兩正態(tài)分布總體變異系數(shù)差的區(qū)間估計(jì)

張 千, 李新民

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255091; 2.青島大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266000)

對區(qū)間估計(jì)的一般方法是頻率方法，此方法只能在一些簡單情形下才能對參數(shù)和參數(shù)函數(shù)給出精確的置信區(qū)間，在大量較復(fù)雜的情形下，只能利用大樣本理論，或自助法，鞍點(diǎn)逼近等方法構(gòu)造近似區(qū)間估計(jì)．Bayes方法也可用于區(qū)間估計(jì)，但前提是需要參數(shù)的先驗(yàn)分布，并且不同的先驗(yàn)分布給出不同的Bayes區(qū)間，而且一般它不是頻率意義下的置信區(qū)間，即其覆蓋率不等于要求的置信水平．本文采用Fiducial推斷[1]方法，這類方法不需要先驗(yàn)分布，而是根據(jù)數(shù)據(jù)給出與參數(shù)的后驗(yàn)分布有相同作用的Fiducial分布．它由Fisher[2]首先提出并研究．其后有不少統(tǒng)計(jì)學(xué)者對之進(jìn)行討論． David和Stone[3]討論了在函數(shù)模型下求Fiducial分布的一般方法及有關(guān)的推斷．Barnard[4]基于樞軸模型研究了Fiducial推斷．雖然該類方法未能形成理論體系，但在一些頻率方法無法解決，而又沒有合適的先驗(yàn)分布的具體問題上，用Fiducial方法給出合理可行的答案，仍很有意義． Weerahandi[5]提出了廣義樞軸量和廣義區(qū)間估計(jì)的概念，并通過一些實(shí)例進(jìn)行研究，但并未提出如何構(gòu)造廣義樞軸變量．李新民和李國英利用Fiducial推斷方法給出了構(gòu)造方差分量的線性函數(shù)的廣義區(qū)間估計(jì)的一種方法．最近Hannig[6]等也討論了利用Fiducial推斷方法構(gòu)造廣義區(qū)間估計(jì)，并把所得區(qū)間估計(jì)稱為Fiducial廣義區(qū)間估計(jì)．最近李新民等給出了限制參數(shù)空間上求參數(shù)Fiducial區(qū)間的一般方法，并將之應(yīng)用于一些模型．徐興忠和李國英在樞軸分布族中給出了構(gòu)造參數(shù)Fiducial分布的一般方法．李新民和李國英[7]利用廣義推斷法給出了非平衡設(shè)計(jì)中方差因素和的置信區(qū)間，并且說明了通過Fiducial推斷方法很容易構(gòu)造廣義樞軸量．Bootstrap[8]方法是由美國斯坦福大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教授Efron首先提出的，該方法通過對樣本的經(jīng)驗(yàn)分布進(jìn)行隨機(jī)再抽樣、得到Bootstrap子樣本，然后再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)。該方法不僅對于很多統(tǒng)計(jì)量已被證明滿足大樣本的相合性，而且對于小樣本分析，更具有其不可替代的優(yōu)越性。

1 參數(shù)Bootstrap區(qū)間估計(jì)

對于多元正態(tài)分布總體，Xi=(Xi1,Xi2，…，Xini)(i=1,2)為取自正態(tài)分布總體N(μi,σi)的樣本，其中，ni(i=1,2)為第i個樣本的樣本容量．變異系數(shù)為

易知

根據(jù)參數(shù)Bootstrap方法[4]，用樣本均值和方差分別代替總體均值和方差，得到

可以推得

其中Z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量．

用參數(shù)自助法計(jì)算基本步驟如下：

(2)運(yùn)用Monte-Carlo模擬法，生成一個樣本容量ni的Bootstrap樣本．

(4)重復(fù)上述(2)-(3)步驟n次(一般大于1 000)．

(5)將θB(j)進(jìn)行升序排列．

2 Fiducial區(qū)間估計(jì)

Tsui和Weerahandi[9]及Weerahandi[10]提出了廣義推斷的概念．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布Pη(·)，η=(θ,δ)為參數(shù)空間Ω上的未知參數(shù)，θ=θ(η)為所關(guān)心的實(shí)值參數(shù)函數(shù)，δ為討厭參數(shù)，記Θ為θ的參數(shù)空間，x為X的觀測值．

定義1[5]記R=R(X;x,η)為X和x及η=(θ,δ)的函數(shù)．如果R滿足以下性質(zhì)：

(1)R的分布與未知參數(shù)無關(guān).

(2)r=R(x;x,η)不依賴于討厭參數(shù)δ.

則稱R為廣義樞軸量．

定義2[6]設(shè)存在空間ε上的隨機(jī)變量E，它的分布已知，并且存在從Ω×ε到χ上的函數(shù)h(η,e)，使得當(dāng)參數(shù)為η時(shí)，X=h(η,E)．

對一切η∈Ω成立．進(jìn)一步，若對任意x∈χ和e∈ε，方程x=h(η,e)在Ω上有惟一解，記為ηx(e)．于是

(1)ηx(E)的分布稱為η的分布.

(2)θ(ηx(E))的分布稱為θ=θ(η)的(邊際)分布．

由定義2，從參數(shù)θ的Fiducial分布

Fx(θ)=Pr(θ(ηx(E))≤θ)．

易知0≤Fx(θ)≤1，并且Fx(θ)關(guān)于θ非減，于是可得到參數(shù)的Fiducial區(qū)間．

可知COVi的分布與未知參數(shù)無關(guān)，另一方面，COVi的觀測值為

不依賴于討厭參數(shù)，所以COVi為廣義樞軸量．

利用廣義推斷方法,具體的模擬步驟如下：

(2)隨機(jī)產(chǎn)生F1,F2的樣本f1,f2．

(4)重復(fù)上述(2)-(3)步驟n次(一般大于1 000)．

(5)將θG(j)(j=1,2,…，N)進(jìn)行升序排列．

3 實(shí)例模擬

3.1 兩總體方差相同下的實(shí)例模擬

從表1中可以看出，當(dāng)方差相同時(shí),均值無論怎

表1 模擬組數(shù)相同且方差相同下的精度

么變化，廣義推斷法的覆蓋率比較穩(wěn)定，并在95%左右,而參數(shù)Bootstrap方法的覆蓋率一般小于95%且不穩(wěn)定，所以廣義推斷法較好．

3.2 兩總體方差均值不同下的實(shí)例模擬

表2 模擬組數(shù)相同且均值方差都不同下的精度

從表2中可以看出，當(dāng)均值和方差任意取值時(shí)，廣義推斷法覆蓋率比較穩(wěn)定，并且覆蓋率接近95%，效果較好．

綜上知，廣義推斷法要優(yōu)于參數(shù)Bootstrap方法．

[1] 李新民，徐興忠，李國英.廣義P值的Fiducial推斷[J].中國科學(xué)A輯:數(shù)學(xué)，2007, 37(6): 733- 741.

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[10] Weerahandi S.Generalized confidence intervals[J]. Journal of the American Statistical Association, 1993,88:899-905.