全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與參數(shù)優(yōu)化分析

陳泓伍，陳璽浩，彭 晨，胡松奇，冷建興

(1.浙江大學(xué)海洋學(xué)院，浙江杭州 310058；2.電子科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院，四川成都 611731)

0 引言

陀螺儀是一種即使無(wú)外界參考信號(hào)也能探測(cè)出運(yùn)載體本身姿態(tài)和狀態(tài)變化的內(nèi)部傳感器，其具體功能是敏感運(yùn)動(dòng)體系的角度、角速度和角加速度[1]。作為一種重要的慣性敏感器件，陀螺儀是導(dǎo)航、制導(dǎo)、穩(wěn)定、瞄準(zhǔn)等系統(tǒng)的核心部件，廣泛應(yīng)用于航天飛行器[2]、汽車(chē)安全、工業(yè)自動(dòng)化以及消費(fèi)電子等領(lǐng)域[3]。目前陀螺主要有機(jī)械陀螺、光學(xué)陀螺、振動(dòng)陀螺等傳統(tǒng)陀螺以及近來(lái)發(fā)展起來(lái)的微機(jī)械電子系統(tǒng)陀螺(簡(jiǎn)稱微機(jī)械陀螺)[4-5]。振動(dòng)陀螺具有所有的慣性品質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)微型化。振動(dòng)陀螺發(fā)展迅速，低成本、高性能的振動(dòng)陀螺一直是學(xué)術(shù)界研究熱點(diǎn)。

文中研制了一種新型全對(duì)稱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)陀螺，依據(jù)振動(dòng)陀螺工作原理，采用壓電驅(qū)動(dòng)和壓電檢測(cè)的方式，設(shè)計(jì)了結(jié)構(gòu)模型，通過(guò)對(duì)陀螺模態(tài)的有限元分析，完成了陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，并進(jìn)行了樣機(jī)制作和試驗(yàn)驗(yàn)證。該陀螺與已有固態(tài)振動(dòng)陀螺相比，體積小，結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱，加工簡(jiǎn)單方便，慣性質(zhì)量大，有利于提高陀螺靈敏度，具有較好的應(yīng)用前景。

1 全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的工作原理和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1 振動(dòng)陀螺的工作原理

振動(dòng)陀螺的簡(jiǎn)化模型如圖1所示。質(zhì)量塊m固連在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的xy平面內(nèi)，模型具有2個(gè)正交的振動(dòng)模式，每個(gè)模式都簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼-質(zhì)量模型。假定質(zhì)量塊在x方向受到某種激勵(lì)作用而受迫振動(dòng)，z軸有角速度Ω輸入時(shí)，質(zhì)量塊在y方向就會(huì)受到交變的哥氏力作用而沿y軸方向產(chǎn)生誘發(fā)振動(dòng)，由于哥氏效應(yīng)產(chǎn)生的力為F=2mΩv(其中：v為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的徑向速度或軸向速度矢量)，因而檢測(cè)y方向的位移就可以解算出角速度[6]。

圖1 振動(dòng)陀螺的簡(jiǎn)化模型

設(shè)質(zhì)量塊m在x軸上受外部頻率為ωc的簡(jiǎn)諧驅(qū)動(dòng)力F=fxsin(ωct)作用，z軸方向輸入角速度為Ω，陀螺在x方向和y方向的運(yùn)動(dòng)可以用下述動(dòng)力學(xué)方程描述：

(1)

(2)

(3)

式中：cx、cy為各方向的阻尼系數(shù)；kx，ky為各方向的彈性系數(shù)；ωc、Qc為驅(qū)動(dòng)方向(x軸)的諧振頻率和品質(zhì)因數(shù)；ωo、Qo為檢測(cè)方向(y軸)的諧振頻率和品質(zhì)因數(shù)。

由式(1)可得到驅(qū)動(dòng)模態(tài)的穩(wěn)定解為

x(t)=xocos(ωct-φd)

(4)

式中：xo為驅(qū)動(dòng)方向的幅值；φd為位移的相位角。

y(t)=Asin(ωct+φ)

(5)

(6)

(7)

由式(5)、式(6)、式(7)可知，陀螺的穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與驅(qū)動(dòng)信號(hào)同頻率。當(dāng)驅(qū)動(dòng)幅值xo、驅(qū)動(dòng)方向品質(zhì)因數(shù)Qc及諧振頻率ωc與ωo為定值時(shí)，輸出的簡(jiǎn)諧信號(hào)幅值正比于輸入角速度Ω．因此，輸入角速度可由解調(diào)得到的輸出信號(hào)的幅值確定，這就是振動(dòng)陀螺檢測(cè)角速度的基本原理[6-7]。

