一類單部件可修復(fù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及可靠性分析

劉東旭， 司文藝， 袁玉嬌

( 1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系； 2.延邊教育出版社 網(wǎng)絡(luò)出版中心： 吉林 延吉 133000 )

1 模型描述

單部件可修復(fù)系統(tǒng)由一個部件構(gòu)成，當(dāng)部件工作時(shí)系統(tǒng)工作，當(dāng)部件故障時(shí)系統(tǒng)故障.當(dāng)修復(fù)率為函數(shù)時(shí)，利用文獻(xiàn)[5]中的補(bǔ)充變量法，單部件可修復(fù)系統(tǒng)的模型可用如下方程組描述：

(1)

(2)

2 系統(tǒng)解的穩(wěn)定性

定理1系統(tǒng)(2)存在唯一的非負(fù)解P(t)， 且P(t)=T(t)P(0).

下面證明系統(tǒng)的解具有指數(shù)穩(wěn)定性.

定理20是算子A+B的簡單本征值.

證明考慮方程(γI-A-B)P=0， 即

(3)

(4)

(5)

定理3{γ∈C|Reγ>0或γ=ia,a∈R,a≠0}?ρ(A+B).

證明對?γ∈C， Reγ>0或γ=ia,a∈R,a≠0有:

(6)

1)γ∈C, Reγ+c>0時(shí)，γ∈σ(A+B) ?D(γ)=0.

2)設(shè)γ0=0, 對任意的γk∈{γ∈C|Reγ>-c,D(γ)=0}，γk≠γ0.其中γk按照實(shí)部遞減排序Reγk+1≤Reγk，k=1,2,3,…,N, 則γ0=0是A+B的嚴(yán)格占優(yōu)本征值.

2)易知D(γ)在Reγ>-c上是解析函數(shù)，至多有有限個零點(diǎn)，且在有限區(qū)域內(nèi)沒有聚點(diǎn).由上面的討論知：算子A+B的譜在左半平面，虛軸上的點(diǎn)除零點(diǎn)外都在預(yù)解集中.因0是A+B的具有正本征向量的簡單本征值，再由嚴(yán)格占優(yōu)本征值的定義知0是嚴(yán)格占優(yōu)本征值.

設(shè)γ0=0， 對任意的γk∈{γ∈C|Reγ>-c,D(γ)=0}，γk≠γ0.其中γk按照實(shí)部遞減排序Reγk+1≤Reγk，k=1,2,…,N, 則γ0=0是A+B的嚴(yán)格占優(yōu)本征值.

‖T(t)P(0)-〈P(0),Q〉P*‖≤Me(Reγ1+δ)t,t>0.

上述結(jié)果表明，在一定條件下系統(tǒng)的動態(tài)解是以指數(shù)形式收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.

3 系統(tǒng)的可靠性分析

定理6當(dāng)0

對p0(t)求導(dǎo)得

參考文獻(xiàn)：

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