新技術背景下微積分課堂教學的思考＊

張長勤，吳 堅

（安徽農業(yè)大學理學院，安徽合肥230036）

新技術背景下微積分課堂教學的思考＊

張長勤，吳 堅

（安徽農業(yè)大學理學院，安徽合肥230036）

在新技術背景下，圍繞培養(yǎng)高素質創(chuàng)新人才這一中心，如何進行微積分課堂教學，是值得探索與研究的問題。微積分的教學目的，不僅是要讓學生掌握基本知識和方法，提高運算能力，還需要培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、應用創(chuàng)新能力，為學習相關專業(yè)打好數學基礎。微積分課堂應當成為數學文化傳播的場所；微積分的教學活動應當有意識地進行數學思想的教育；微積分的教學應當與現代技術相結合，以發(fā)展學生的數學能力為重。微積分課程應當真正成為培育人才的基礎課程。

微積分；數學文化；數學思想；數學能力

微積分［1］作為一門獨立的數學學科自誕生之日起，三百年來已為人類的科學技術發(fā)展提供了良好的數學基礎，做出了巨大的貢獻。時至今日，微積分的應用已遍及自然科學、工程技術、社會經濟等許多領域。因此，微積分是高等教育中基礎教學不可或缺的一部分。在我國，教授微積分知識的課程分為《數學分析》和《高等數學》，《數學分析》是針對數學系學生而開設的，強調微積分的理論基礎，教學偏重于概念和形式推理；《高等數學》是針對非數學類專業(yè)學生而開設的，主要強調微積分的基本理論和方法，教學偏重于計算技巧和應用。本文所討論的是《高等數學》對于微積分的教學問題。由于電子技術、信息技術的飛速發(fā)展與應用，與以往時代相比，對于微積分的知識需求也發(fā)生了變化，微積分的教學應當為培養(yǎng)創(chuàng)新人才服務，應當體現與現代技術的結合。而今天的教學技術條件和環(huán)境能夠讓這些要求得以實現。建國以來，我國微積分教學的發(fā)展經歷了不同階段，特別是由于新技術的應用，今天微積分的教學相對于幾十年前已大為改觀。但微積分的教學仍延續(xù)著傳統(tǒng)教學模式［2］，仍然是老師講授，學生聽講，大量習題訓練。課堂教學的內容比較抽象，形式也較為單一，難免讓學生感到枯燥、沉悶，使得相當一部分學生對于微積分的學習沒有興趣。這也影響了教師的授課情緒，久而久之，教師的熱情被磨滅，只是把授課當作任務。這種狀況顯然影響了微積分的教學質量，進而影響了人才培養(yǎng)的質量。這種狀況困擾著大多數高校微積分的教學。因此，在新的技術背景下，如何進行微積分的課堂教學，是亟待解決的問題。

一、微積分課堂應當成為數學文化傳播的場所

數學作為一門科學，一直以自己獨特的形象和能力現身于人類歷史的長河。經過4000多年世界各個民族的共同努力，數學才發(fā)展到今天這樣的規(guī)模和水平。正是有了數學的發(fā)展，人類才進入了今天的電子時代、信息時代，人類的生活品質才有了極大的提高。數學是人類文明非常重要的組成部分，數學文化［3］陪伴人類走過了幾千年（考古發(fā)現了古代埃及和巴比倫比較系統(tǒng)的數學文獻）。數學文化的狹義定義為：數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展［4］。數學文化還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發(fā)展史中的人文成分和數學文化與其他各種文化的關系等。筆者認為，微積分是高等教育體系中優(yōu)秀的數學要素，負載著豐富的數學文化元素。數學教師應當是數學文化的傳播者，要讓學生在微積分的課堂上感受到數學文化的魅力，提升其數學素質。例如，微積分所創(chuàng)立的“ε－N”“ε－δ”描述方法，是數學語言的具體表現形式，是數學思維的載體，它的簡約、抽象向我們傳達了數學的精準、嚴謹，也向我們展示了數學推理的奇妙之美。積分是在極限思想的作用下，由近似值到精確值的轉化，這正是量變到質變這一哲學思想的體現。著名的斐波納契數列不僅可以描述兔子的繁衍，也可以描述植物葉片排列的規(guī)律等，這說明斐波納契數列揭示了自然界中的增長模式，人類已經將這種增長模式用于多種場合，包括用于經濟問題的研究。微積分的發(fā)展史是數學文化中重要篇章之一。這些都充分體現了微積分的數學文化價值。