1.2全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

全對(duì)稱振動(dòng)陀螺采用完全對(duì)稱分布的4條導(dǎo)向橫梁組成的全對(duì)稱結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的幾何中心為垂直的慣性質(zhì)量柱，外框架為口字形。該結(jié)構(gòu)對(duì)稱，并且中心質(zhì)量柱慣性質(zhì)量大，利于放大振動(dòng)信號(hào)，增大哥氏力和振幅從而增加陀螺的靈敏度。文中結(jié)合陀螺的振動(dòng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用壓電驅(qū)動(dòng)、壓電檢測(cè)的工作方式。這種工作方式產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力大，能夠獲得較高的位移分辨率和控制精度[8],并且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，充分利用壓電片的正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)。

對(duì)全對(duì)稱振動(dòng)陀螺進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，需將體積大小控制在35 mm×35 mm×35 mm以內(nèi)，購(gòu)買(mǎi)的壓電片長(zhǎng)、寬、厚分別為8 mm、2 mm、0.2 mm．全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需以此為基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)見(jiàn)圖2。陀螺橫梁的長(zhǎng)寬高尺寸:8.5 mm(l)×2.5 mm(w)×0.6mm(t)；中心質(zhì)量柱尺寸：9 mm (h)×4 mm×4 mm。外框架為32 mm×32 mm，厚度為9 mm．

(a)陀螺結(jié)構(gòu)尺寸示意圖

(b)可測(cè)試的陀螺樣機(jī)圖2 全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2 全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的模態(tài)分析

要具有高性能指標(biāo)，須在一定程度上增大陀螺檢測(cè)模態(tài)的振動(dòng)幅值以提高靈敏度。由式(3)、式(6)可以推導(dǎo)出：

(8)

式中：A為y方向的振幅，A與Ω的比值即為陀螺靈敏度。

要增大靈敏度就必須減小驅(qū)動(dòng)方向x軸的阻尼系數(shù)，增大慣性質(zhì)量來(lái)提高品質(zhì)因數(shù)Q，并且使驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的諧振頻率盡量接近，即實(shí)現(xiàn)模態(tài)匹配(ωc趨近于ωo，使s趨于0)[7],如果陀螺是理想狀態(tài)，沒(méi)有制作誤差，那么由于對(duì)稱性，陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的諧振頻率是一樣的。

陀螺處于工作狀態(tài)時(shí)還須抵抗外界振動(dòng)干擾，并且避開(kāi)陀螺自身可能產(chǎn)生的有害振動(dòng)，有害振動(dòng)會(huì)造成能量損失，不利于哥氏力的檢測(cè)。這使得設(shè)計(jì)上需滿足陀螺的固有頻率要高于一般的外界振動(dòng)頻率(2 kHz左右)，同時(shí)陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)要盡量遠(yuǎn)離臨近的有害振動(dòng)模態(tài)[9]。

利用ANSYS WORKBENCH對(duì)初步設(shè)計(jì)的全對(duì)稱振動(dòng)陀螺進(jìn)行模態(tài)分析。全對(duì)稱振動(dòng)陀螺采用了2種材料：陀螺零件結(jié)構(gòu)為不銹鋼；壓電陶瓷片為摻鈮的鋯鈦酸鉛(PZT-5)。不銹鋼和壓電陶瓷片(PZT-5)的材料特性如表1所示。

表1 不銹鋼和壓電陶瓷片材料特性表

為保證壓電片PZT-5與全對(duì)稱振動(dòng)橫梁的重合部分傳遞力和位移的連續(xù)性，要采用黏結(jié)處理[10],使2個(gè)模型之間不存在相對(duì)滑動(dòng)，并在陀螺零件的外框架的4個(gè)螺釘孔處施加3個(gè)方向的位移約束，盡量使模擬仿真接近真實(shí)環(huán)境。有限元模型見(jiàn)圖3。3種對(duì)壓電片處理類型相應(yīng)的各階模態(tài)頻率如表2所示。

