合理定位 整合重組 建立標(biāo)準(zhǔn)

賈春波

[摘 要] 三角形穩(wěn)定性的教學(xué)一直困擾著眾多的數(shù)學(xué)教師，面對困境大家也是眾說紛紜，爭論不止. 如何解決教學(xué)中存在的問題，消除學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)帶來的副作用，幫助學(xué)生建立正確的三角形穩(wěn)定性的概念呢？筆者從多方面分析了出現(xiàn)此類現(xiàn)象的原因，并提出了幾點(diǎn)思考.

[關(guān)鍵詞] 三角形穩(wěn)定性；合理定位；理解含義；整合重組；建立標(biāo)準(zhǔn)

問題緣由

近日，筆者有幸參加浙江小學(xué)數(shù)學(xué)教研員風(fēng)采展示活動(dòng)，其中一位教師執(zhí)教的“三角形認(rèn)識(shí)”一課，對“三角形穩(wěn)定性”的處理引起全場的大爭論.

爭論一：“三角形穩(wěn)定性”目標(biāo)的定位，即“三角形穩(wěn)定性”是本節(jié)課的重、難點(diǎn)還是一般了解性知識(shí). 前者認(rèn)為，要讓學(xué)生真正理解三角形的穩(wěn)定性，必須讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本義上的穩(wěn)定性. 后者認(rèn)為，“三角形認(rèn)識(shí)”一課包括三角形的概念、三角形的穩(wěn)定性和三角形高的認(rèn)識(shí)，以及作高的方法等，三角形的穩(wěn)定性作為三角形認(rèn)識(shí)眾多內(nèi)容中的一個(gè)，聯(lián)系前后教材，認(rèn)為三角形的穩(wěn)定性沒有必要花很長時(shí)間去研究和體驗(yàn)，只需按教材中提供的“拉一拉”來認(rèn)識(shí)一下就行了.

爭議二：認(rèn)識(shí)三角形穩(wěn)定性的“方式”，即通過直觀“拉一拉，會(huì)不會(huì)引起變形”還是從“圖形的唯一性、確定性”中去理解.

爭論三：如何“解釋”由學(xué)生的“生活經(jīng)驗(yàn)”對三角形穩(wěn)定性帶來的認(rèn)識(shí)誤差. 如紅領(lǐng)巾拉得動(dòng)，不具備穩(wěn)定性，因此三角形也不具備穩(wěn)定性；樓梯扶手中的平行四邊形拉不動(dòng)，因此平行四邊形也具有穩(wěn)定性等.

對于前兩個(gè)爭議，大會(huì)主持人現(xiàn)場采樣，支持兩種觀點(diǎn)的人數(shù)均不相上下，對于爭論三，在場的眾位專家對此也無定論.

實(shí)踐誤區(qū)

通過對數(shù)學(xué)教師和五、六年級學(xué)生的測查、訪談發(fā)現(xiàn)，多數(shù)師生對三角形穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)處在非常淺的層次（數(shù)學(xué)教師能夠清楚知道三角形穩(wěn)定性的可以說是鳳毛麟角），在教學(xué)中易出現(xiàn)三方面的誤區(qū).

誤區(qū)一：“三角形”與“三角形物體”混為一談

我們研究的是幾何意義上的三角形，然而學(xué)生面對的“紅領(lǐng)巾”“自行車架”等都是三角形的物體，錯(cuò)將“三角形圖形”與“三角形物體”混為一談. 這樣的結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生容易做出錯(cuò)誤的推理. 他們認(rèn)為，因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，所以所有三角形的物體都具有（物理意義上的）穩(wěn)定性. 四邊形容易變形，所以所有材料構(gòu)成的四邊形物體不具備（物理意義上的）穩(wěn)定性. 有些人則能舉出其中的個(gè)別反例，如“紅領(lǐng)巾問題”，紅領(lǐng)巾（的結(jié)構(gòu)）是三角形，它一拉就會(huì)變形，所以三角形不具備穩(wěn)定性；焊死的自行車架（的結(jié)構(gòu)）是四邊形，它拉不動(dòng)，不會(huì)變形，因此它也具有穩(wěn)定性. 從這個(gè)角度看，教材中關(guān)于三角形穩(wěn)定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑，也易使學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的推理，造成認(rèn)識(shí)上的矛盾.

誤區(qū)二：將生活中物理意義上的“穩(wěn)定”與幾何意義上的“穩(wěn)定”混為一談

訪談中一個(gè)學(xué)生對“穩(wěn)定性”的解釋是：“人兩腳站在地面上可以站住，是穩(wěn)定的，而單腳站，人卻會(huì)搖來搖去，不穩(wěn)定”，顯然此“穩(wěn)定”并非三角形穩(wěn)定性之“穩(wěn)定”. 由于學(xué)生以生活概念中的“穩(wěn)定”來理解數(shù)學(xué)意義上的“穩(wěn)定”，所以出現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的誤差也是必然現(xiàn)象. 因此，有教師另辟蹊徑，試圖讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本義上的穩(wěn)定性以消除生活經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移.

