應(yīng)用探究:探索發(fā)

[摘 要] “導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——函數(shù)的單調(diào)性”的內(nèi)容較為特殊，具有極強(qiáng)的應(yīng)用性，是學(xué)生后續(xù)解析函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ). 在教學(xué)探究中，教師應(yīng)注重“導(dǎo)數(shù)”與“函數(shù)單調(diào)性”之間關(guān)系的構(gòu)建，合理設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，完成知識總結(jié)與論證. 研究者對此開展教學(xué)解讀，探索教學(xué)過程，提出教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);應(yīng)用;函數(shù)單調(diào)性;數(shù)形結(jié)合

教學(xué)解讀

“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——函數(shù)的單調(diào)性”是人教A版（2019）選擇性必修第二冊教材第五章第三節(jié)的內(nèi)容，是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的第一個性質(zhì). 學(xué)生在之前已經(jīng)掌握了定義法和圖象法等初等方法研究函數(shù)的單調(diào)性，具備一定的知識基礎(chǔ). 本章節(jié)的學(xué)習(xí)有利于后續(xù)研究函數(shù)的極值、最值，討論恒成立問題、存在性問題、零點(diǎn)問題等.

本節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生探究導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的適用性和實用性. 在探究教學(xué)中，教師要注重啟發(fā)和引導(dǎo)，合理創(chuàng)設(shè)情境問題，鼓勵學(xué)生合作探究、自主思考、互動交流.

過程探究

對于“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)過程，建議分為四個環(huán)節(jié)：情境引入、直觀感知、論證生成、應(yīng)用拓展. 各環(huán)節(jié)緊密相連，逐步深入，教師要引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)謹(jǐn)論證. 下面具體闡述.

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一——情境引入，思維沖突

情境1 生活感悟.

已知某市氣象站觀測冬季某天氣溫，統(tǒng)計2～5時氣溫變化，氣溫f（x）與相應(yīng)時間x可近似用函數(shù)f（x）=x-lnx-1來擬合，問這段時間內(nèi)的氣溫f（x）隨時間x的變化，具有哪些特點(diǎn)？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生從生活中抽象數(shù)學(xué)問題，明確研究實質(zhì)為函數(shù)f（x）=x-lnx-1（x∈[2，5]）的單調(diào)性;引導(dǎo)學(xué)生思考能否借用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，遇到障礙時是否有其他方法，便于后續(xù)探索新知.

情境2 思考解法.

如何判斷下列函數(shù)的單調(diào)性？

（1）f（x）=x3+3x;（2）f（x）=2x3+3x2-12x+1;（3）f（x）=x3-2x-3;（4）f（x）=sinx-x，x∈（0，π）.

思考：使用圖象法和定義法容易求解嗎？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生判斷上述函數(shù)的單調(diào)性，在學(xué)生所掌握的知識中，圖象法和定義法較為常見. 對于圖象法，需要繪制函數(shù)圖象，顯然難以實現(xiàn);而采用定義法雖可行，但過程繁雜，求解困難. 由此引發(fā)思維沖突，促使學(xué)生思考其他解法.

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二——直觀感知，探究發(fā)現(xiàn)

（1）示例分析

圖1是某高臺跳水運(yùn)動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h（t）=-4.9t2+4.8t+11的圖象.

設(shè)問：運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn)，及從最高點(diǎn)到入水這兩段時間中，運(yùn)動員的重心離水面的高度有什么變化？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注區(qū)間內(nèi)函數(shù)的增減.

（2）引導(dǎo)生成

在上述基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考：區(qū)間（0，a）和（a，b）內(nèi)f′（x）的符號是怎樣的？可以得到怎樣的結(jié)論？

教學(xué)中可以采用填空的方式，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié). 例如給出以下問題.

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo).

①如果在（a，b）內(nèi)，f′（x）>0，那么y=f（x）在此區(qū)間是______;

②如果在（a，b）內(nèi)，f′（x）<0，那么y=f（x）在此區(qū)間是______;

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系. 教學(xué)中要注意兩點(diǎn)：一是強(qiáng)調(diào)“區(qū)間”，必須是定義域內(nèi)的某個區(qū)間;二是認(rèn)識f′（x）=0，函數(shù)f（x）為常數(shù).