圖3 全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的有限元模型

表2 3種對(duì)壓電片處理類型相應(yīng)的各階模態(tài)頻率 Hz

其中貼上8片壓電片的陀螺二階、三階模態(tài)仿真結(jié)果如圖4所示。結(jié)合表2，陀螺的驅(qū)動(dòng)(二階)模態(tài)頻率和檢測(cè)(三階)模態(tài)頻率均9 185.7 Hz，與其他有害振動(dòng)模態(tài)相距較遠(yuǎn)，降低了其他振動(dòng)模態(tài)(主要是一階和四階模態(tài))對(duì)陀螺造成的誤差影響。各階模態(tài)頻率均高于一般的環(huán)境噪聲頻率，有抗振動(dòng)性能。但頻率超過(guò)9 000 Hz，導(dǎo)致高頻電路過(guò)于復(fù)雜，會(huì)帶來(lái)其他附加問(wèn)題，有待優(yōu)化。

(a)陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)(二階)

(b)陀螺的檢測(cè)模態(tài)(三階) 圖4 陀螺的二階、三階模態(tài)仿真示意圖

3 陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

3.1 陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)模態(tài)頻率影響的分析

要確保陀螺驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)模態(tài)遠(yuǎn)離其他有害振動(dòng)模態(tài)，并處于抗振動(dòng)的因素考慮，所有振動(dòng)模態(tài)的頻率都要高于某一閾值，就應(yīng)先了解決定結(jié)構(gòu)諧振頻率的主要影響因素。通過(guò)Rayleigh(瑞利)能量法對(duì)陀螺諧振頻率分析可以得到確定陀螺機(jī)械結(jié)構(gòu)各階振動(dòng)模態(tài)的諧振頻率的表達(dá)式：

(9)

式中：ki為支撐系統(tǒng)沿方向i的剛度系數(shù);mi為被橫梁帶動(dòng)的運(yùn)動(dòng)部分的等效質(zhì)量[11]。

當(dāng)全對(duì)稱振動(dòng)結(jié)構(gòu)處于上下振動(dòng)模態(tài)時(shí)，支撐系統(tǒng)可以認(rèn)為由4根導(dǎo)向橫梁組成。等效的剛度系數(shù)可以表示為

(10)

式中：E為材料的楊氏模量;l、w、t分別為全對(duì)稱橫梁的長(zhǎng)度、寬度和厚度。

當(dāng)全對(duì)稱振動(dòng)結(jié)構(gòu)處于其他模態(tài)諧振狀態(tài)時(shí)，振動(dòng)更復(fù)雜，但ki和mi也僅與結(jié)構(gòu)材料和尺寸有關(guān)。由此可知，陀螺各階模態(tài)的諧振頻率主要取決于陀螺橫梁在各個(gè)方向的剛度系數(shù)及被橫梁所帶動(dòng)部分的等效質(zhì)量大小，這2項(xiàng)參數(shù)都由陀螺的結(jié)構(gòu)材料和尺寸決定。因此，當(dāng)材料一定時(shí)，可以通過(guò)改變陀螺的結(jié)構(gòu)尺寸達(dá)到模態(tài)匹配的效果。

結(jié)合上述分析，利用ANSYS WORKBENCH進(jìn)行模態(tài)分析，得到陀螺主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)各階模態(tài)頻率的影響規(guī)律。

3.2 壓電片對(duì)模態(tài)頻率的影響

由表2可知，壓電片數(shù)量對(duì)陀螺模態(tài)頻率的影響很大。壓電片可以看作橫梁的一部分，增強(qiáng)了橫梁剛度，使模態(tài)頻率增大。這也與實(shí)際情況更加接近，在之后的仿真都考慮8片壓電片的情況，并將壓電片作黏結(jié)處理以模擬真實(shí)環(huán)境。

3.3 橫梁結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)模態(tài)頻率的影響

陀螺結(jié)構(gòu)最重要的一部分就是全對(duì)稱振動(dòng)橫梁結(jié)構(gòu)，合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于減小振動(dòng)能量損耗、提高陀螺品質(zhì)因數(shù)具有重要意義。采用單變量分析的方法，采用有限元方法，分析橫梁結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)陀螺模態(tài)諧振頻率的影響。

3.3.1 橫梁長(zhǎng)度的影響

模態(tài)頻率與橫梁的長(zhǎng)度的關(guān)系，見(jiàn)圖5。全對(duì)稱振動(dòng)陀螺的各階諧振頻率都隨著橫梁長(zhǎng)度的增長(zhǎng)而不斷減小。在橫梁的長(zhǎng)度增大至9.5 mm時(shí)，一階模態(tài)頻率趨于2 kHz，隨著橫梁長(zhǎng)度的繼續(xù)增大，一階頻率將降至2 kHz以下，出于抗振考慮，橫梁長(zhǎng)度不能繼續(xù)增長(zhǎng)。

