一道多變元代數(shù)式最值模擬試題的解法探究

[摘 要] 涉及雙變元或多變元代數(shù)式的最值問題，一直是各類考試的熱點問題之一. 研究者剖析一道多變元代數(shù)式最值模擬試題的內(nèi)涵，利用基本不等式、函數(shù)、導數(shù)、方程思想等，研究尋求并歸納總結該類試題的一般破解之法，幫助學生打開求解思維.

[關鍵詞] 多變元;基本不等式;代數(shù)式;通性通法

因函數(shù)的基礎性、抽象性、邏輯嚴謹性等特征，故常與其他知識交叉考查[1]. 雙變元或多變元的代數(shù)式最值問題或取值范圍問題是函數(shù)與不等式融合較高的一類問題，常在高考、各級競賽、強基計劃考試中出現(xiàn)[2]. 此類問題往往難度較大，思維角度多變，方法多樣. 在解完題之后，要不斷反思總結，多角度切入，尋找通性通法，從而達到觸類旁通的效果. 下面結合一道多變元代數(shù)式最值模擬試題進行說明.

試題呈現(xiàn)

（2022年天津濱海新區(qū)塘沽第一中學校一模）已知a，b，c∈R+，且ab+2ac=4，則++的最小值是______.

問題剖析

本題是一道已知多變元代數(shù)式定值條件求解最值的問題，通過提取公因式，將“和”轉化為“積”，即將ab+2ac=4轉化為a（b+2c）=4，巧妙地把變形后的代數(shù)式有機地融合到對應的代數(shù)式中，從而確定多變元代數(shù)式的最小值. 破解問題的關鍵在于，在已知條件下，認真審題，多角度切入思考. 可以通過代入、常值代換、消元等方法，借助基本不等式求最小值，也可以借助方程思想[3]，利用“根的判別式”去求解，還可以通過構造函數(shù)模型，利用求導及函數(shù)單調(diào)性知識解得最小值.

解法探究

思路1 靈用“通分”.

解法1 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得a（b+2c）=4. 通分后結合基本不等式，得++=+≥2=4，當且僅當=，即a+b+2c=4時等號成立. 故所求代數(shù)式的最小值為4.

評注 觀察到所求代數(shù)式的前兩項通分后的分子為第三項的分母，分母則為已知代數(shù)式，因此通分后結合基本不等式求解.

思路2 敏借“常值”.

解法2 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得·a·（b+2c）=2. 結合基本不等式，得++=++=（a+b+2c）+≥2=4，當且僅當=，即a+b+2c=4時等號成立. 故所求代數(shù)式的最小值為4.

評注 觀察到已知式子與所求代數(shù)式的前兩項的分子存在關系，于是將常數(shù)代換為字母，最后化為熟悉的基本不等式模型求解.

思路3 統(tǒng)一“變量”.

解法3 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得b+2c=.結合基本不等式，得++=++=+≥2=4，當且僅當=，即a=2，b+2c=2時等號成立. 故所求代數(shù)式的最小值為4.

評注 利用已知條件將另兩個變量用同一個變量表示，將所求代數(shù)式轉化為只含有一個變量的代數(shù)式，然后通過簡單的通分變形，轉化為基本不等式模型. 這種解法的關鍵在于用含一元的簡單代數(shù)式表示含兩元（多元）的復雜代數(shù)式.

總評 上述3種解法通過觀察已知條件與所求代數(shù)式之間的聯(lián)系，利用直接轉化、常數(shù)代換或消元（統(tǒng)一變量）的思路，將所求代數(shù)式轉化為熟悉的基本不等式模型. 選取合適的方法配湊出基本不等式模型是關鍵.

思路4 巧用“導數(shù)”.

解法4 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得b+2c=，則++=++. 構造函數(shù)f（a）=++，求導可得f′（a）=+.當a>0，b>0，c>0時，由f′（a）=0得a=2，由f′（a）<0得0<a<2，由f′（a）>0得a>2. 所以，f（a）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增. 因此，當a=2時，f（a）=f（2）=4. 故所求代數(shù)式的最小值是4.