值得一提的是，微積分不僅追求了真理，而且還創(chuàng)造了數學之美。例如，微積分以函數描述客觀事物的運動變化規(guī)律，展現了數學的簡潔美。而函數各種特征的相互協(xié)調與統(tǒng)一，體現了數學的和諧統(tǒng)之美。與和諧之美對立的，微積分中還有奇異之美，大多表現于微積分中的反例之中。著名的微積分學基本公式——牛頓－萊布尼茨公式以及它在多元函數積分學中的推廣：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，就公式本身已經呈現了形式美、結構美，更蘊藏著高度的和諧統(tǒng)一之美。牛頓—萊布尼茨公式構建了積分學與微分學之間的橋梁；格林公式建立了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系；高斯公式建立了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界上的曲面積分之間的關系；斯托克斯公式則建立了曲面∑上的曲面積分與沿著∑的邊界曲線的曲線積分之間的關系。這些公式既有聯系又有區(qū)別，后面三個公式在向量場中都有重要而實際的應用美。現代技術并沒有湮滅數學之美，而是使其發(fā)揚光大。例如，以微積分中構造“點點連續(xù)且點點不可導函數”為起點，于上世紀七十年代產生了數學領域一個新的分支“分形學”，計算機技術使得分形圖形能夠完美實現，進一步展示了數學的生長美、蜿蜒美，這同時也成為現代藝術設計的源泉之一。

可見，微積分是數學文化的集合體，筆者這里僅是珠海拾貝。如果授課教師在教學過程中適當為學生進行文化層面的分析，讓他們領悟到數學所蘊含的人文精神光輝，這顯然有益于他們思想的培育，品格的形成。同時，這種做法也將增加微積分學習的趣味性，受到學生歡迎是毋庸置疑的。能在有限的課堂教學時間內，讓學生汲取更全面、更深厚的數學文化營養(yǎng)，這應該是數學教育的目標之一吧［5］。

二、微積分的教學活動應當有意識地進行數學思想方法的教育

李大潛先生曾撰文［5］指出：學生在學校學習數學，日后受益更多的是所接受的數學訓練，所領會的數學思想和精神，所積累的數學素養(yǎng)，并不一定是具體的數學知識。數學思想方法是數學的靈魂，是數學知識的本質。微積分所闡述的“有限與無限”“直與曲”“靜與動”“近似與精確”等充滿了“對立統(tǒng)一”的辯證思想。微積分中的數學思想包括函數思想、極限思想、化歸思想、類比思想、數形結合思想、數學建模思想等。其中極限思想最具有微積分的鮮明特色。有了極限的思想，讓我們能夠以有限的目光去研究無限過程。這些數學思想是人類重要的精神財富，為其他學科提供了豐富的數學營養(yǎng)。如果加以引導，讓學生在學習微積分過程中逐步將這些數學思想轉化為自己的思維方式，學生將因此而受益終生。而目前微積分的教學中，偏重于符號推演，偏重于計算技能的訓練，忽視了對于數學思想的灌輸，使得學生不能夠全面深入地理解微積分，無法以更為積極主動的方式吸收數學思想，當然也就談不上以微積分的思想培養(yǎng)自己的創(chuàng)新思維。筆者認為，作為數學教師，不僅是授業(yè)者、解惑者，也是傳道者。除了一般意義的傳道者外，更是數學的傳道者，有責任傳播數學思想和數學精神。在數學教學過程中加強育人意識，培養(yǎng)自己的學生成為具有良好數學素質、良好科學品質的現代人才。

數學思想方法比數學知識更抽象，往往隱于數學概念、法則、公式和定理的生成過程之中，這就需要我們在教學過程中及時點撥，進行挖掘，否則將失去數學思想方法教育的良機，學生也就不能感悟和領會數學知識中隱含的思想方法。因此，在進行數學教學過程中，要有意識地把隱含在知識背后的數學思想方法顯現出來，使之明朗化、條理化。數學思想方法是一種后天形成的心理特征，不可能像數學知識那樣一步到位，它需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程。例如，微積分中在極限基礎上產生了微分的概念，累積微分，則產生了積分的概念［6］。在現代技術中，“化整為零”“以直代曲”“無限求和”等這些微積分思想方法的身影隨處可見。因此，在引入微分、積分的概念以及它們的計算時，我們不能僅把教學的重心放在計算上，應該注重學生對微積分思想的把握，這就需要授課教師將微積分的思想提煉出來進行引導。當然，這并不能一蹴而就，數學思想的教育是系統(tǒng)化的，是要在微積分的整個教學過程中不斷地深化、遞進，在由極限?一元函數的微分?不定積分?定積分?微元法?重積分、曲線積分、曲面積分的教學過程中讓微積分的思想真正植根于學生的心田，影響他們的思維。要為學生創(chuàng)造互動的教學環(huán)境，使學生積極主動地參與教學活動，讓他們在數學知識的學習過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式構建出數學思想方法的體系。

