基于泰勒展開的結(jié)構(gòu)響應(yīng)面方法

郭 明， 柴 山, 劉金釗

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255091)

1 預(yù)備知識

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型一般形式為

findX=[x1,x2,…，xn]T∈Rn

minf(X)=f(x1,x2,…,xn)

s.t.σil≤[σ]i

(i=1,2,…,n；l=1,2,…,N)

(1)

?

其中X為設(shè)計變量；f(X)為目標函數(shù)；σil及δlk分別為應(yīng)力約束條件和位移約束條件.

在一個結(jié)構(gòu)設(shè)計方案中,全部變量可分為三種類型,即設(shè)計變量、性能變量和中間變量.

1)設(shè)計變量是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的自變量，通常由設(shè)計者主動選擇.

2)性能變量是結(jié)構(gòu)的各種性態(tài)變量,例如應(yīng)力、位移、自振頻率等等,是設(shè)計變量的因變量,設(shè)計者不能直接選出所需要的性態(tài)變量,而只能靠結(jié)構(gòu)分析來描述.

3)中間變量是由設(shè)計變量求性態(tài)變量運算中的一些量.例如單元的應(yīng)力是一個性態(tài)變量,求應(yīng)力時所需的內(nèi)力就是一個中間變量.

一般說來，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型中，目標函數(shù)是設(shè)計者關(guān)心的目標與設(shè)計變量相關(guān)的函數(shù)，而約束條件是對性能變量的某些限制，是性能變量的函數(shù)[1].在有限元方程中，剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣是設(shè)計變量的函數(shù)，而應(yīng)力、位移這些性能變量是要通過求解有限元方程求得的，因而是設(shè)計變量的隱函數(shù).一般的數(shù)學規(guī)劃問題的目標函數(shù)和約束條件都是設(shè)計變量的顯函數(shù)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型中約束條件是設(shè)計變量的隱函數(shù)，這也是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題區(qū)別于一般的數(shù)學規(guī)劃問題的一個重要特點，由于這一特點，大大增加了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的復(fù)雜性，增加了求解難度.

要解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型中約束條件是設(shè)計變量的隱函數(shù)的問題，就必須進行約束條件的顯式化，響應(yīng)面方法是最常用的顯式化方法.響應(yīng)面方法最初由Box和Wilson于1951年提出[2]，其基本思想是通過一系列確定性實驗，用多項式函數(shù)來近似隱式極限狀態(tài)函數(shù).通過合理地選取試驗點和迭代策略，來保證多項式函數(shù)能夠逼近于真實的隱式極限狀態(tài)函數(shù).當系統(tǒng)變量和系統(tǒng)輸出響應(yīng)以某種隱含的方式存在時，RSM無疑提供了一種近似表達這種隱含關(guān)系的合適手段.RSM方法在統(tǒng)計數(shù)據(jù)處理、工業(yè)過程控制和可靠度分析等領(lǐng)域已為人們所熟知，近幾年在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中也逐步得到了廣泛的應(yīng)用.1995年，Myers和Montgomery對響應(yīng)面的及其應(yīng)用進行了全面的闡述，并把響應(yīng)面方法定義為“一種用于開發(fā)、改進、優(yōu)化的統(tǒng)計和數(shù)學方法”[3].如今，響應(yīng)面方法廣泛用于優(yōu)化設(shè)計中，即通過合理的試驗設(shè)計方法構(gòu)建目標函數(shù)、約束函數(shù)和設(shè)計變量之間的近似函數(shù)[4].

由于傳統(tǒng)的多項式基響應(yīng)面是應(yīng)用最小二乘法建立的逼近函數(shù)，在某些問題中其擬合精度偏低.本文在結(jié)合桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，分析傳統(tǒng)多項式響應(yīng)面法及其擬合精度的基礎(chǔ)上，提出了基于泰勒展開的響應(yīng)面法，可以有效地提高在展開點附近響應(yīng)面的擬合精度，這對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計非常有利.

