等量關(guān)系覓尋：初中數(shù)學(xué)方程應(yīng)用題解題的核心線索

張曉鵬

[摘 要] 方程應(yīng)用題是基于等式的基本性質(zhì)出發(fā)，將等式的核心內(nèi)容應(yīng)用到具體的實(shí)際問題情境中，通過設(shè)置未知數(shù)以替代等式的殘缺部分，以實(shí)現(xiàn)問題的解答. 而等式中的等量關(guān)系原則同樣適應(yīng)方程問題，甚至在方程問題中的作用更大，其不僅是方程問題解題的關(guān)鍵和核心，而且是發(fā)展學(xué)生解題思維、增強(qiáng)學(xué)生問題意識(shí)的重要活動(dòng)依托.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；方程；等量關(guān)系

據(jù)考古發(fā)現(xiàn)，早在三千六百年前，古埃及人就開始涉獵方程問題，而我國的“九章算術(shù)”以及“天元術(shù)”等也都對(duì)方程問題進(jìn)行了詳盡的論述和解說. 可見，方程問題對(duì)于解決人們的現(xiàn)實(shí)生活難題至關(guān)重要. 其實(shí)，大多數(shù)實(shí)際問題并非總有現(xiàn)成的公式或經(jīng)論證過的定理可供直接套用，在多數(shù)情況下，實(shí)際問題總是會(huì)存在一個(gè)或者多個(gè)的未知量，這就需要靠列方程來解答，通過正確設(shè)定未知數(shù)，根據(jù)題目中顯現(xiàn)或隱藏的等量關(guān)系列出正確的關(guān)系式，便能使問題迎刃而解. 而根據(jù)數(shù)學(xué)術(shù)語，方程指的是“含有未知數(shù)的等式”，所以，初中數(shù)學(xué)方程應(yīng)用題解題的核心線索不在于未知數(shù)的設(shè)定，而在于“等式”兩個(gè)字之中，即等量關(guān)系的尋找. 只要等量關(guān)系確定，未知數(shù)也會(huì)自動(dòng)“浮出水面”. 而初中數(shù)學(xué)的方程應(yīng)用題已經(jīng)具備一定的邏輯性和結(jié)構(gòu)性，直接套用公式的情況慢慢減少，靠學(xué)生自己尋找等量關(guān)系的題型不斷增加.

數(shù)學(xué)規(guī)律：直接的引用源

數(shù)學(xué)規(guī)律是經(jīng)證實(shí)的、可直接利用的現(xiàn)成結(jié)論，很多實(shí)際問題都包含著特定的數(shù)學(xué)結(jié)論可尋，如路程問題、工程問題、面積公式、體積公式等，而初中數(shù)學(xué)又是經(jīng)過了六年小學(xué)歷練而來，學(xué)生本身就積累了很多可供直接引用的公式和技巧，所以，初中數(shù)學(xué)等量關(guān)系的尋找應(yīng)當(dāng)首先考慮實(shí)際問題中是否存在這些現(xiàn)成的數(shù)量關(guān)系以及數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)或規(guī)律.

1. 公式的直接引用

利用現(xiàn)成的公式來確定題目的等量關(guān)系式，是最為簡(jiǎn)便，也最為簡(jiǎn)單的方法之一，初中數(shù)學(xué)方程應(yīng)用題的解題應(yīng)當(dāng)重視這種基本解題方法的掌握.

例1 國慶節(jié)那天，逸軒和幾個(gè)同學(xué)來到一家飲料店交流國慶節(jié)的日程安排. 已知飲料店中蘋果汁比奶茶便宜2元，逸軒和他的幾位同學(xué)共點(diǎn)了3杯蘋果汁和5杯奶茶，共花了58元. 你能分別算出飲料店蘋果汁和奶茶的單價(jià)嗎？

分析 題目雖然說了一大堆內(nèi)容，但有用的信息是后面的幾句話. 題目談及飲料的價(jià)錢以及購買的數(shù)量，并告訴學(xué)生共花了58元，由此，學(xué)生可判定本題可利用公式“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”進(jìn)行解答，并根據(jù)這個(gè)基本公式確定了本題的等量關(guān)系為：3杯蘋果汁×蘋果汁的單價(jià)+5杯奶茶×奶茶的單價(jià)=58元.