誤區(qū)三：以“拉不拉得動(dòng)”為標(biāo)準(zhǔn)，判斷圖形是否具有穩(wěn)定性

從多數(shù)師生的反饋文字中可以看出，他們是以“是否拉得動(dòng)”為標(biāo)準(zhǔn)來判定多邊形是否具有穩(wěn)定性. 他們把操作活動(dòng)注意點(diǎn)集中在了“是否拉得動(dòng)”的節(jié)點(diǎn)上. 教學(xué)時(shí)教師讓學(xué)生自己用木條連接成一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，然后拉一拉，發(fā)現(xiàn)三角形拉不動(dòng)而平行四邊形拉得動(dòng)，由此判定三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形拉得動(dòng)，容易變形，因此認(rèn)為四邊形不具有穩(wěn)定性. “拉得動(dòng)、拉不動(dòng)”的標(biāo)準(zhǔn)也是使學(xué)生形成錯(cuò)誤邏輯的重要因素之一，由此可見，這樣的判斷標(biāo)準(zhǔn)是“不合適的”.

關(guān)于幾何意義和物理意義對三

角形穩(wěn)定性各自的解釋

在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師對三角形穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)大多來自教材和教學(xué)參考書，有些觀點(diǎn)甚至是不正確的，如一個(gè)數(shù)學(xué)教師認(rèn)為，三角形承受的力比四邊形的力要大，因此認(rèn)為三角形有穩(wěn)定性；另一教師認(rèn)為，三角形的三邊不可變形，也就是三角形的穩(wěn)定性等. 由此可見，數(shù)學(xué)教師自身對三角形穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)的缺失是造成眾多誤區(qū)的重要因素.

到底什么是三角形的穩(wěn)定性？幾何學(xué)對三角形的定義是“由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形”，在此基礎(chǔ)上再對三角形穩(wěn)定性的定義是“當(dāng)三角形三條邊的‘長短固定后，這個(gè)三角形的形狀、大小也就固定了”. 而四邊形、五邊形等其他多邊形的邊的長短固定后，其形狀、大小不能確定，它們不具備穩(wěn)定性.

三角形物理意義上的穩(wěn)定性：如圖1，把3根木條（或其他材料）擺成一個(gè)三角形ABC，然后把3個(gè)重疊處鉚接（或捆扎）起來，此時(shí)，即使用較大的力試圖改變這個(gè)“木條三角形” 的形狀也不可能——除非力大到能破壞木條的程度.

為什么采用同樣的材料、用同一種方式制成的三角形物體比其他多邊形物體更具（物理意義）穩(wěn)定性呢？如圖1，如果把任意方向的、不太大的力F加在某一根木條（如AC）上，顯然三角形是穩(wěn)定的，這是因?yàn)镕只能使AC產(chǎn)生較小的形變而維持三角形ABC的大體形狀，只有當(dāng)很大的F才會(huì)使AC斷裂，這就是說，此時(shí)三角形是穩(wěn)定的. 如果把不太大的力F加在三角形ABC的任意一個(gè)頂點(diǎn)（如A）上，F(xiàn)會(huì)沿著木條AB和AC按平行四邊形法則分解為F和F，且分別沿AB和AC方向作用于AB和AC. 而我們知道，“立木承千斤”——AB和AC都不會(huì)因“彎腰”而破壞三角形ABC的大體形狀，也就是說，此時(shí)的三角形也是穩(wěn)定的.

但把4根木條也“如法炮制”時(shí)（如圖2），會(huì)發(fā)現(xiàn)，用較小的力就能改變這個(gè)“木條四邊形”的形狀. 類似地，其他數(shù)目的木條鉚接成的多邊形，形狀也會(huì)被輕而易舉地改變，變成其他形狀的多邊形.endprint

研究表明，正是因?yàn)椤叭切稳叺拈L度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定”這一幾何意義上的穩(wěn)定性，使得具有三角形結(jié)構(gòu)的物體有了物理意義上的穩(wěn)定性，而其他任何多邊形在“同等條件”都不具有類似的穩(wěn)定性. 但這種幾何意義上的穩(wěn)定性能被四年級學(xué)生所理解和接受嗎？教材放進(jìn)這個(gè)內(nèi)容的目的是什么呢？它是怎樣把三角形穩(wěn)定性這個(gè)抽象數(shù)學(xué)意義轉(zhuǎn)變成教育意義的呢？

各種版本對三角形穩(wěn)定性的處

理分析

通過分析各種教材（蘇教版、北師大版、青島版、新數(shù)學(xué)讀本、西南師大版、人教版、臺(tái)灣2007年國小教本等七種教材，其中臺(tái)灣國小沒有涉及三角形的穩(wěn)定性），發(fā)現(xiàn)對“三角形的穩(wěn)定性”處理有共性的地方：都把它安排在四年級下冊. 編寫意圖是因?yàn)榉€(wěn)定性是三角形的重要特性，在生活中有著廣泛的應(yīng)用，對它進(jìn)行教學(xué)可以讓學(xué)生對三角形有更為全面和深入的認(rèn)識(shí)，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神和實(shí)踐能力. 各版本教材對這一內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路大多采用“情境、問題——實(shí)驗(yàn)、解釋——特性、應(yīng)用”的方式呈現(xiàn)，都強(qiáng)調(diào)實(shí)際操作“拉一拉四邊形架和三角形架”，及結(jié)果的對比，即四邊形能拉動(dòng)，會(huì)變形，而三角形卻拉不動(dòng)，具有穩(wěn)定性.