2 傳統(tǒng)多項式基響應(yīng)面方法及其擬合精度分析

2.1 傳統(tǒng)多項式基響應(yīng)面算法簡介

常用的多項式基響應(yīng)面法的形式有下面幾種:

線性型

(2)

二次型

(3)

完整二次型(含交叉項)

(4)

(5)

每次試驗的表達式可統(tǒng)一寫成如下矩陣形式

Y=Xβ+ε

(6)

其中

系數(shù)向量的無偏估計β可由最小二乘法獲得，即令每次試驗的誤差平方和δ為最小

δ=εTε=(Y-Xβ)T(Y-Xβ)→min

(7)

β=(XTX)-1XTY

(8)

2.2 多項式基響應(yīng)面算法的精度分析

利用多項式基響應(yīng)面方法進行顯式化時，響應(yīng)面的擬合的精度是要考慮的，文中用幾個簡單的算例對多項式基響應(yīng)面方法的擬合精度進行探討.本文主要討論的是桁架結(jié)構(gòu)，選取桁架結(jié)構(gòu)的截面積為設(shè)計變量，截面積變化范圍為0.01m2～0.05m2，且截面均為圓截面，彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比為0.3，以節(jié)點的位移為結(jié)構(gòu)的響應(yīng).

算例1 以最簡單的二桿桁架為例,二桿桁架結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 二桿桁架結(jié)構(gòu)

通過結(jié)構(gòu)力學求得的二桿桁架的節(jié)點A沿力F方向的位移解析解如下：

利用多項式基響應(yīng)面求解的A節(jié)點的近似響應(yīng)值與真實響應(yīng)值之間的相對誤差和以及響應(yīng)面形式的選擇情況見表1.

表1 二桿桁架的擬合精度及響應(yīng)面形式的選擇 %

算例2 分析一個超靜定的六桿桁架的例子，六桿桁架的結(jié)構(gòu)如圖2所示[6].

圖2 六桿桁架結(jié)構(gòu)

六桿桁架節(jié)點B沿力F方向的位移的解析解為

利用多項式基響應(yīng)面求解B節(jié)點的近似響應(yīng)值與真實響應(yīng)值之間的相對誤差和以及響應(yīng)面形式的選擇情況見表2.

表2 六桿桁架的擬合精度及響應(yīng)面形式的選擇 %

由表1和表2可以看出，利用多項式基響應(yīng)面方法對桁架結(jié)構(gòu)的位移進行擬合時，線性形式的響應(yīng)面在檢驗點處相對誤都較大，不能夠滿足足夠的逼近；二次形式的響應(yīng)面在檢驗點處計算精度雖然有所提高，但是誤差也很大；靜定結(jié)構(gòu)增加交叉項對擬合的結(jié)果影響很小，超靜定結(jié)構(gòu)增加交叉項后精度有所提高，但是也不能滿足實際需求.

3 基于泰勒展開的響應(yīng)面方法

(9)

若線性形式的基于泰勒展開的響應(yīng)面方程不能滿足精度的要求，則可增加高階形式的差分來進行補充構(gòu)建響應(yīng)面函數(shù)，根據(jù)工程經(jīng)驗和大量的資料分析可知，多元的二階泰勒展開形式就能很好的滿足實際需要，基于多元泰勒展開形式的二次響應(yīng)面公式.

(10)

其中：若式(10)中不含混合的二階偏導(dǎo)數(shù)，則稱該展開為二次形式展開，若式(10)中含有混合的二階偏導(dǎo)數(shù)，則稱為完整二次形式展開.

寫成矩陣形式為

S=S0+[S0]T(x-x0)+

其中H為海森矩陣

在差分網(wǎng)格圖3中，Si,j，Si+1,j，…,Si-1,j-1,Si+1,j-1，分別表示節(jié)點(i,j)，(i+1,j)，…，(i-1,j-1)，(i+1,j-1)處性能函數(shù)S的響應(yīng)值，若以節(jié)點(i,j)為展開點，則上述各式中偏導(dǎo)數(shù)的求解公式如下：

圖3 差分的網(wǎng)格圖

一階偏導(dǎo)數(shù)：

(11)

二階偏導(dǎo)數(shù)：

(12)

混合的二階偏導(dǎo)數(shù)：

(Si+1,j+1+Si-1,j-1)]

(13)

對超靜定結(jié)構(gòu)利用基于泰勒展開的響應(yīng)面進行分析時，超靜定結(jié)構(gòu)的響應(yīng)S(內(nèi)力、應(yīng)力、位移、固有頻率、振型以及失穩(wěn)波形)等都是隨設(shè)計變量X而變化的，是設(shè)計變量的函數(shù)[7].將S在X0處進行多元泰勒展開，得到型如式(10)形式的多元泰勒展開式.對于梁、桿、板、殼這類單元，其應(yīng)力可由內(nèi)力與截面幾何性質(zhì)的關(guān)系式求出，而截面幾何性質(zhì)就是設(shè)計變量，因此只要求得內(nèi)力，就可以得到應(yīng)力約束的顯函數(shù)表達式.

4 算例驗證

為了驗證基于泰勒展開的響應(yīng)面方法的求解精

度，這里主要分析第一節(jié)中介紹的算例.

