關于“直線的傾斜角與斜率”的教學探究思考

[摘 要] “直線的傾斜角與斜率”是解析幾何的重要章節(jié)，也是研究直線的知識基礎. 在實際教學中，教師要深入解讀知識內容，圍繞知識重點來探究教學策略，分環(huán)節(jié)設計探究過程，合理設問引導學生逐步探究. 研究者深入解讀章節(jié)知識，探索教學過程，并提出相應教學建議.

[關鍵詞] 直線;傾斜角;斜率;探究教學

教學解讀

“直線的傾斜角與斜率”是人教A版（2019）選擇性必修第一冊教材中的第二章“直線和圓的方程”的第二節(jié)內容，探究核心是直線的傾斜角和斜率的概念，以及直線的斜率公式. “直線的傾斜角與斜率”的前一章內容，主要是利用空間向量來研究立體幾何，如位置關系、數量關系等. 可以說，這兩章的研究核心是幾何圖形的探究方法.

關于幾何圖形的探究方法（如圖1所示），小學歸納實驗，初中過渡到綜合法，包括直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等，而高中則涉及向量法和坐標法，即利用向量法探究向量幾何，利用坐標法探究解析幾何. 在教學中，教師可以介紹解析幾何的發(fā)展背景和思想方法，簡單講解本章節(jié)的研究重點，引導學生整體把握單元知識框架.

綜上分析，本節(jié)課的教學目標主要有三個：一是讓學生了解解析幾何發(fā)展史、坐標法思想，掌握整個章節(jié)的探究方法;二是讓學生理解傾斜角、斜率的概念，并掌握斜率公式;三是讓學生掌握直線斜率與方向向量之間的內在聯系.

教學過程

在教學中，教師采用“設問引導，過程探究”的方式，讓學生充分參與課堂討論，體驗探究過程，體會知識生成. 教師要合理設計教學環(huán)節(jié)，隨時關注學生的思維變化，適時設問引導，確保教學順利推進. 本節(jié)課的內容承接前面的知識，學生雖具有一定的知識基礎，但不熟悉如何利用坐標法來刻畫直線的幾何要素，因此教師要滲透坐標法思想，引導學生探究如何用坐標系來表示傾斜角. 雖然過程較簡潔，但對學生的抽象思維的要求較高. 教師應在傾斜角概念的基礎上歸納確定直線的方式，并以坐標法思想來啟發(fā)引導學生學習. 后續(xù)分別從幾何和代數兩大角度進一步探究直線的斜率，并構建兩者的聯系.

作為高中解析幾何板塊的起始課，探究的首要內容是直線的幾何要素，對其刻畫445425c868e9019a9d7f620a4a8438d35540fea0cbb65e393f4343385638ea4b需要按照“方向→傾斜角→傾斜角的正切值→斜率”的思路來完成，逐步實現化“形”為“數”，利用“代數”相關知識來表示幾何圖形的內在聯系.

上述解讀了“直線的傾斜角與斜率”的核心知識內容和教學方法，下面具體講解教學環(huán)節(jié).

1. 情境引入

教師采用情境教學的方式，以生活中的實例作為問題背景，如給出圖2（工程上常用“坡度”來描述一段道路相對于水平方向的傾斜程度），引導學生思考如何在平面內確定一條直線.

設計意圖 引導學生回顧已學的知識內容，整體把握本節(jié)課的探究內容和重點，深化學生對解析幾何思想和直線幾何要素的理解，便于學生構建和完善單元知識體系，抓住知識間的內在聯系.

2. 設問引導，過程探究

本節(jié)課的探究內容共三大項：一是直線的傾斜角;二是直線的斜率;三是方向向量與斜率的聯系. 教師采用“設問引導，過程探究”的方式，引導學生參與課堂教學，完成知識的探究學習.

探究1 直線的傾斜角.

教師引導學生回顧前面學習的知識，思考如何確定一條直線，引導學生指出“點”和“方向”是確定直線的兩個核心要素. 教師進一步提出如何將“方向”代數化，設置如下兩個探究問題.

問題1：在平面直角坐標系中，過定點P作任意一條直線，觀察對比所作出的直線有何差異.

問題2：將直線圍繞點P進行旋轉，觀察變化過程，思考如何來描述直線的傾斜程度.

設計意圖 利用問題1引導學生感受過點P的直線的不同，初步了解坐標系在方向刻畫中的作用，為后續(xù)的定義探索做鋪墊;借助問題2引導學生自主歸納，抽象傾斜角的概念.

給出傾斜角的概念后，繼續(xù)引導學生思考兩點，一是傾斜角的概念是否適用于所有直線，二是傾斜角的具體范圍是什么. 通過上述思考來培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，并構建如圖3所示的知識導圖，引導學生掌握重點知識：一是兩點可以確定一條直線;二是從幾何視角來看，“點”和“方向”是研究直線的兩個幾何要素，可利用傾斜角來刻畫直線的方向.