解答 設(shè)蘋果汁的單價(jià)為x元，則奶茶的單價(jià)為（x+2）元. 根據(jù)題意，可得：

3x+5（x+2）=58

8x=48

x=6

x+2=8

所以，蘋果汁的單價(jià)為6元，奶茶的單價(jià)為8元.

2. 經(jīng)驗(yàn)的遷移轉(zhuǎn)化

初中生經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，肯定已經(jīng)積累并具備了各種解題經(jīng)驗(yàn)，而且對(duì)于一些數(shù)學(xué)規(guī)律也有一個(gè)基本的認(rèn)知，所以，初中生在解決方程問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地讓這些經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)從腦海中返回并遷移到實(shí)際情境中，為等量關(guān)系的確定添翼.

如學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“用方程解決實(shí)際問題”時(shí)，有如下一道題：

例2 小明從爸爸的公司拿來一個(gè)日歷，小明隨意翻開其中的一個(gè)月，發(fā)現(xiàn)其中相鄰的三個(gè)數(shù)之和為39，試問小明發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)數(shù)是多少.

分析 日歷是學(xué)生生活中常見的東西，學(xué)生必然對(duì)此有一定的了解和印象，基本能夠利用經(jīng)驗(yàn)看懂日歷的結(jié)構(gòu). 從已知條件的“一個(gè)月”學(xué)生便能聯(lián)想到“天數(shù)是逐一增加的”的隱形條件，再結(jié)合“小明所發(fā)現(xiàn)的三個(gè)天數(shù)是相鄰的”以及“它們之和為39”，學(xué)生便可以判斷：這三個(gè)天數(shù)相加的和為39，因而得出本題的等量關(guān)系式. 關(guān)系式“第一個(gè)數(shù)+第二個(gè)數(shù)+第三個(gè)數(shù)=39”確定后，學(xué)生便可根據(jù)所求問題“求第一個(gè)數(shù)”，將所要求的“第一個(gè)數(shù)”設(shè)為未知數(shù).

解答 設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則第二個(gè)數(shù)為x+1，第三個(gè)數(shù)為x+2. 根據(jù)題意可得：

x+（x+1）+（x+2）=39

3x+3=39

3x=36

x=12

所以小明發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)數(shù)為12.

數(shù)形結(jié)合：有效的直觀術(shù)

數(shù)形結(jié)合能夠?qū)⒊橄?、難懂且邏輯性強(qiáng)的代數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)化為學(xué)生容易理解的具體、形象或直觀的幾何圖象或現(xiàn)實(shí)模型，由此增強(qiáng)學(xué)生的理解能力. 實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生分析實(shí)際問題、找出正確關(guān)系式的最有效方法，所以，初中數(shù)學(xué)方程應(yīng)用題的教學(xué)應(yīng)當(dāng)積極幫助學(xué)生利用自己的美術(shù)能力和素養(yǎng)，將美術(shù)課程與初中數(shù)學(xué)完美整合，通過畫線段圖、畫簡(jiǎn)圖以及直接欣賞、觀察實(shí)物模型等來獲取對(duì)實(shí)際問題的直觀認(rèn)識(shí)，從而確定方程問題的等量關(guān)系式.

例3 操場(chǎng)上有一個(gè)環(huán)形跑道，長400米，甲、乙兩人為了參加體育比賽，一起到這里進(jìn)行跑步訓(xùn)練，已知甲平均每秒跑8米，乙平均每秒跑6米，兩人相距20米（甲在乙前面），甲、乙兩人同時(shí)同向出發(fā)，你能求出兩人首次相遇的時(shí)間嗎？

分析 經(jīng)過分析，學(xué)生雖然能夠發(fā)現(xiàn)本題所隱含的公式“速度×?xí)r間=路程”就是本題所要確定的等量關(guān)系式，但卻無法根據(jù)題意直接得出具體的關(guān)系式，因?yàn)轭}目中的條件太多. 所以，要快速且準(zhǔn)確地列出本題的等量關(guān)系式，最好的途徑就是通過畫簡(jiǎn)圖的形式，即將環(huán)形跑道抽象為一個(gè)長為400米的圓形曲線，具體如圖1所示.