這些版本最大的不同是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)和對穩(wěn)定性內(nèi)涵所涉及深淺的不同. 只有蘇教版教材中出現(xiàn)了幾何意義上的穩(wěn)定性——“為什么生活中許多的物體都具有三角形的結(jié)構(gòu)？這是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，也就是當(dāng)一個(gè)三角形三條邊的長度確定后，這個(gè)三角形的形狀和大小就不會(huì)改變”；西南師大版、北師大版、新數(shù)學(xué)讀本等出現(xiàn)的信息在提示學(xué)生關(guān)注“拉后”是否“變形”節(jié)點(diǎn)；青島版、人教版出現(xiàn)的信息則暗示學(xué)生注意在“拉不拉得動(dòng)”的節(jié)點(diǎn)上.

人教版初中教材與小學(xué)教材一樣，采用了“扭動(dòng)”三角形木架不會(huì)改變，而四邊形木架的形狀會(huì)改變，由此說明三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)定性. 但在教材解讀中出現(xiàn)了較為明確的幾何意義上的三角形穩(wěn)定性：扭動(dòng)三角形木架，它的形狀不會(huì)改變，也就說，三角形的三條邊長確定后，三角形的形狀就確定了. 扭動(dòng)四邊形木架，它的形狀會(huì)改變，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定其形狀，它的各個(gè)角的大小會(huì)改變.

分析各版本得知，“操作‘拉、比較結(jié)果”是目前各教材都采用的方法，這種方式可把幾何意義上的抽象的三角形穩(wěn)定性“可視化、直觀化”，這會(huì)給學(xué)生留下深刻的記憶，這從多數(shù)學(xué)生的訪談中得到了佐證，多數(shù)學(xué)生是以這個(gè)活動(dòng)為記憶信息記住了或回憶起三角形穩(wěn)定性的，解釋時(shí)也用到了這種現(xiàn)象. 問題是，如果只是單純地操作、對比一通，所帶來的副作用也是顯而易見的，所以我們所要做的是消除一些不利因素. 那如何在學(xué)生思維的“具體、形象”與數(shù)學(xué)自身的“抽象、形式”之間找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)呢？

思考與教學(xué)建議

1. 目標(biāo)應(yīng)合理定位

（1）三角形穩(wěn)定性在課時(shí)目標(biāo)中的定位：不應(yīng)把它作為“三角形認(rèn)識(shí)”一課中的重點(diǎn)來教學(xué)，而應(yīng)作為一般的了解性知識(shí)來處理，這是比較合理的. 以人教版為例，整個(gè)單元分為四大塊，即三角形的特性、三角形的分類、三角形內(nèi)角和和圖形的拼組，而三角形的特性又包括三角形的定義、三角形各部分的名稱、三角形的穩(wěn)定性、三角形任意兩邊之和大于第三邊等內(nèi)容. 從下表可以看出，“三角形認(rèn)識(shí)”的第一課時(shí)（一般以例1和例2為第一課時(shí)）內(nèi)容多，時(shí)間緊，難點(diǎn)難以突破. 從其他版本對三角形呈現(xiàn)的信息和教材參考中提供的分析也可以看出，對三角形穩(wěn)定性目標(biāo)定位并沒有“濃墨重彩”，再則，七年級上冊（人教版）對三角形穩(wěn)定性將專門用一個(gè)課時(shí)加以研究，因此把“三角形穩(wěn)定性”定位為了解性的知識(shí)、作為三角形認(rèn)識(shí)的次要目標(biāo)也是恰當(dāng)?shù)?

（2）對于三角形穩(wěn)定性認(rèn)識(shí)程度上的定位，筆者以為，介于以上的分析及教學(xué)后的情況看，應(yīng)讓學(xué)生初步了解幾何意義上的“穩(wěn)定性”，并以此作為對“拉”的補(bǔ)充認(rèn)識(shí)，避免或減少學(xué)生引起認(rèn)識(shí)上的矛盾.

2. 整合重組

（1）內(nèi)容整合. 如何在40分鐘內(nèi)完成教學(xué)內(nèi)容，達(dá)成課時(shí)目標(biāo)呢？一般的教學(xué)是把三大塊內(nèi)容：三角形的概念和各部分內(nèi)容、三角形穩(wěn)定性和三角形的高單獨(dú)分割開進(jìn)行獨(dú)立教學(xué). 如果把三角形概念的認(rèn)識(shí)與三角形穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)相互整合在同一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，那就可以節(jié)省不少的教學(xué)時(shí)間，為學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解幾何意義上的穩(wěn)定性剔除生活經(jīng)驗(yàn)的副作用創(chuàng)造條件.

（2）認(rèn)識(shí)方式上的整合——溝通抽象意義與直觀操作之間的聯(lián)系. 首先用“擺”的活動(dòng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角形在三條邊長確定后，它的形狀大小也就確定了，而四邊形的形狀、大小卻不相同. 在此基礎(chǔ)上，通過“拉”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“形狀、大小是否發(fā)生改變”，并結(jié)合生活實(shí)例讓學(xué)生感悟物理意義上的穩(wěn)固性，把兩種意義上的穩(wěn)定性通過引導(dǎo)有機(jī)地結(jié)合起來.

3. 提出“穩(wěn)定性”與“穩(wěn)固性”兩個(gè)概念

在教學(xué)中明確提出“穩(wěn)定性”與“穩(wěn)固性”兩個(gè)概念，以區(qū)別不同的屬性，即抽象的幾何意義與物理意義. 這樣一來，可把幾何意義的穩(wěn)定性注意點(diǎn)引到“不變”，把物理意義上穩(wěn)定性的注意點(diǎn)引到“牢固”的程度，就能較好地解決只用“穩(wěn)定性”一個(gè)詞所帶來的副作用.