三、微積分教學應當以發(fā)展學生的數學能力為重

對于非數學類專業(yè)而言，微積分教學的重要目的之一是培養(yǎng)學生的應用能力。傳統(tǒng)的微積分教學是以傳授微積分的理論與方法為主，而弱化了微積分的應用。大多數學生不知道為什么要學習微積分，因此在學習的時候并無多少興趣，這大大降低了學習的質量。另一方面，由于考研需要，目前我國的微積分教學幾乎成為應試教學。這都導致了微積分教學失去了它原本的出發(fā)點之一：微積分作為一種重要的數學技術，讓掌握它的人能夠描述信息，分析問題，建立數學模型［7］，以解決問題。所以筆者認為，在遵循微積分認知規(guī)律進行教學的過程中，應當始終貫穿以模型帶動教學這一條線。對于數學概念和數學原理的學習，這樣的教學模式可以讓學生了解所學知識的源頭，由形象思維逐步過渡到抽象思維，更好地掌握所學的數學知識。以模型帶動教學，意味著整個教學過程從一開始就有意識地培養(yǎng)學生用微積分來處理各種問題的習慣和能力，使他們學會在處理實際問題中觀察、提取、分析其中的數學關系，找出其數學本質，建立數學模型并檢驗其合理性和可應用性。而讓學生認識到：數學是關于模式的科學而不僅僅是關于數的科學。數學教學應當讓學生從大量、反復的解題訓練中走出來，以理論學習與實踐活動相結合的方式打好基礎，開拓視野，發(fā)展能力。這個能力指的是學生的數學能力。

具體地說，在微積分教學過程中，我們首先要從具有重要實際意義的背景問題出發(fā)，用數學建模觀點，自然引入微積分中的重要概念。如，極限、導數、不定積分、定積分、二重積分、三重積分、第一型曲線積分、第二型曲線積分、第一型曲面積分、第二型曲面積分等都是從具有重要實際意義的背景問題中抽象出的數學模型。其次，要以學生的認知規(guī)律，從研究數學模型的觀點出發(fā)，循序漸進、深入淺出地建立微積分的基本理論，闡述微積分的基本思想方法，發(fā)展學生的心智［8］。在全面學習了微積分知識的前提下，應當從學生所學專業(yè)的領域中給出綜合應用實例，結合實踐教學，強化數學建模的訓練，進一步提升學生的數學能力。

四、微積分的教學應當與現代技術相結合

數學能力應當包含與數學建模能力同樣重要的求解數學模型的能力。其中也包括了微積分中的解題能力，但這僅僅是一方面。在學習微積分時，課本中所給出的例題和習題是經過許多人的篩選和錘煉而形成的，都能夠給出非常漂亮的解。因為導數或積分是對連續(xù)變量所建立的概念，利用它們所建的數學模型——微分方程，也是連續(xù)類型的。然而利用微積分知識由實際問題所建立的連續(xù)數學模型往往讓學生無法用微積分教材中的方法進行求解。如果就此擱淺，學生對于微積分的感受和認識就會大打折扣。遺憾的是目前微積分的教學機制卻無法解決這個問題。筆者認為，在微積分的教學中應當增加如何利用現代技術求解數學模型的環(huán)節(jié)，以此作為微積分課程的實踐教學主要部分［9］。這里所說的現代技術，指的是計算機技術。這需要從以下兩個方面解決問題：

（一）教學內容方面

我們在現有的微積分教學中已經讓學生充分感受到微積分知識體系的完備性，我們也可以讓學生從另一個側面去理解微積分。仍以極限思想為基礎，連續(xù)概念的離散化處理是利用計算機技術求解連續(xù)數學模型的前提。例如，以差商或差分近似表示導數；以矩形法或梯形法近似表示定積分等。這里特別要說的是Taylor級數和Fourier級數，Taylor級數能夠將復雜運算近似轉化成有限次的加、減、乘、除四則運算，使得復雜運算在計算機上得以實現；Fourier級數能夠用有限多個簡諧波近似表示復雜波形，這是現代信號處理的數學基礎。正是有了這些，讓我們能夠用計算機技術去求解數學模型。向學生簡單介紹這些內容，不需要其他更深奧的數學知識，也不需要占用太多的時間，只需要在講授相關內容時，一并介紹。筆者多年來一直以這種方式向學生介紹微積分與現代計算技術的關系，收到了良好的效果。