圖5 橫梁長(zhǎng)度l對(duì)模態(tài)頻率f的影響

3.3.2 橫梁寬度的影響

模態(tài)頻率f與橫梁寬度w的關(guān)系，見(jiàn)圖6。隨著寬度w的逐漸變大，橫梁的剛度系數(shù)增大，各階模態(tài)的諧振頻率增大。在二階模態(tài)的諧振頻率超過(guò)7 kHz時(shí)，驅(qū)動(dòng)陀螺所需的高頻電路過(guò)于復(fù)雜，所以橫梁寬度不能過(guò)大。

圖6 橫梁寬度w對(duì)模態(tài)頻率f的影響

3.3.3 橫梁厚度的影響

模態(tài)頻率f與橫梁厚度t的關(guān)系，見(jiàn)圖7。隨著橫梁厚度的增加，剛度系數(shù)不斷增大，使得各階模態(tài)諧振頻率逐漸增大，二階模態(tài)頻率增長(zhǎng)較快。在厚度為1 mm時(shí)，二階模態(tài)頻率達(dá)到12 kHz，會(huì)帶來(lái)高頻問(wèn)題；厚度為0.2 mm時(shí)，一階模態(tài)頻率小于2 kHz，不可取。

圖7 橫梁厚度t對(duì)模態(tài)頻率f的影響

3.4 中心質(zhì)量柱質(zhì)量大小對(duì)模態(tài)頻率的影響

質(zhì)量柱橫截面保持不變的情況下，改變質(zhì)量柱高度來(lái)改變慣性質(zhì)量的大小，質(zhì)量柱高度h對(duì)模態(tài)頻率f的影響見(jiàn)圖8。

圖8 中心質(zhì)量柱高度對(duì)模態(tài)頻率f的影響

當(dāng)質(zhì)量柱高度增大，全對(duì)稱振動(dòng)結(jié)構(gòu)的慣性質(zhì)量將增大，模態(tài)頻率將逐漸減小。質(zhì)量柱高度太大、過(guò)小均不可?。焊叨忍?，一階模態(tài)頻率趨近于2 kHz，二階工作模態(tài)也與一階模態(tài)相隔較近，容易受干擾；高度太小，會(huì)帶來(lái)高頻問(wèn)題，同時(shí)減小慣性質(zhì)量，降低靈敏度。

3.5 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果

通過(guò)分析全對(duì)稱振動(dòng)橫梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)陀螺各階模態(tài)頻率的影響可知，陀螺的二階和三階頻率必須高于2 kHz，但是又不能太高，頻率如果過(guò)高，高頻電路將過(guò)于復(fù)雜，結(jié)合陀螺的工作模態(tài)需求，以及加工便利可行的原則，最終采用粘貼8片壓電片，設(shè)定全對(duì)稱振動(dòng)橫梁結(jié)構(gòu)參數(shù)：9 mm×2 mm×0.5 m，中心質(zhì)量柱結(jié)構(gòu)參數(shù)為：4 mm×4 mm×10 mm．

對(duì)優(yōu)化后的陀螺進(jìn)行有限元模態(tài)分析，3種對(duì)壓電片處理類型相應(yīng)的各階模態(tài)頻率見(jiàn)表3。其中貼上8片壓電片的陀螺的二階、三階模態(tài)仿真結(jié)果見(jiàn)圖9。從仿真結(jié)果中可以看出，在優(yōu)化后陀螺的驅(qū)動(dòng)(二階)模態(tài)和檢測(cè)(三階)模態(tài)頻率相等，均為5 699.9 Hz，與其他有害振動(dòng)模態(tài)相距較遠(yuǎn)，有效降低其他振動(dòng)模態(tài)(主要是一階模態(tài)和四階模態(tài))對(duì)陀螺造成的誤差影響。而且與優(yōu)化前的9 185.7 Hz相比，解決了高頻問(wèn)題，頻率又高于2 kHz，有抗振動(dòng)性能，整體性能得到了優(yōu)化，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)符合要求。

表3 3種對(duì)壓電片處理類型相應(yīng)的各階模態(tài)頻率(優(yōu)化后) Hz

(a)陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)(二階)