4.1 二桿靜定桁架

我們選擇在設(shè)計變量的中心點處進行泰勒展開得到如式(10)形式的基于泰勒展開的顯式化的響應(yīng)面方程;對構(gòu)建的響應(yīng)面方程進行精度檢驗時，選擇在各設(shè)計變量的相鄰節(jié)點附近進行精度的驗算，利用基于泰勒展開的響應(yīng)面法求解的結(jié)果與通過結(jié)構(gòu)的解析解求得結(jié)果的相對誤差見表3.

表3 二桿桁架的泰勒展開形式及檢驗點處的相對誤差%

由表3可以看出利用線性形式的泰勒展開求解的精度較差，增加了二階泰勒展開的響應(yīng)面求解的精度有所提高，增加了二次交叉項的泰勒展開的響應(yīng)面驗算點處求解的精度變化不大，平均相對誤差可以控制在2%左右，驗算點處的精度能夠滿足工程實際的需要，可認為求解結(jié)果是準確的，同時與表1對比分析可知基于泰勒展開的響應(yīng)面方法求解的精度比利用傳統(tǒng)多項式基響應(yīng)面方法求解的精度有了明顯的提高，因此可以構(gòu)建二次形式的基于泰勒展開的響應(yīng)面方程，實現(xiàn)該結(jié)構(gòu)的隱函數(shù)的顯示化.

4.2 六桿超靜定桁架

利用基于泰勒展開的響應(yīng)面法求解驗算點的結(jié)果與通過結(jié)構(gòu)的解析解求得結(jié)果的相對誤差見表4.

表4 六桿桁架的泰勒展開形式及檢驗點處的相對誤差%

由表4可以看出來，增加了二階泰勒展開的二次型和完整二次型的響應(yīng)面方法，求解的精度比線性展開的形式有所提高，基本能夠保證工程實際的需要；同時與表2對比分析可知基于泰勒展開的響應(yīng)面方法求解的精度比利用傳統(tǒng)多項式基響應(yīng)面方法求解的精度有了明顯的提高.因此可以構(gòu)建含交叉項的完整二次形式的基于泰勒展開的響應(yīng)面方程，實現(xiàn)該結(jié)構(gòu)的隱函數(shù)的顯示化.

傳統(tǒng)的響應(yīng)面方法本質(zhì)上是在零點作泰勒展開，而文中提出的方法是在設(shè)計變量的中間值做泰勒展開，因此擬合精度會比傳統(tǒng)方法高；同時通過數(shù)據(jù)的變化趨勢分析可知越遠離展開點相對誤差越大，本文的方法是在一個較小的區(qū)域內(nèi)才能獲得較好的精度，此時可采用文獻[4]中介紹的運動極限的計算方法給出運動極限的粗估，并限制泰勒展開的步長來保證解的有效性和準確性.

5 結(jié)論

1)通過桁架算例分析表明傳統(tǒng)多項式基響應(yīng)面在處理桁架問題時擬合精度較差.

2)基于傳統(tǒng)多項式基響應(yīng)面算法存在的問題，提出了基于泰勒展開的響應(yīng)面方法,并通過區(qū)域網(wǎng)格劃分和差分公式的推導(dǎo)給出了該算法中各階偏導(dǎo)數(shù)的求解公式.

3)通過桁架結(jié)構(gòu)的算例分析，驗證了本文提出的基于泰勒展開的響應(yīng)面方法，能夠有效地提高桁架結(jié)構(gòu)的位移求解精度問題，并通過運動極限的合理設(shè)置能夠高質(zhì)量的實現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中隱函數(shù)的顯式化.

[1] 孫煥純,柴山,王躍方,等.離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[M].大連：大連理工大學出版社，2001.

[2] Box G E P,Wilson K B.On the experimental attainment of optimum conditions (with discussion)[J]. Journal of Royal Statistical Society,1951,13(1):1-45.

[3] Myers R H,Montgomery D C. Response surface methodology: process and product optimization using designed experiments, [M].New York:John Wiley&Sons,Inc,1995.

[4] 隋允康,宇慧平.響應(yīng)面方法的改進及其對工程優(yōu)化的應(yīng)用[M].北京：科學出版社，2011.

[5] 隋允康,張立新,杜家政.基于響應(yīng)面方法的桁架截面敏度分析和優(yōu)化[J].力學季刊,2006,27(1):96-102.

[6] 李廉錕.結(jié)構(gòu)力學[M].北京：高等教育出版社.2004.

[7] 錢令希.工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[M].北京:水利電力出版社.1983.