（二）計算技術方面

在學生還不具備很好的編程能力時，可采用專用的數學軟件如Mathematics、MatLab等，學生經過簡單培訓，在教師的指導下，是能夠進行一些簡單數學模型求解的。親身經歷從數學建模到利用計算機求解數學模型的過程，所給予學生的數學應用能力，是任何方式都無法替代的，學生由此獲得的成就感，將大大增強學生學習數學的興趣，同時也愉悅了學生的身心。

微積分的教與學一直是數學教育者所關注的問題。微積分的教育功能，不能只是單純的定理、公式和計算內容。在新的技術背景下，對于非數學類專業(yè)的學生，如何進行微積分的教學有著多方面的改革與探索。筆者所論及的是微積分的課堂教學，而課堂教學是任何方式都無法替代的。作為一種思考與探索，筆者所言并不全面，也不夠深入。筆者所強調的是對于非數學類專業(yè)的學生，需要數學文化的滋養(yǎng)，需要培育數學思想。應當注重理論與實際應用相結合；注重計算方法的實際操作，特別是計算方法的計算機實現。我們應當最大程度地發(fā)揮微積分的教育功能。微積分教育更廣泛的意義是培養(yǎng)學生做事目標的明確性、思維的條理性、過程的規(guī)范性和方法的創(chuàng)新性［10］。這正是高素質創(chuàng)新人才所應具備的特質。

［1］THOMAS G B．托馬斯微積分［M］．葉其孝，王耀東，唐兢，等，譯．北京：高等教育出版社，2007：1－4．

［2］柴?。覈⒎e分教學改革方向的思考——兼論美國AP微積分計劃給我們的啟示［J］．大學數學，2006，22（3）：17－20．

［3］李大潛．數學文化與數學教養(yǎng)［J］．中國大學教學，2008（10）：4－81．

［4］顧沛．數學文化與大學生文化素質教育［J］．中國大學教學，2007（4）：6－7．

［5］李大潛．漫談大學數學教學的目標與方法［J］．中國大學教學，2009（1）：7－10．

［6］張奠宙，丁傳松，柴俊．情真意切話數學［M］．北京：科學出版社，2011：134－156．

［7］李大潛．數學建模與素質教育［J］．中國大學教學，2002（10）：41－43．

［8］王彥華．運用構建主義思想提升微積分教學的有效性［J］．數學學習與研究，2012（3）：15－16．

［9］袁立新．計算機在微積分教學中的作用例談［J］．四川教育學院學報，2007（9）：108－110．

［10］李萬軍，微積分思想及其認識——兼論微積分思想的教育價值［J］．周口師范學院學報，2008（9）：43－45．

The Reflection of Calculus’Teaching under the Background of New Technology

ZHANG Chang－qin，WU Jian
（School of Science，Anhui Agriculture University，Hefei 230036，China）

In the background of new technology，how to carry on the calculus teaching，focusing on the training of creative talents，is an issue worthy of exploration and research．The purpose of calculus teaching is not only to make students master the basic knowledge and methods，improve the operation ability，but also to cultivate students＇abstract thinking ability，logical thinking ability and innovation ability and help them to lay the mathematical foundation for learning relevant professional knowledge．The paper holds that a calculus class should become a place spreading mathematical culture，the calculus teaching activities should consciously carry through mathematical thought education，and the calculus teaching should be combined with modern technology，focusing on developing students＇mathematical ability．A calculus course should become a basic course for cultivating talents．

calculus；mathematical culture；mathematical thought；mathematical ability

G642．40

A

1009－2463（2014）04－0123－06

2014－05－04

安徽省教育廳質量工程教學研究項目（2013jyxm052：《農林類院校工科類專業(yè)工程數學課程體系的改革與實踐》）

張長勤（1955－），女，安徽蕭縣人，安徽農業(yè)大學理學院副教授，碩士生導師。

吳 堅（1956－），男，安徽寧國人，安徽農業(yè)大學經濟技術學院院長，教授，碩士生導師。