(b)陀螺的檢測(cè)模態(tài)(三階)圖9 優(yōu)化陀螺的二階、三階模態(tài)仿真示意圖

4 全對(duì)稱振動(dòng)陀螺儀樣機(jī)制作和試驗(yàn)驗(yàn)證

按照優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)樣機(jī)進(jìn)行制作，組裝好的陀螺樣機(jī)如圖10所示。對(duì)樣機(jī)進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，通過(guò)測(cè)試得到了全對(duì)稱振動(dòng)陀螺樣機(jī)的驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的諧振頻率分別為5 905.7 Hz、6 024.0 Hz，頻率差值為118.3 Hz，頻率匹配系數(shù)為2.0%，測(cè)試得到的模態(tài)頻率與仿真分析得到的結(jié)果也

有一定偏差。主要是由于陀螺在加工過(guò)程中的誤差、應(yīng)力變形以及壓電片組裝過(guò)程中的誤差。這些誤差導(dǎo)致陀螺質(zhì)量不均、橫梁結(jié)構(gòu)不對(duì)稱及2個(gè)方向阻尼系數(shù)不一致等，從而使2個(gè)模態(tài)頻率不一致。但是，試驗(yàn)初步驗(yàn)證了這種振動(dòng)陀螺的工作原理和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可行性。

圖10 全對(duì)稱振動(dòng)陀螺

5 結(jié)束語(yǔ)

文中建立了全對(duì)稱振動(dòng)陀螺整體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型，對(duì)陀螺模態(tài)進(jìn)行了有限元分析，完成了陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，并進(jìn)行了樣機(jī)制作和試驗(yàn)驗(yàn)證，由此可以得出以下結(jié)論：

(1)陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)各階模態(tài)的諧振頻率有重要影響，當(dāng)材料一定時(shí)，可以通過(guò)改變陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)達(dá)到模態(tài)匹配的效果。優(yōu)化后橫梁結(jié)構(gòu)參數(shù)：9 mm×2 mm×0.5 m，中心質(zhì)量柱結(jié)構(gòu)參數(shù)為：4 mm×4 mm×10 mm，陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)頻率相等，為5 699.9 Hz，整體性能得到了優(yōu)化。

(2)對(duì)優(yōu)化后的模型進(jìn)行了樣機(jī)制作和模態(tài)測(cè)試，得到了全對(duì)稱振動(dòng)陀螺樣機(jī)的驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的諧振頻率，有一定偏差，主要是制作誤差導(dǎo)致。初步驗(yàn)證了這種振動(dòng)陀螺的工作原理和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性和可行性。

參考文獻(xiàn)：

[1] ANSARI M,ESMAILZADEH E,JALILI N.Coupled vibration and parameter sensitivity analysis of rocking-mass vibrating gyroscopes.Journal of Sound and Vibration,2009，327(3-5):564-583.

[2] BAE S Y,HAYWONH K J,YEE K Y,et al.High performance MEMS Micro-gyroscope.Conference on Design,Test,Integration,and Packaging of MEMS/MOEMS,Cannes-Mandelieu,2002:316-323.

[3] CHALLONER A D.Isolated resonator gyroscope:US,US6629460B2．2003-10-07.

[4] 王利強(qiáng),宋菲君,任文杰.陀螺的分類、原理及應(yīng)用現(xiàn)狀.電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào),2004(增刊):857-863.

[5] 谷慶紅.微機(jī)械陀螺儀的研究現(xiàn)狀.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2003,11(5):67-72.

[6] 謝立強(qiáng),吳學(xué)忠,李圣怡.音叉式石英微機(jī)械陀螺的驅(qū)動(dòng)檢測(cè)技術(shù)研究.國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2005,29(1) :131-134.

[7] 何勝,王巍.MEMS振動(dòng)陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)穩(wěn)幅特性與控制.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2009,17(4):469-473.

[8] 喬緒維,辛洪兵.微機(jī)械傳動(dòng)技術(shù)概述.機(jī)械傳動(dòng),2010,34(11):86-90.

[9] 李錦明.電容式微機(jī)械陀螺儀設(shè)計(jì).北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2006:16-52.

[10] 蔣青,劉宇.壓電振動(dòng)陀螺振動(dòng)梁節(jié)點(diǎn)的有限元分析.壓電與聲光,2007,29(2):216-218.

[11] 姜德義,鄭拯宇,李林,任松.壓電陶瓷片耦合振動(dòng)模態(tài)的ANSYS模擬分析.傳感技術(shù)學(xué)報(bào),2003(4):452-456.