探究2 直線的斜率.

通過知識內容的解讀可知，在坐標法思想中，需要對傾斜角代數化，引出兩點坐標與傾斜角的聯系——直線的斜率. 教學中可以呈現如下三個探究問題，引導學生思考.

建立平面直角坐標系，設直線l的傾斜角為α.

問題1：已知直線l過點O（0，0），P（，1），則α與點O，P的坐標有何關系？

問題2：若直線l過點P（-1，1），P（，0），則α與點P，P的坐標有何關系？

問題3：若直線l過點P（x，y），P（x，y），則α與點P，P的坐標有何關系？

設計意圖 設計上述三個問題，從特殊到一般逐步引入斜率的概念. 問題1由學生自主思考，旨在引導學生回顧正切函數的概念;問題2由學生互動交流討論，旨在引導學生使用不同方法去解決，并啟發(fā)學生結合平移思想，把向量法加入知識體系中;在此基礎上，引導學生主動思考問題3，通過小組合作，構建傾斜角的正切值與兩點坐標的聯系（具體如下）.

直線l的傾斜角與直線l上的兩點P（x，y），P（x，y）（x≠x）的坐標有如下聯系：tanα=①. 我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母k來表示，即k=tanα②.

完成上述定義的歸納總結后，進一步引導學生思考如下問題，讓學生體會傾斜角與斜率的對應關系，理解斜率可以用來刻畫傾斜角的合理性，增強思維的嚴謹性.

問題1：傾斜角與斜率是否為一一對應的關系？

問題2：當直線l的傾斜角由0°增大到180°時，斜率如何變化？

同時，結合生活中的坡度，構建如圖4所示的知識導圖，即數、形視角下的傾斜角與斜率的對照關系，以及兩者關于“直線的方向”的刻畫聯系.

探究3 方向向量與斜率的聯系.

教學預設：已知直線l經過兩點P（x，y），P（x，y），且直線斜率為k，試用k表示直線的一個方向向量.

設計意圖 設計思考環(huán)節(jié)，引導學生探究斜率與方向向量之間的關系，自主思考、總結歸納知識間的內在聯系. 教師可以通過引導，為學生提供探究方向. 具體可以構建如下知識內容.

（1）若直線的斜率為k，則直線的一個方向向量為（1，k）;

（2）若直線的方向向量為（x，y）（x≠0），則斜率k=.

教學建議

1. 整合知識重點，教學核心突出

高中數學知識內容較多，章節(jié)教學時需要教師充分備課，整合知識重點，突出課堂教學重點. 以上述“直線的傾斜角與斜率”為例，圍繞考試大綱，明確教學探究重點：一是直線的傾斜角;二是直線的斜率;三是方向向量與斜率的聯系. 同時分析教學策略，采用“過程構建，引導探究”的教學方式. 上述策略，同樣適用于解析幾何相關知識的教學，如后續(xù)教學直線的方程、直線與圓的位置關系等，可以適度參考借鑒.

2. 設置知識導圖，完善知識體系

知識導圖是課堂知識整合、總結的重要方式，教學中合理利用知識導圖，有利于學生明晰知識重點，理清知識間的關系，完善知識體系. 上述課堂教學中多次借助知識導圖指導學生總結歸納，如“直線的傾斜角”的探究中，利用知識導圖歸納直線的幾何要素，梳理“點”和“方向”的內在聯系;“直線的斜率”的探究中，構建傾斜角、方向、斜率之間的相互關系，強化學生理解直線方向的刻畫. 但實際教學中運用知識導圖時要注意兩點，一是知識的總結，建議讓學生自行歸納;二是導圖結構的簡練，內在聯系的明確，建議引導學生在日常學習中多練.

3. 設問引導探究，綜合能力提升

教學設計建議采用“設問引導，過程探究”的方式，即圍繞知識重點合理設計引導性問題，讓學生自主思考、猜想，得到結論，提升學生的數學思維和探究能力. 以上述章節(jié)教學為例，針對教學內容設計三大探究環(huán)節(jié)，每一個環(huán)節(jié)結合操作實踐，設問引導學生逐步感知概念，生成定義知識等. 教學中設問引導要注意兩點，一是問題設計要具有層次性、遞進性，逐步深入探究主題;二是問題設計要充分圍繞知識核心，合理設置問題背景.

寫在最后

“直線的傾斜角與斜率”作為解析幾何板塊的重要知識內容之一，探究教學中要充分解讀知識背景，明確核心內容，結合教學目標與重點來設置探究環(huán)節(jié)，引導學生積極參與課堂討論，完成知識生成、總結歸納，讓學生掌握知識的同時提升能力.

作者簡介：張恩林（1993—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲蘇州市微課比賽三等獎.