4. 正確理解“拉”的含義，建立正確的推理方向

扭動(dòng)三角木架或四邊形等多邊形木架的優(yōu)越性是顯而易見的，它能把抽象的三角形穩(wěn)定性知識(shí)“物化”，使學(xué)生看得見、摸得著，讓學(xué)生在觀察與操作實(shí)踐中建立形象，形成表象. 但操作活動(dòng)具有兩層含義：①它能直觀地顯示出幾何意義上“圖形的唯一性與多樣性”. 拉三角形，只有一種形狀的三角形，拉四邊形，在頂點(diǎn)不固定的情況下，利用頂點(diǎn)的扭動(dòng)，能直觀地顯示出全部的四邊形的樣子. ②物理意義上的穩(wěn)固性，拉三角形，沒有變形，說明牢固；拉其他的多邊形，易變成其他形狀的多邊形，比三角形不牢固. 由于教材的誤導(dǎo)、教師的錯(cuò)誤引導(dǎo)和學(xué)生頭腦中生活經(jīng)驗(yàn)的副作用，對操作活動(dòng)的認(rèn)識(shí)都集中到了物理意義上的穩(wěn)固性上.

在了解三角形幾何意義上的穩(wěn)定后，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立這樣的觀點(diǎn)：正是因?yàn)椤叭切稳叺拈L度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定”這一幾何意義上的穩(wěn)定性，使得具有三角形結(jié)構(gòu)的物體具有穩(wěn)固性，而其他任何多邊形在“同等條件”下都不具有類似的穩(wěn)固性. 然后，用“拉一拉”的活動(dòng)來體驗(yàn)“三角形的牢固性和不容易變形性”，以幫助學(xué)生建立正確的推理方向，但不能反過來推導(dǎo).

5. 建立“標(biāo)準(zhǔn)”，剔除生活經(jīng)驗(yàn)的副作用

（1）改變教材，建立正確的判斷標(biāo)準(zhǔn)

不能以“拉不拉得動(dòng)”或 “變不變形”為標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)把學(xué)生的“關(guān)注點(diǎn)”引導(dǎo)到“拉后，有沒有變成其他形狀的多邊形”. 如拉三角形后，它沒有變成其他形狀的三角形，因此說三角形的“形狀”具有穩(wěn)定性，而拉四邊形、五邊形等其他多邊形后卻變成了其他圖形的多邊形，因此不具有圖形的穩(wěn)定性，容易變形. 這樣就可以解釋，紅領(lǐng)巾的拉動(dòng)變形或用紙做成的三角形會(huì)拉得動(dòng)的情況了，因?yàn)檫@些拉動(dòng)或拉動(dòng)后，這些物體不再是三角形圖形了. 有沒有變成其他多邊形的“節(jié)點(diǎn)”在于觀察多邊形相鄰兩邊之間夾角的角度有沒有變化，因此建議教材（如人教版）也應(yīng)作出相應(yīng)的修改（如將“拉不動(dòng)”換成“不會(huì)變成其他形狀的三角形”）.

“‘拉后有沒有變成其他形狀的多邊形”，這樣的標(biāo)準(zhǔn)使得這種直觀的操作與抽象的幾何定義有了直接的溝通，使得抽象的幾何定義有了直觀的外顯形式，這樣就可以幫助學(xué)生建立正確意義上的表象.

（2）建立相同的操作標(biāo)準(zhǔn)——同樣的材料，同樣的制作方式

讓學(xué)生用同樣的材料、同樣的制作方式做出三角形、四邊形、五邊形、六邊形等進(jìn)行拉的活動(dòng)，然后教師要重點(diǎn)引導(dǎo)：剛才我們用同樣的材料、同樣的制作方式做出來的四邊形、五邊形、六邊形，輕輕地一拉就變成了其他形狀的四邊形、五邊形、六邊形，可見，這些圖形是容易改變其形狀的多邊形，而唯獨(dú)三角形不管從哪個(gè)方向上拉，形狀都不會(huì)發(fā)生改變，還是原來的三角形，這就是三角形的一個(gè)重要的特性——穩(wěn)定性.

追尋三角形穩(wěn)定性的教學(xué)之路，我們該做的還有很多，本文僅是“引玉”之磚，期待著更深刻、有效的研究.endprint

研究表明，正是因?yàn)椤叭切稳叺拈L度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定”這一幾何意義上的穩(wěn)定性，使得具有三角形結(jié)構(gòu)的物體有了物理意義上的穩(wěn)定性，而其他任何多邊形在“同等條件”都不具有類似的穩(wěn)定性. 但這種幾何意義上的穩(wěn)定性能被四年級學(xué)生所理解和接受嗎？教材放進(jìn)這個(gè)內(nèi)容的目的是什么呢？它是怎樣把三角形穩(wěn)定性這個(gè)抽象數(shù)學(xué)意義轉(zhuǎn)變成教育意義的呢？

各種版本對三角形穩(wěn)定性的處

理分析

通過分析各種教材（蘇教版、北師大版、青島版、新數(shù)學(xué)讀本、西南師大版、人教版、臺(tái)灣2007年國小教本等七種教材，其中臺(tái)灣國小沒有涉及三角形的穩(wěn)定性），發(fā)現(xiàn)對“三角形的穩(wěn)定性”處理有共性的地方：都把它安排在四年級下冊. 編寫意圖是因?yàn)榉€(wěn)定性是三角形的重要特性，在生活中有著廣泛的應(yīng)用，對它進(jìn)行教學(xué)可以讓學(xué)生對三角形有更為全面和深入的認(rèn)識(shí)，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神和實(shí)踐能力. 各版本教材對這一內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路大多采用“情境、問題——實(shí)驗(yàn)、解釋——特性、應(yīng)用”的方式呈現(xiàn)，都強(qiáng)調(diào)實(shí)際操作“拉一拉四邊形架和三角形架”，及結(jié)果的對比，即四邊形能拉動(dòng)，會(huì)變形，而三角形卻拉不動(dòng)，具有穩(wěn)定性.