解答 根據(jù)圖1可知，假設(shè)兩者還未出發(fā)，因?yàn)榧自谝业那懊?，所以甲要追上乙所需多行的路程為?00-20）的整數(shù)倍米，而根據(jù)題意可知，甲比乙的速度快（8-6）米，所以，如果假設(shè)兩者首次相遇的時(shí)間為x秒，那么根據(jù)圖1所示，甲所走的路程一定是比乙所走的路程多（400-20）米，由此可得出等量關(guān)系式：8x-6x=400-20，解得x=190，所以兩者第一次相遇的時(shí)間應(yīng)當(dāng)是共同走190秒.

解題實(shí)踐：豐富的來源地

諸如“實(shí)踐出真知”“實(shí)踐是認(rèn)識(shí)的階梯”等真理性言論已屢見不鮮，對(duì)于初中數(shù)學(xué)方程應(yīng)用題的等量關(guān)系認(rèn)知，也是如此. 如果沒有足夠的解題實(shí)踐，縱使初中生對(duì)等量關(guān)系的確定方法滾瓜爛熟，也只是紙上談兵，當(dāng)其真正投入解題實(shí)踐時(shí)，只會(huì)處處碰壁. 因此，初中數(shù)學(xué)教師要把解題實(shí)踐放在培養(yǎng)學(xué)生正確尋找等量關(guān)系的核心位置上，通過引導(dǎo)學(xué)生的解題實(shí)踐，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到關(guān)鍵詞、不變量、隱蔽條件、事理關(guān)系、參數(shù)等種種等量關(guān)系確定的情況，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題思維.

例4 某公司現(xiàn)有一批零件需要加工，分別交給甲、乙、丙三個(gè)人負(fù)責(zé)，已知甲單獨(dú)做了6個(gè)小時(shí)后，又與乙一起工作了2個(gè)小時(shí)，之后再和丙一起工作了4個(gè)小時(shí)，最后還剩50個(gè)零件沒有加工. 如果丙和甲每小時(shí)的工作量相同，甲每小時(shí)比乙多加工4個(gè)零件，且這批零件的總數(shù)為500個(gè)，問甲每小時(shí)加工多少個(gè)零件.

分析 這是典型的“工作量計(jì)算問題”，始終圍繞公式“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”進(jìn)行變形，而且，如果學(xué)生對(duì)這種題型有一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)就會(huì)知道，在這種題型中，工作總量是一個(gè)“不變量”，通常的算法是將所有的部分工作量加起來等于總量來確定題目的等量關(guān)系式. 如此題，就是要把“甲單獨(dú)做的工作量”“甲與乙合作的工作量”和“甲和丙合作的工作量”進(jìn)行相加，便會(huì)得到“總量500-剩余量50”這個(gè)基本的等量關(guān)系，而根據(jù)題目所示，直接設(shè)定乙的工作效率為未知數(shù)即可快速求出答案.

總之，方程應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域的重要一環(huán)，也是學(xué)生利用已學(xué)的基本數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思維等“墨水”，分析和解決實(shí)際生活問題的關(guān)鍵途徑. 而等量關(guān)系是方程應(yīng)用題解題的核心線索，如果學(xué)生不能正確地找出一道題的等量關(guān)系，那么，即使其智力再高，也無法快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行求解. 因此，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)方程應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)當(dāng)將等量關(guān)系的尋找作為核心和基礎(chǔ)地位來看待，應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題實(shí)踐，利用基本數(shù)學(xué)規(guī)律，并進(jìn)行巧妙的數(shù)形結(jié)合，來不斷訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生尋求等量關(guān)系的數(shù)學(xué)思維.