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    淺談如何運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解題

    2014-03-17 05:06:32周偉
    關(guān)鍵詞:解釋拓展問(wèn)題情境

    周偉

    [摘 要] 建模思想在中考數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要作用,只有充分掌握第一手資料,了解問(wèn)題的實(shí)際背景知識(shí),用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言提煉、描述表達(dá),然后建立數(shù)學(xué)模型,求解、驗(yàn)證、分析,才能解決實(shí)際問(wèn)題.

    [關(guān)鍵詞] 問(wèn)題情境;建立模型;解釋;應(yīng)用;拓展

    數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出:初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容,采用“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程,從而更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí). “數(shù)學(xué)建模”,一是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求,二是數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的體現(xiàn),是“應(yīng)用—拓展”的前提,所以,初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)特別重視學(xué)生建模能力的培養(yǎng). 學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng),應(yīng)注意把握逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則,并貫穿學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程.

    數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

    數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的原理、方法、語(yǔ)言解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,數(shù)學(xué)建模的過(guò)程主要包括4個(gè)環(huán)節(jié):

    (1)問(wèn)題分析:了解問(wèn)題的實(shí)際背景材料,分析并找出問(wèn)題的本質(zhì).

    (2)假設(shè)化簡(jiǎn):確定影響研究對(duì)象的主要因素,忽略次要因素,以便簡(jiǎn)化問(wèn)題,并進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和抓住問(wèn)題的本質(zhì).

    (3)建模求解:根據(jù)分析建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,并用數(shù)學(xué)方法或計(jì)算機(jī)程序(軟件包)對(duì)模型進(jìn)行求解.

    (4)驗(yàn)證修改:檢驗(yàn)?zāi)P褪欠穹蠈?shí)際,并對(duì)它做出解釋,最后將它應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)、生活中,產(chǎn)生社會(huì)效益或經(jīng)濟(jì)效益.

    需要注意的是,數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題往往不是一個(gè)單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題,它往往涉及其他學(xué)科知識(shí)以及生活知識(shí). 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是一個(gè)多學(xué)科的合作過(guò)程,它促使學(xué)生融會(huì)貫通各門課程中學(xué)到的知識(shí);促使學(xué)生根據(jù)需要查閱資料、獲取知識(shí);促使學(xué)生圍繞問(wèn)題收集信息,深化對(duì)問(wèn)題的了解,并在此基礎(chǔ)上解決問(wèn)題. 數(shù)學(xué)建模還可以培養(yǎng)學(xué)生推演、探索、猜想、計(jì)算,以及使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等的能力.

    建模解題的案例分析

    數(shù)學(xué)模型大致可分為三種類型,其中的一種是應(yīng)用型數(shù)學(xué)模型,它涉及面廣、數(shù)量眾多,對(duì)科學(xué)的發(fā)展起著直接的作用,既是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的關(guān)鍵,又是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的源泉. 構(gòu)造這種模型需具有相當(dāng)廣度和深度的數(shù)學(xué)修養(yǎng),以及對(duì)實(shí)際問(wèn)題的透徹認(rèn)識(shí). 應(yīng)用型數(shù)學(xué)模型又可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)兩類. 屬于物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如天體運(yùn)行模型等,經(jīng)常見(jiàn)到,而屬于非物理系統(tǒng)的模型則如社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、心理等問(wèn)題.

    數(shù)學(xué)建模的宣傳語(yǔ)是:數(shù)學(xué)無(wú)所不在、無(wú)所不能. 具備數(shù)學(xué)修養(yǎng)的學(xué)生會(huì)在現(xiàn)實(shí)生活中不斷地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題,并利用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題. 以下的實(shí)例就是一個(gè)典型的通過(guò)建立“數(shù)學(xué)模型”解決問(wèn)題的典例.

    例題?搖 一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31 km,現(xiàn)要求:在一邊長(zhǎng)為30 km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn),每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這樣的轉(zhuǎn)發(fā)裝置,使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市.