這些版本最大的不同是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)和對穩(wěn)定性內(nèi)涵所涉及深淺的不同. 只有蘇教版教材中出現(xiàn)了幾何意義上的穩(wěn)定性——“為什么生活中許多的物體都具有三角形的結(jié)構(gòu)？這是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，也就是當(dāng)一個(gè)三角形三條邊的長度確定后，這個(gè)三角形的形狀和大小就不會(huì)改變”；西南師大版、北師大版、新數(shù)學(xué)讀本等出現(xiàn)的信息在提示學(xué)生關(guān)注“拉后”是否“變形”節(jié)點(diǎn)；青島版、人教版出現(xiàn)的信息則暗示學(xué)生注意在“拉不拉得動(dòng)”的節(jié)點(diǎn)上.

人教版初中教材與小學(xué)教材一樣，采用了“扭動(dòng)”三角形木架不會(huì)改變，而四邊形木架的形狀會(huì)改變，由此說明三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)定性. 但在教材解讀中出現(xiàn)了較為明確的幾何意義上的三角形穩(wěn)定性：扭動(dòng)三角形木架，它的形狀不會(huì)改變，也就說，三角形的三條邊長確定后，三角形的形狀就確定了. 扭動(dòng)四邊形木架，它的形狀會(huì)改變，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定其形狀，它的各個(gè)角的大小會(huì)改變.

分析各版本得知，“操作‘拉、比較結(jié)果”是目前各教材都采用的方法，這種方式可把幾何意義上的抽象的三角形穩(wěn)定性“可視化、直觀化”，這會(huì)給學(xué)生留下深刻的記憶，這從多數(shù)學(xué)生的訪談中得到了佐證，多數(shù)學(xué)生是以這個(gè)活動(dòng)為記憶信息記住了或回憶起三角形穩(wěn)定性的，解釋時(shí)也用到了這種現(xiàn)象. 問題是，如果只是單純地操作、對比一通，所帶來的副作用也是顯而易見的，所以我們所要做的是消除一些不利因素. 那如何在學(xué)生思維的“具體、形象”與數(shù)學(xué)自身的“抽象、形式”之間找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)呢？

思考與教學(xué)建議

1. 目標(biāo)應(yīng)合理定位

（1）三角形穩(wěn)定性在課時(shí)目標(biāo)中的定位：不應(yīng)把它作為“三角形認(rèn)識(shí)”一課中的重點(diǎn)來教學(xué)，而應(yīng)作為一般的了解性知識(shí)來處理，這是比較合理的. 以人教版為例，整個(gè)單元分為四大塊，即三角形的特性、三角形的分類、三角形內(nèi)角和和圖形的拼組，而三角形的特性又包括三角形的定義、三角形各部分的名稱、三角形的穩(wěn)定性、三角形任意兩邊之和大于第三邊等內(nèi)容. 從下表可以看出，“三角形認(rèn)識(shí)”的第一課時(shí)（一般以例1和例2為第一課時(shí)）內(nèi)容多，時(shí)間緊，難點(diǎn)難以突破. 從其他版本對三角形呈現(xiàn)的信息和教材參考中提供的分析也可以看出，對三角形穩(wěn)定性目標(biāo)定位并沒有“濃墨重彩”，再則，七年級上冊（人教版）對三角形穩(wěn)定性將專門用一個(gè)課時(shí)加以研究，因此把“三角形穩(wěn)定性”定位為了解性的知識(shí)、作為三角形認(rèn)識(shí)的次要目標(biāo)也是恰當(dāng)?shù)?

（2）對于三角形穩(wěn)定性認(rèn)識(shí)程度上的定位，筆者以為，介于以上的分析及教學(xué)后的情況看，應(yīng)讓學(xué)生初步了解幾何意義上的“穩(wěn)定性”，并以此作為對“拉”的補(bǔ)充認(rèn)識(shí)，避免或減少學(xué)生引起認(rèn)識(shí)上的矛盾.

2. 整合重組

（1）內(nèi)容整合. 如何在40分鐘內(nèi)完成教學(xué)內(nèi)容，達(dá)成課時(shí)目標(biāo)呢？一般的教學(xué)是把三大塊內(nèi)容：三角形的概念和各部分內(nèi)容、三角形穩(wěn)定性和三角形的高單獨(dú)分割開進(jìn)行獨(dú)立教學(xué). 如果把三角形概念的認(rèn)識(shí)與三角形穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)相互整合在同一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，那就可以節(jié)省不少的教學(xué)時(shí)間，為學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解幾何意義上的穩(wěn)定性剔除生活經(jīng)驗(yàn)的副作用創(chuàng)造條件.

