高考函數(shù)問題的題型與解題方法

李嘉

一、函數(shù)的概念型問題

本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，真正明確不僅函數(shù)的對(duì)。應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)。其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識(shí)，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合。

（一）深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)

1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解

例3.下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R），其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此③正確，①錯(cuò)誤。

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此②不正確。

若y=f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④錯(cuò)誤，選A。

三、函數(shù)綜合應(yīng)用

1.準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

例4.已知函數(shù)f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是。（ ）

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

分析：這里首先要識(shí)別集合語(yǔ)言，并能正確把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成熟悉的語(yǔ)言。從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f（x），x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化），不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素組成的。這里給出了函數(shù)y=f（x）的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1不屬于F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C。

2.掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的。對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x）

例5.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）

分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象（如圖2）。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間（1，3）內(nèi)，由此可排除A，D。至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，從而判定x0∈（2，3），故本題應(yīng)選C。

（作者單位：江西省吉安市永新縣禾川中學(xué)）

一、函數(shù)的概念型問題

本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，真正明確不僅函數(shù)的對(duì)。應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)。其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識(shí)，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合。

（一）深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)

1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解

例3.下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R），其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此③正確，①錯(cuò)誤。

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此②不正確。

若y=f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④錯(cuò)誤，選A。

三、函數(shù)綜合應(yīng)用

1.準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

例4.已知函數(shù)f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是。（ ）

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

分析：這里首先要識(shí)別集合語(yǔ)言，并能正確把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成熟悉的語(yǔ)言。從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f（x），x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化），不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素組成的。這里給出了函數(shù)y=f（x）的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1不屬于F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C。

2.掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的。對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x）

例5.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）

分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象（如圖2）。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間（1，3）內(nèi)，由此可排除A，D。至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，從而判定x0∈（2，3），故本題應(yīng)選C。

（作者單位：江西省吉安市永新縣禾川中學(xué)）

一、函數(shù)的概念型問題

本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，真正明確不僅函數(shù)的對(duì)。應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)。其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識(shí)，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合。

（一）深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)

1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解

例3.下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R），其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此③正確，①錯(cuò)誤。

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此②不正確。

若y=f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④錯(cuò)誤，選A。

三、函數(shù)綜合應(yīng)用

1.準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

例4.已知函數(shù)f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是。（ ）

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

分析：這里首先要識(shí)別集合語(yǔ)言，并能正確把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成熟悉的語(yǔ)言。從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f（x），x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化），不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素組成的。這里給出了函數(shù)y=f（x）的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1不屬于F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C。

2.掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的。對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x）

例5.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）

分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象（如圖2）。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間（1，3）內(nèi)，由此可排除A，D。至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，從而判定x0∈（2，3），故本題應(yīng)選C。

（作者單位：江西省吉安市永新縣禾川中學(xué)）