    (1)能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn),使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)要求?

    (2)至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn),才能使這些安裝點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)要求?

    答題要求:請(qǐng)?jiān)诮獯饡r(shí)畫出必要的示意圖,并用必要的計(jì)算推理和文字來(lái)說(shuō)明你的理由.

    分析?搖 抓住覆蓋建模. 覆蓋在這里指一個(gè)圓或多個(gè)圓對(duì)其他圖形不遺漏但可以重復(fù)地遮蓋住. 就(1)而言,可以設(shè)想把正方形平均分成4個(gè)面積相等的小正方形,如圖1所示,AE=15 km<31 km,所以4個(gè)點(diǎn)選在4個(gè)小正方形的中心即可;又想,如圖2所示,連結(jié)2條對(duì)角線,把正方形分成4個(gè)全等的等腰直角三角形,4個(gè)點(diǎn)選在直角三角形斜邊的中點(diǎn)(即正方形各邊中點(diǎn));由此想象生發(fā)開去,過(guò)正方形中心的2條相互垂直的直線可以把正方形的面積4等分,如圖3所示,A,B,C,D四點(diǎn)共圓,且點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離不大于30 km,4個(gè)點(diǎn)選在每個(gè)任意小四邊形非直角頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)處,這樣就有無(wú)窮多個(gè)答案;還有一類,如圖4所示,把正方形的面積分成4個(gè)全等的小矩形,4個(gè)點(diǎn)選在矩形中心,理由是直徑為31 km的圓蓋住的長(zhǎng)為30 km的矩形的最大寬為 km,×4>30.

    對(duì)于(2),1個(gè)點(diǎn)不行,如圖5所示,理由是直徑為31 km的圓蓋住的長(zhǎng)為30 km的矩形的最大寬為 km. 那2個(gè)點(diǎn)呢?也不行,如圖6所示,理由是直徑為31 km的2個(gè)相交圓蓋住的長(zhǎng)為30 km的矩形的最大面積為(30×)×2. 那3個(gè)點(diǎn)呢?可以. 如圖7所示,先用直徑為31 km的1個(gè)圓蓋住30×的矩形,然后再把剩下的矩形分成2個(gè)近似正方形的矩形,3個(gè)點(diǎn)選在3個(gè)矩形的中心;由此想象生發(fā)開去,如圖8所示,使BE=DG=CG,3個(gè)點(diǎn)選在3個(gè)矩形的中心,設(shè)AE=x,則ED=30-x,DH=15. 由BE=DG得x2+302=152+(30-x)2,解得x=3.75,因?yàn)锽E=< 31,所以此方法可實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)要求. 由上可知,要實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)要求,至少需要3個(gè)點(diǎn).

    點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)而求解的能力,考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的意識(shí)和能力,側(cè)重于對(duì)過(guò)程性閱讀和探究能力的考查,讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題理解、探究、發(fā)展的一般過(guò)程,獲得研究問(wèn)題的方法,關(guān)注學(xué)生類比、猜想、拓廣的思維方法的形成過(guò)程,注重對(duì)學(xué)習(xí)方式的引導(dǎo).

    數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)對(duì)于學(xué)習(xí)解題方法具有積極作用. 在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于應(yīng)試的壓力,解題教學(xué)往往側(cè)重于“解”本身而不在于“學(xué)解”,也就是題海戰(zhàn)術(shù). 對(duì)于大量的練習(xí),學(xué)生學(xué)會(huì)了很多種類型題的解法,但一旦遇到新類型的題目,還是不會(huì)“解”,而這些會(huì)解的題目在今后的生活和工作中也基本無(wú)用. 所以解題教學(xué)的關(guān)鍵是“學(xué)解”,重“質(zhì)”而不是重“量”.

