關(guān)于一道立體幾何考題的探究總結(jié)與教學(xué)思考

[摘 要] 立體幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，是高考的考查重點(diǎn)，圍繞考題開展探究總結(jié)有助于提升學(xué)生的解題能力. 同時(shí)，考題的求解思路和方法的構(gòu)建，對(duì)學(xué)生的復(fù)習(xí)備考有一定的指導(dǎo)作用. 文章結(jié)合考題開展解題探究、方法總結(jié)，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;證明;二面角;向量法

問題綜述

立體幾何常作為高考?jí)狠S題，綜合考查學(xué)生對(duì)知識(shí)定理的掌握情況，以及推理分析立體幾何的能力，對(duì)學(xué)生的立體幾何觀有較高的要求.

立體幾何考題的第（1）問通常為幾何位置關(guān)系的證明問題，可采用傳統(tǒng)的幾何分析法解決，問題涉及平行和垂直關(guān)系，或者體積、表面積等.

第（2）問通常為核心之問，可通過建系，利用向量法解決，問題常涉及線面角、二面角的求解，或者已知線面角、面面角，求參數(shù)的值.

考題探究

1. 考題呈現(xiàn)，思路引導(dǎo)

考題1 （2023年新高考Ⅱ卷第20題）如圖1所示，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC的中點(diǎn).

（1）證明：BC⊥DA;

（2）點(diǎn)F滿足=，求二面角D-AB-F的正弦值.

思路引導(dǎo) 本題為立體幾何綜合題，題設(shè)兩問，建議基于立體幾何知識(shí)來(lái)引導(dǎo)思路.

（1）該問證明兩直線垂直，總體思路是證明BC垂直DA所在的平面ADE. 具體思路引導(dǎo)如下：E為BC的中點(diǎn)→BC⊥DE;△ACD，△ABD為等邊三角形→AB=AC→BC⊥AE→BC⊥平面ADE→BC⊥DA.

（2）該問求解的是二面角的正弦值，屬于二面角問題. 可采用空間向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，得到兩平面的法向量，根據(jù)對(duì)應(yīng)公式求解. 具體思路引導(dǎo)如下：求DE，AE→AE，BC，DE兩兩垂直→建立空間直角坐標(biāo)系→點(diǎn)的坐標(biāo)→平面ABD的法向量和平面ABF的法向量→二面角D-AB-F的正弦值.

2. 過程構(gòu)建，解后思考

（1）根據(jù)上述總結(jié)的解題思路，下面分步進(jìn)行證明.

第一步，證明等邊，提取特性.

因?yàn)镈B=DC，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，所以BC⊥DE（等腰三角形的性質(zhì)——“三線合一”，是解題的關(guān)鍵）. 因?yàn)镈A=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，所以△ABD，△ACD均為等邊三角形，所以AB=AC. 又點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，所以BC⊥AE.

第二步，應(yīng)用定理，證明垂直.

連接AE，DE，如圖2所示. 由于AE，DE?平面ADE，AE∩DE=E，所以BC⊥平面ADE. 又AD?平面ADE，所以BC⊥DA. （證明異面直線垂直的基本方法是：轉(zhuǎn)化為線面垂直）

（2）求解二面角的正弦值，可采用空間向量法. 下面同樣采用分步策略.

第一步，分析幾何，推導(dǎo)條件.

設(shè)BC=2，由已知得DA=DB=DC=. 由于DE為等腰直角三角形BCD斜邊BC的中線，所以DE=1. 由已知得AB=AC=，AB2+AC2=BC2，所以△ABC也為等腰直角三角形，則AE=1. 所以AE2+DE2=AD2，逆推可得AE⊥DE. 由（1）可知BC⊥DE，BC⊥AE，所以AE，BC，DE兩兩垂直.

第二步，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)法向量.

以E為原點(diǎn)，ED，EB，EA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系.

解后反思 上述問題為立體幾何解析證明題，其中第（2）問為核心之問，分三步解析. 第一步為關(guān)鍵的幾何分析，推導(dǎo)垂直條件;第二步根據(jù)垂直條件構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)出法向量;第三步根據(jù)法向量求解二面角的正弦值. 解析二面角問題時(shí)需要理解以下三點(diǎn).

①用法向量求二面角的大小或三角函數(shù)值. 先分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后利用向量數(shù)量積公式完成運(yùn)算. 要注意結(jié)合實(shí)際圖形來(lái)判斷所求二面角是銳二面角還是鈍二面角.

②方向向量法. 分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與二面角的棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則可確定這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

③二面角的夾角特點(diǎn). 二面角的平面角的大小與兩平面的法向量的夾角可能相等，也可能互補(bǔ).

知識(shí)總結(jié)

上述考題，涉及幾何位置關(guān)系的證明和二面角的運(yùn)算，這是該類問題最常見的考查. 具體求解時(shí)，可利用立體幾何的性質(zhì)定理來(lái)證明第（1）問的位置關(guān)系，利用空間向量法來(lái)解析第（2）問的二面角的正弦值. 下面進(jìn)行知識(shí)銜接和總結(jié).

1. 幾何位置關(guān)系的總結(jié)

證明線面位置關(guān)系在立體幾何題中十分重要，具體分析時(shí)需要把握以下兩點(diǎn)：一是證明線面平行、垂直關(guān)系的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理;二是線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)，證明過程中要注意利用平面幾何中的一些結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線定理、平行線分線段成比例定理，證明垂直時(shí)常用的等腰三角形中線定理等.

（1）直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理見表1.

（2）平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理見表2.

（3）垂直間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直[判定定理] [性質(zhì)定理]線面垂直[判定定理] [性質(zhì)定理]面面垂直.