評注 對已知條件進行變形，利用消元思想統(tǒng)一變量，建立函數(shù)模型，結合函數(shù)求導方法，確定導函數(shù)的零點，進而求出其最小值. 將多元問題轉化為一元問題，借導數(shù)知識求最值，是處理該類問題的重要方法之一. 這種解法目標明確，思路簡單，但是其計算量較大.

思路5 妙使“Δ”.

解法5 設++=t（t>0），在該式兩邊同時乘a（b+2c）·（a+b+2c），可得2（b+2c）（a+b+2c）+2a（a+b+2c）+8a（b+2c）=ta（b+2c）（a+b+2c）.

結合a（b+2c）=4，整理得2（a+b+2c）2-4t（a+b+2c）+32=0. 關于（a+b+2c）的二次方程有實根，所以Δ=16t2-256≥0，解得t≥4. 故所求代數(shù)式的最小值為4.

評注 根據(jù)題目條件，設所求代數(shù)式的值為t（t>0），然后乘分母的最小公倍數(shù)，變形得到關于參數(shù)（a+b+2c）的二次方程，利用方程有實數(shù)解的條件，結合根的判別式確定t的取值范圍求解. 該方法需要將化簡后的式子根據(jù)題目已知條件做變形處理.

<D：＼DW＼數(shù)學教學通訊（下旬）＼2023年＼2023數(shù)學教學通訊中旬（02期）＼aa-2.tif> 變式拓展

探究 保留原問題的基本條件，通過參數(shù)引入，將原問題推廣到一般問題，并為學生提供該類問題的通性通法.

分析 上述問題是關于a，b，c三元的代數(shù)式最值問題，可以對已知等式中左邊的代數(shù)式提取公因式（一元代數(shù)式）變成積的形式，而所求代數(shù)式是以公因式、另一因式、公因式加另一因式為分母的分式（分子為常數(shù)）之和. 因此引入?yún)?shù)λ，μ（λ>0，μ>0）表示所求代數(shù)式中的分式的常數(shù)分子，k（k>0）表示已知代數(shù)式的常數(shù)值，A表示關于a的單項式，B表示關于b的單項式，C表示關于c的單項式.

變式 已知a，b，c∈R+，λ，μ，k（λ>0，μ>0，k>0）為常數(shù)，A為關于a的單項式，B為關于b的單項式，C為關于c的單項式，且AB+AC=k，則++的最小值是_____.

解析 由a，b，c∈R+，λ>0，μ>0，k>0，且AB+AC=k，結合基本不等式，得++=+≥2=2，當且僅當=，即A+B+C=時等號成立. 故所求代數(shù)式的最小值為2.

評注 從多角度切入，尋找一道多變元代數(shù)式最值模擬試題的多種解法，挖掘其內(nèi)涵，引入?yún)?shù)，建立該類試題的基本模型，并得到相應結論. 對該模型及結論，可繼續(xù)深入研究和推廣.

破解多變元代數(shù)式最值或取值問題，最基本的方法是通過消元、代換，將多變元代數(shù)式轉化為基本不等式模型. 函數(shù)與方程思想、求導知識也是解決該類問題的重要方法. 引導學生用多種方法求解，不僅培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的能力，還促進學生形成良好的思維習慣，掌握基本的思想方法與解題技巧. 在此基礎上，引導學生探究深層次的變式模型，總結出變式模型的通性通法及結論，可提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，落實數(shù)學學科核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 潘賢沖. 一道雙變元代數(shù)式試題的探究[J]. 中學數(shù)學教學參考，2022（36）：39-40.

[2] 欒功. 一道2022年清華大學新領軍試題的解法探究[J]. 中學生數(shù)學，2023（5）：30-31.

[3] 郭樹軍. 一道雙變元最值試題的多解探究[J]. 中學數(shù)學教學參考，2022（12）：33-34.

基金項目：云南省教育廳科學研究基金項目“初中生數(shù)學問題提出能力測評模型的構建”（2023Y1015）.

作者簡介：肖躍（1998—），全日制研究生在讀，主要從事數(shù)學教育研究工作.

通信作者：王彭德（1966—），教授，碩士生導師，大理大學數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)負責人，云南省數(shù)學教育學會副秘書長，云南省應用統(tǒng)計學會理事，主要研究方向為統(tǒng)計評價與數(shù)學教育.