿足

成立，則系統(tǒng)(3)存在唯一的平衡點.

證明假設(shè)x=x*是系統(tǒng)(3)的平衡點，那么滿足

所以映射F是映射D到D的連續(xù)自映射，由Brouwer不動點定理知映射在D上至少存在一個不動點x=x*，從而系統(tǒng)(3)至少有1個平衡點.

又對任意的X,Y∈D, 有

由H3顯然可得0<λ<1，所以映射F為壓縮映射，由壓縮映射原理知存在唯一的x*滿足F(x*)=x*，因此，系統(tǒng)(3)有唯一的平衡點.

定理3 假設(shè)H4：τ(t)可微,且存在正數(shù)τ>0，使得0≤τ(t)≤τ，1≥1-τ′(t)≥ζ>0，有

成立，則系統(tǒng)(3)的平衡點是全局魯棒穩(wěn)定的，其中γ如引理1所規(guī)定.

(4)

要證明定理3，只要證明系統(tǒng)(4)的平衡點是全局魯棒穩(wěn)定的即可.

由Lypounov穩(wěn)定性理論知系統(tǒng)(4)的平衡點是全局魯棒穩(wěn)定的,所以系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定點是全局魯棒穩(wěn)定的，即定理成立.

推論1 若τ(t)=τ為常數(shù)，且假設(shè)H1,H2,H3,H4成立，則系統(tǒng)(3)的平衡點是全局魯棒穩(wěn)定的.

2 結(jié)語

研究了具有一般激活函數(shù)的變時滯并聯(lián)限制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性，這是一個比較新的嘗試，并且給出了全局魯棒穩(wěn)定的一個充分條件，為其應(yīng)用提供了更為廣泛的理論依據(jù).

參考文獻:

[1] CHUA L O, YANG L.Cellular neural networks: Theory[J].IEEE Trans Circuits Syst，1988，35(10)： 1257-1272.

[2] BOUZERDOUM A, PINTER R B.Shunting inhibitory cellular neural networks: derivation and stability analysis[J].IEEE Trans Circuits Systems I Fund Theory and Appl,1991,40(3)：215-221.

[3] KELLY D G.Stability in contractive nonlinear neural networks[J].IEEE Trans.Biomed, 1990, 37 (3): 231-242.

[4] KOHONEN T.Self-organization and Associative Memory[M].NewYork：Springer, 1988

[5] LI J H，MICHEL A N, POROD W.Qualitatie analysis of a class of neural networks[J].IEEE Trans Circuits Syst，1998,35:976-986.

[6] WEI Jun-jie,RUAN Shi-gui.Stability and bifurcation in a neural network model with two delays[J].Phisica D, 1999, 130:255-272.

[7] LIAO X X.Math theory (I) of cellular neural networks[J].Science China：Series A,1994, 24 (9):902-910.

[8] LIAO X X.Math theory (II) of cellular neural networks[J].Science China：Series A, 1994, 24 (10):1037-1046.

[9] ROSKA T, WU C W, CHUA L O.Stability of cellular neural networks with dominant nonlinear and delay-type template[J].IEEE Trans Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications,1993,40 (4):270-273.

[10] LI Yong-kun, LIU Chun-chao, ZHU Li-fei.Global exponential stability of periodic solution for shunting inhibitory CNNs with delays[J].Physics Letters A, 2005,337,46-54

[11] ZHOU Dong-ming, CAO Jin-de.Globally exponential stability conditions for cellular neural network with time varying delays [J].Applied Mathematics and Computation, 2002,131, 487- 496.

[12] 余昌勤.一種基于NSCT變換的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)閾值去噪方法[J].云南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，22(4)：295-298.

[13] WANG Ling-na, LIN Yi-ping.Global robust stability for shunting inhibitory CNNs with delays [J].International Journal of Neural Systems, 2004,14(4):229-235.