2. 向量法解析空間夾角

（1）思路構(gòu)建

立體幾何中的夾角有多種類型，常見的有：異面直線的夾角、直線與平面所成的角、兩平面所成的角（二面角）. 對(duì)于后兩個(gè)夾角問題，可使用向量法來(lái)求解. 分步構(gòu)建思路如下：

第一步，常規(guī)的幾何分析，即推導(dǎo)線段長(zhǎng)、幾何位置關(guān)系;

第二步，根據(jù)幾何特征，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的空間坐標(biāo);

第三步，獲得直線的方向向量和平面的法向量，具體求解時(shí)可通過除參數(shù)化簡(jiǎn)方向向量和法向量;

第四步，結(jié)合向量法中的公式定理求解直線與平面所成的角或兩平面所成的角（二面角）.

（2）公式定理

直線與平面所成的角：設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的一個(gè)法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則①cos〈a，n〉=;②sinθ=

平面與平面所成的角（二面角）：平面α的一個(gè)法向量為n1，平面β的一個(gè)法向量為n2，平面α與平面β所成的角為θ，則①cos〈n1，n2〉=;②cosθ=±cos〈n1，n2〉.

拓展探究

上述總結(jié)了立體幾何綜合題的求解思路及方法，下面結(jié)合考題進(jìn)一步開展探究分析.

考題2 （2023年新高考Ⅰ卷第18題）如圖4所示，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2，AA=4.點(diǎn)A，B，C，D分別在棱AA，BB，CC，DD上，AA=1，BB=DD=2，CC=3.

（1）證明：BC∥AD;

（2）點(diǎn)P在棱BB上，當(dāng)二面角P-AC-D為150°時(shí)，求BP.

分析 （1）可以利用平行四邊形的性質(zhì)證明線線平行，也可以利用向量共線定理證明線線平行.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用求二面角的公式定理列方程求解.

解析 （1）（解法1）取DD的中點(diǎn)E，取bDPdWiBErK41ZnlbdUpzjg==CC的中點(diǎn)F，則CF=2，連接EF，F(xiàn)B，BA，EA.根據(jù)題意得ED∥AA，且ED=AA，所以四邊形AAED是平行四邊形，所以AE∥AD，且AE=AD.同理BF∥BC，且BF=BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BC∥AD，且BC=AD.所以AE∥BF，且AE=BF. 所以四邊形AEFB是平行四邊形. 所以AB∥EF，且AB=EF. 同理，四邊形CFED是平行四邊形. 所以DC∥EF，且DC=EF. 根據(jù)傳遞性可得DC∥AB，且DC=AB. 所以四邊形DCBA是平行四邊形.所以BC∥AD.

（解法2）以C為原點(diǎn)，CD，CB，CC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5所示，則=（0，-2，1），=（0，-2，1），所以=. 所以BC∥AD.

（2）以C為原點(diǎn)，CD，CB，CC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5所示. 設(shè)P（0，2，λ）（0≤λ≤4），則=（-2，-2，2），=（0，-2，3-λ），=（-2，0，1）.

由此可得cos〈n，m〉===cos150°=，化簡(jiǎn)得λ2-4λ+3=0，解得λ=1或λ=3. 所以點(diǎn)P（0，2，1）或P（0，2，3）.所以BP=1.

評(píng)析 上述考題同為立體幾何綜合題，第（1）問是基礎(chǔ)題，考查常規(guī)的直線平行關(guān)系. 第（2）問是二面角問題，逆向設(shè)定二面角的大小，求解線段長(zhǎng). 同樣采用空間向量法，利用求二面角的公式定理列方程，解出參數(shù)后求得線段長(zhǎng).

教學(xué)思考

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，探究教學(xué)中需要教師結(jié)合圖形開展知識(shí)指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解其中的性質(zhì)定理，并構(gòu)建解析證明思路. 下面提出三點(diǎn)建議.

建議1：數(shù)形結(jié)合，知識(shí)解讀

立體幾何知識(shí)內(nèi)容具有很強(qiáng)的邏輯性，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)存在一定的困難，需要教師結(jié)合圖形開展知識(shí)指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從空間視角審視其中的位置關(guān)系，通過設(shè)定特殊模型理解其中的性質(zhì)定理. 知識(shí)解讀可以分為三個(gè)環(huán)節(jié)：一是模型構(gòu)建，數(shù)形分析;二是特例分析，理解定理;三是語(yǔ)言轉(zhuǎn)化，深刻理解.

建議2：方法總結(jié)，思路構(gòu)建

立體幾何題型多樣，但對(duì)其分析可以匯總成相應(yīng)的類型題. 教學(xué)中教師可以針對(duì)類型題來(lái)總結(jié)方法，構(gòu)建解題思路策略. 以上述考題為例，涉及幾何位置關(guān)系和二面角，探究教學(xué)中教師可以結(jié)合問題特征梳理方法，如線線垂直、線面垂直、面面垂直，以及向量法證明幾何位置關(guān)系、求解二面角，形成分步構(gòu)建策略.

建議3：適度拓展，發(fā)散思維

拓展探究是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，教學(xué)中需要教師結(jié)合考題適度拓展，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解知識(shí)，發(fā)散思維. 拓展探究建議分三個(gè)階段：一是結(jié)合核心知識(shí)精選問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題特點(diǎn)，挖掘本質(zhì);二是讓學(xué)生自主思考，探索解題方法;三是引導(dǎo)學(xué)生解后反思方法，總結(jié)經(jīng)驗(yàn).

作者簡(jiǎn)介：錢夢(mèng)迪（1990—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.