    在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中,由于現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題千變?nèi)f化,隨著時(shí)間的變化,會(huì)有不停的新問(wèn)題出現(xiàn),沒(méi)有人能夠把所有問(wèn)題都總結(jié)下來(lái),讓學(xué)生去練習(xí),所以題海戰(zhàn)術(shù)此時(shí)就失效了,學(xué)生只能從數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的第一步開始,仔細(xì)分析問(wèn)題(弄清問(wèn)題),獨(dú)立思考并發(fā)揮創(chuàng)新思維建立模型(制訂計(jì)劃),使用合適的方法解答(執(zhí)行計(jì)劃),在驗(yàn)證環(huán)節(jié)中,還必須對(duì)建立的模型和解答做進(jìn)一步驗(yàn)證和反思(回顧). 這樣的過(guò)程會(huì)在無(wú)形中“逼迫”學(xué)生使用正確的解題方法.

    良好的解題能力對(duì)于數(shù)學(xué)建模具有事半功倍的作用. 當(dāng)你學(xué)會(huì)使用正確的解題方法,擁有組織良好、數(shù)量龐大的知識(shí)體系以及思維體系時(shí),就能擁有良好的解題能力. 遇到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立模型時(shí),也不需要處處都創(chuàng)新,畢竟前人的經(jīng)驗(yàn)對(duì)我們來(lái)說(shuō)成本低廉,且使用這些成本低廉的經(jīng)驗(yàn)?zāi)芷鸬绞掳牍Ρ兜男Ч?

    數(shù)學(xué)建模解題的幾點(diǎn)要求

    1. 理解實(shí)質(zhì),注意變式. 要抓住模型的組成結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、特征,摒除本質(zhì)以外的東西,特別要抓住幾何中大量的基本定理、公式模型.

    2. 加強(qiáng)比較,注重聯(lián)系. 模型之間有區(qū)別,條件圖形的絲毫改變都可能涉及模型的改變,有時(shí),一個(gè)題目往往是多個(gè)模型的綜合運(yùn)用,這就要求我們既狠抓基礎(chǔ),又多練綜合題.

    3. 歸納總結(jié),提煉模型. 模型不只在書本上,更多的是我們?cè)诰毩?xí)中歸納總結(jié)的. 對(duì)于平時(shí)練習(xí)中的重要結(jié)論、規(guī)律,要注意將其提煉成一個(gè)模型.

    對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的看法和意見(jiàn)

    1. 數(shù)學(xué)建模作業(yè)的評(píng)價(jià)以創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效性等幾個(gè)方面作為標(biāo)準(zhǔn),對(duì)建模的要求不可太高.

    2. 數(shù)學(xué)建模問(wèn)題難易應(yīng)適中,千萬(wàn)不要實(shí)施一些脫離中學(xué)生實(shí)際的建模教學(xué),題目的難度以“跳一跳可以把果子摘下來(lái)”為度.

    3. 建模教學(xué)應(yīng)涉及高考應(yīng)用題. 鑒于當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際,保持一定比例的高考應(yīng)用問(wèn)題是必要的,這樣有助于調(diào)動(dòng)師生參與建模教學(xué)的積極性,促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展.

    4. 建議中學(xué)數(shù)學(xué)教師繼續(xù)開設(shè)“數(shù)學(xué)模型”課程,師范類高等院校專業(yè)有必要把“數(shù)學(xué)模型”列為必修課程. 中學(xué)教師只有通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究,才能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的深度和難度,以更好地推動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展.

    建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用的橋梁,學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)模型對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力非常重要,亦是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一,為此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視從實(shí)際問(wèn)題中引出新概念、新知識(shí),并注意培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力、豐富的想象力、創(chuàng)造性的思維能力,及抽象、分析、歸納、綜合的能力,使學(xué)生多方面、全方位地感受數(shù)學(xué)建模思想,了解數(shù)學(xué)建模的思維過(guò)程,逐漸理解和掌握數(shù)學(xué)建模的方法,以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

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