（2）認(rèn)識(shí)方式上的整合——溝通抽象意義與直觀操作之間的聯(lián)系. 首先用“擺”的活動(dòng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角形在三條邊長確定后，它的形狀大小也就確定了，而四邊形的形狀、大小卻不相同. 在此基礎(chǔ)上，通過“拉”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“形狀、大小是否發(fā)生改變”，并結(jié)合生活實(shí)例讓學(xué)生感悟物理意義上的穩(wěn)固性，把兩種意義上的穩(wěn)定性通過引導(dǎo)有機(jī)地結(jié)合起來.

3. 提出“穩(wěn)定性”與“穩(wěn)固性”兩個(gè)概念

在教學(xué)中明確提出“穩(wěn)定性”與“穩(wěn)固性”兩個(gè)概念，以區(qū)別不同的屬性，即抽象的幾何意義與物理意義. 這樣一來，可把幾何意義的穩(wěn)定性注意點(diǎn)引到“不變”，把物理意義上穩(wěn)定性的注意點(diǎn)引到“牢固”的程度，就能較好地解決只用“穩(wěn)定性”一個(gè)詞所帶來的副作用.

4. 正確理解“拉”的含義，建立正確的推理方向

扭動(dòng)三角木架或四邊形等多邊形木架的優(yōu)越性是顯而易見的，它能把抽象的三角形穩(wěn)定性知識(shí)“物化”，使學(xué)生看得見、摸得著，讓學(xué)生在觀察與操作實(shí)踐中建立形象，形成表象. 但操作活動(dòng)具有兩層含義：①它能直觀地顯示出幾何意義上“圖形的唯一性與多樣性”. 拉三角形，只有一種形狀的三角形，拉四邊形，在頂點(diǎn)不固定的情況下，利用頂點(diǎn)的扭動(dòng)，能直觀地顯示出全部的四邊形的樣子. ②物理意義上的穩(wěn)固性，拉三角形，沒有變形，說明牢固；拉其他的多邊形，易變成其他形狀的多邊形，比三角形不牢固. 由于教材的誤導(dǎo)、教師的錯(cuò)誤引導(dǎo)和學(xué)生頭腦中生活經(jīng)驗(yàn)的副作用，對操作活動(dòng)的認(rèn)識(shí)都集中到了物理意義上的穩(wěn)固性上.

在了解三角形幾何意義上的穩(wěn)定后，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立這樣的觀點(diǎn)：正是因?yàn)椤叭切稳叺拈L度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定”這一幾何意義上的穩(wěn)定性，使得具有三角形結(jié)構(gòu)的物體具有穩(wěn)固性，而其他任何多邊形在“同等條件”下都不具有類似的穩(wěn)固性. 然后，用“拉一拉”的活動(dòng)來體驗(yàn)“三角形的牢固性和不容易變形性”，以幫助學(xué)生建立正確的推理方向，但不能反過來推導(dǎo).

5. 建立“標(biāo)準(zhǔn)”，剔除生活經(jīng)驗(yàn)的副作用

（1）改變教材，建立正確的判斷標(biāo)準(zhǔn)

不能以“拉不拉得動(dòng)”或 “變不變形”為標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)把學(xué)生的“關(guān)注點(diǎn)”引導(dǎo)到“拉后，有沒有變成其他形狀的多邊形”. 如拉三角形后，它沒有變成其他形狀的三角形，因此說三角形的“形狀”具有穩(wěn)定性，而拉四邊形、五邊形等其他多邊形后卻變成了其他圖形的多邊形，因此不具有圖形的穩(wěn)定性，容易變形. 這樣就可以解釋，紅領(lǐng)巾的拉動(dòng)變形或用紙做成的三角形會(huì)拉得動(dòng)的情況了，因?yàn)檫@些拉動(dòng)或拉動(dòng)后，這些物體不再是三角形圖形了. 有沒有變成其他多邊形的“節(jié)點(diǎn)”在于觀察多邊形相鄰兩邊之間夾角的角度有沒有變化，因此建議教材（如人教版）也應(yīng)作出相應(yīng)的修改（如將“拉不動(dòng)”換成“不會(huì)變成其他形狀的三角形”）.

“‘拉后有沒有變成其他形狀的多邊形”，這樣的標(biāo)準(zhǔn)使得這種直觀的操作與抽象的幾何定義有了直接的溝通，使得抽象的幾何定義有了直觀的外顯形式，這樣就可以幫助學(xué)生建立正確意義上的表象.

（2）建立相同的操作標(biāo)準(zhǔn)——同樣的材料，同樣的制作方式

讓學(xué)生用同樣的材料、同樣的制作方式做出三角形、四邊形、五邊形、六邊形等進(jìn)行拉的活動(dòng)，然后教師要重點(diǎn)引導(dǎo)：剛才我們用同樣的材料、同樣的制作方式做出來的四邊形、五邊形、六邊形，輕輕地一拉就變成了其他形狀的四邊形、五邊形、六邊形，可見，這些圖形是容易改變其形狀的多邊形，而唯獨(dú)三角形不管從哪個(gè)方向上拉，形狀都不會(huì)發(fā)生改變，還是原來的三角形，這就是三角形的一個(gè)重要的特性——穩(wěn)定性.