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三——抽象思維，論證生成

根據(jù)上述探究，可以初步總結(jié)以下結(jié)論.

對于函數(shù)y=f（x）：①在某個區(qū)間（a，b）上，如果f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增;②在某個區(qū)間（a，b）上，如果f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減.

思考：要證明函數(shù)y=f（x）在給定區(qū)間I上單調(diào)遞增，需根據(jù)定義證明什么？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行論證探究. 以上述結(jié)論①為例，分兩步進(jìn)行：第一步，轉(zhuǎn)化問題，探究證明本質(zhì);第二步，借助直觀圖象，完成證明.

第一步，任取x，x∈I，且x<x，證明f（x）<f（x）成立. 也可將其轉(zhuǎn)化為證明>0成立.

第二步，借助函數(shù)圖象，證明在區(qū)間I內(nèi)，連接任意兩點(diǎn)的割線的斜率都大于零. 以圖2為例，過點(diǎn)A（x，f（x）），B（x，f（x））的割線平行移動到與函數(shù)圖象相切的位置，設(shè)切點(diǎn)為（x，f（x）），得到=f′（x）>0.

4. 教學(xué)環(huán)節(jié)四——應(yīng)用拓展，知識強(qiáng)化

完成知識論證后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用強(qiáng)化. 建議選用直觀多樣的問題，探索導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

問題1 已知導(dǎo)函數(shù)f′（x）的下列信息：當(dāng)1<x&lt;4時，f′（x）>0;當(dāng)x>4或x<1時，f′（x）<0;當(dāng)x=4或x=1時，f′（x）=0. 試畫出函數(shù)y=f（x）圖象的大致形狀.

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上述信息判斷固定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性繪制其圖象.

①當(dāng)1<x<4時，f′（x）>0，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

②當(dāng)x>4或x<1時，f′（x）<0，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

③當(dāng)x=4或x=1時，f′（x）=0，為函數(shù)的臨界點(diǎn).

根據(jù)上述信息，繪制出圖3所示的函數(shù)圖象.

問題2 y=f′（x）的圖象如圖4所示，則y=f（x）的圖象最有可能的是（ ）

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的正負(fù)來判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而確定函數(shù)f（x）的圖象. 即按順序“導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)→函數(shù)的單調(diào)性→函數(shù)的圖象”完成反向推導(dǎo). 此處強(qiáng)調(diào)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，關(guān)注的是導(dǎo)函數(shù)f′（x）的正負(fù)，而不是導(dǎo)函數(shù)f′（x）的單調(diào)性.

教學(xué)反思

1. 關(guān)注知識生成，挖掘知識內(nèi)涵

對于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用情境問題引發(fā)思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生探索、論證，更易于接受. 此過程涉及多種圖象，如情境圖象、函數(shù)圖象等，利于學(xué)生直觀把握“形”的特征，回歸函數(shù)本質(zhì)，挖掘知識內(nèi)涵.

2. 自主活動探究，體驗論證過程

本章節(jié)著重探討導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，采用活動探究方式教學(xué). 引導(dǎo)學(xué)生從熟悉情境出發(fā)，互動思考，構(gòu)建知識聯(lián)系. 結(jié)合圖象論證，提升學(xué)生觀察、歸納、概括、抽象等思維能力. 注重適時引導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生思維，把控課堂進(jìn)程.

3. 滲透數(shù)形結(jié)合，提煉思想方法

對于“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)，建議應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個角度進(jìn)行探究，直觀感知函數(shù)圖象與其導(dǎo)數(shù)圖象的差異，并建立關(guān)系. 通過“形”到“數(shù)”的直觀認(rèn)識和“數(shù)”到“形”的抽象理解，有機(jī)融合兩過程，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的優(yōu)勢，助力后續(xù)解題.

作者簡介：劉巧芬（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.