追尋三角形穩(wěn)定性的教學(xué)之路，我們該做的還有很多，本文僅是“引玉”之磚，期待著更深刻、有效的研究.endprint

研究表明，正是因?yàn)椤叭切稳叺拈L度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定”這一幾何意義上的穩(wěn)定性，使得具有三角形結(jié)構(gòu)的物體有了物理意義上的穩(wěn)定性，而其他任何多邊形在“同等條件”都不具有類似的穩(wěn)定性. 但這種幾何意義上的穩(wěn)定性能被四年級學(xué)生所理解和接受嗎？教材放進(jìn)這個(gè)內(nèi)容的目的是什么呢？它是怎樣把三角形穩(wěn)定性這個(gè)抽象數(shù)學(xué)意義轉(zhuǎn)變成教育意義的呢？

各種版本對三角形穩(wěn)定性的處

理分析

通過分析各種教材（蘇教版、北師大版、青島版、新數(shù)學(xué)讀本、西南師大版、人教版、臺(tái)灣2007年國小教本等七種教材，其中臺(tái)灣國小沒有涉及三角形的穩(wěn)定性），發(fā)現(xiàn)對“三角形的穩(wěn)定性”處理有共性的地方：都把它安排在四年級下冊. 編寫意圖是因?yàn)榉€(wěn)定性是三角形的重要特性，在生活中有著廣泛的應(yīng)用，對它進(jìn)行教學(xué)可以讓學(xué)生對三角形有更為全面和深入的認(rèn)識(shí)，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神和實(shí)踐能力. 各版本教材對這一內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路大多采用“情境、問題——實(shí)驗(yàn)、解釋——特性、應(yīng)用”的方式呈現(xiàn)，都強(qiáng)調(diào)實(shí)際操作“拉一拉四邊形架和三角形架”，及結(jié)果的對比，即四邊形能拉動(dòng)，會(huì)變形，而三角形卻拉不動(dòng)，具有穩(wěn)定性.

這些版本最大的不同是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)和對穩(wěn)定性內(nèi)涵所涉及深淺的不同. 只有蘇教版教材中出現(xiàn)了幾何意義上的穩(wěn)定性——“為什么生活中許多的物體都具有三角形的結(jié)構(gòu)？這是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，也就是當(dāng)一個(gè)三角形三條邊的長度確定后，這個(gè)三角形的形狀和大小就不會(huì)改變”；西南師大版、北師大版、新數(shù)學(xué)讀本等出現(xiàn)的信息在提示學(xué)生關(guān)注“拉后”是否“變形”節(jié)點(diǎn)；青島版、人教版出現(xiàn)的信息則暗示學(xué)生注意在“拉不拉得動(dòng)”的節(jié)點(diǎn)上.

人教版初中教材與小學(xué)教材一樣，采用了“扭動(dòng)”三角形木架不會(huì)改變，而四邊形木架的形狀會(huì)改變，由此說明三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)定性. 但在教材解讀中出現(xiàn)了較為明確的幾何意義上的三角形穩(wěn)定性：扭動(dòng)三角形木架，它的形狀不會(huì)改變，也就說，三角形的三條邊長確定后，三角形的形狀就確定了. 扭動(dòng)四邊形木架，它的形狀會(huì)改變，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定其形狀，它的各個(gè)角的大小會(huì)改變.

分析各版本得知，“操作‘拉、比較結(jié)果”是目前各教材都采用的方法，這種方式可把幾何意義上的抽象的三角形穩(wěn)定性“可視化、直觀化”，這會(huì)給學(xué)生留下深刻的記憶，這從多數(shù)學(xué)生的訪談中得到了佐證，多數(shù)學(xué)生是以這個(gè)活動(dòng)為記憶信息記住了或回憶起三角形穩(wěn)定性的，解釋時(shí)也用到了這種現(xiàn)象. 問題是，如果只是單純地操作、對比一通，所帶來的副作用也是顯而易見的，所以我們所要做的是消除一些不利因素. 那如何在學(xué)生思維的“具體、形象”與數(shù)學(xué)自身的“抽象、形式”之間找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)呢？

思考與教學(xué)建議

1. 目標(biāo)應(yīng)合理定位

（1）三角形穩(wěn)定性在課時(shí)目標(biāo)中的定位：不應(yīng)把它作為“三角形認(rèn)識(shí)”一課中的重點(diǎn)來教學(xué)，而應(yīng)作為一般的了解性知識(shí)來處理，這是比較合理的. 以人教版為例，整個(gè)單元分為四大塊，即三角形的特性、三角形的分類、三角形內(nèi)角和和圖形的拼組，而三角形的特性又包括三角形的定義、三角形各部分的名稱、三角形的穩(wěn)定性、三角形任意兩邊之和大于第三邊等內(nèi)容. 從下表可以看出，“三角形認(rèn)識(shí)”的第一課時(shí)（一般以例1和例2為第一課時(shí)）內(nèi)容多，時(shí)間緊，難點(diǎn)難以突破. 從其他版本對三角形呈現(xiàn)的信息和教材參考中提供的分析也可以看出，對三角形穩(wěn)定性目標(biāo)定位并沒有“濃墨重彩”，再則，七年級上冊（人教版）對三角形穩(wěn)定性將專門用一個(gè)課時(shí)加以研究，因此把“三角形穩(wěn)定性”定位為了解性的知識(shí)、作為三角形認(rèn)識(shí)的次要目標(biāo)也是恰當(dāng)?shù)?

（2）對于三角形穩(wěn)定性認(rèn)識(shí)程度上的定位，筆者以為，介于以上的分析及教學(xué)后的情況看，應(yīng)讓學(xué)生初步了解幾何意義上的“穩(wěn)定性”，并以此作為對“拉”的補(bǔ)充認(rèn)識(shí)，避免或減少學(xué)生引起認(rèn)識(shí)上的矛盾.

2. 整合重組

（1）內(nèi)容整合. 如何在40分鐘內(nèi)完成教學(xué)內(nèi)容，達(dá)成課時(shí)目標(biāo)呢？一般的教學(xué)是把三大塊內(nèi)容：三角形的概念和各部分內(nèi)容、三角形穩(wěn)定性和三角形的高單獨(dú)分割開進(jìn)行獨(dú)立教學(xué). 如果把三角形概念的認(rèn)識(shí)與三角形穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)相互整合在同一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，那就可以節(jié)省不少的教學(xué)時(shí)間，為學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解幾何意義上的穩(wěn)定性剔除生活經(jīng)驗(yàn)的副作用創(chuàng)造條件.

（2）認(rèn)識(shí)方式上的整合——溝通抽象意義與直觀操作之間的聯(lián)系. 首先用“擺”的活動(dòng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角形在三條邊長確定后，它的形狀大小也就確定了，而四邊形的形狀、大小卻不相同. 在此基礎(chǔ)上，通過“拉”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“形狀、大小是否發(fā)生改變”，并結(jié)合生活實(shí)例讓學(xué)生感悟物理意義上的穩(wěn)固性，把兩種意義上的穩(wěn)定性通過引導(dǎo)有機(jī)地結(jié)合起來.

3. 提出“穩(wěn)定性”與“穩(wěn)固性”兩個(gè)概念

在教學(xué)中明確提出“穩(wěn)定性”與“穩(wěn)固性”兩個(gè)概念，以區(qū)別不同的屬性，即抽象的幾何意義與物理意義. 這樣一來，可把幾何意義的穩(wěn)定性注意點(diǎn)引到“不變”，把物理意義上穩(wěn)定性的注意點(diǎn)引到“牢固”的程度，就能較好地解決只用“穩(wěn)定性”一個(gè)詞所帶來的副作用.

4. 正確理解“拉”的含義，建立正確的推理方向

扭動(dòng)三角木架或四邊形等多邊形木架的優(yōu)越性是顯而易見的，它能把抽象的三角形穩(wěn)定性知識(shí)“物化”，使學(xué)生看得見、摸得著，讓學(xué)生在觀察與操作實(shí)踐中建立形象，形成表象. 但操作活動(dòng)具有兩層含義：①它能直觀地顯示出幾何意義上“圖形的唯一性與多樣性”. 拉三角形，只有一種形狀的三角形，拉四邊形，在頂點(diǎn)不固定的情況下，利用頂點(diǎn)的扭動(dòng)，能直觀地顯示出全部的四邊形的樣子. ②物理意義上的穩(wěn)固性，拉三角形，沒有變形，說明牢固；拉其他的多邊形，易變成其他形狀的多邊形，比三角形不牢固. 由于教材的誤導(dǎo)、教師的錯(cuò)誤引導(dǎo)和學(xué)生頭腦中生活經(jīng)驗(yàn)的副作用，對操作活動(dòng)的認(rèn)識(shí)都集中到了物理意義上的穩(wěn)固性上.

在了解三角形幾何意義上的穩(wěn)定后，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立這樣的觀點(diǎn)：正是因?yàn)椤叭切稳叺拈L度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定”這一幾何意義上的穩(wěn)定性，使得具有三角形結(jié)構(gòu)的物體具有穩(wěn)固性，而其他任何多邊形在“同等條件”下都不具有類似的穩(wěn)固性. 然后，用“拉一拉”的活動(dòng)來體驗(yàn)“三角形的牢固性和不容易變形性”，以幫助學(xué)生建立正確的推理方向，但不能反過來推導(dǎo).

5. 建立“標(biāo)準(zhǔn)”，剔除生活經(jīng)驗(yàn)的副作用

（1）改變教材，建立正確的判斷標(biāo)準(zhǔn)

不能以“拉不拉得動(dòng)”或 “變不變形”為標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)把學(xué)生的“關(guān)注點(diǎn)”引導(dǎo)到“拉后，有沒有變成其他形狀的多邊形”. 如拉三角形后，它沒有變成其他形狀的三角形，因此說三角形的“形狀”具有穩(wěn)定性，而拉四邊形、五邊形等其他多邊形后卻變成了其他圖形的多邊形，因此不具有圖形的穩(wěn)定性，容易變形. 這樣就可以解釋，紅領(lǐng)巾的拉動(dòng)變形或用紙做成的三角形會(huì)拉得動(dòng)的情況了，因?yàn)檫@些拉動(dòng)或拉動(dòng)后，這些物體不再是三角形圖形了. 有沒有變成其他多邊形的“節(jié)點(diǎn)”在于觀察多邊形相鄰兩邊之間夾角的角度有沒有變化，因此建議教材（如人教版）也應(yīng)作出相應(yīng)的修改（如將“拉不動(dòng)”換成“不會(huì)變成其他形狀的三角形”）.

“‘拉后有沒有變成其他形狀的多邊形”，這樣的標(biāo)準(zhǔn)使得這種直觀的操作與抽象的幾何定義有了直接的溝通，使得抽象的幾何定義有了直觀的外顯形式，這樣就可以幫助學(xué)生建立正確意義上的表象.

（2）建立相同的操作標(biāo)準(zhǔn)——同樣的材料，同樣的制作方式

讓學(xué)生用同樣的材料、同樣的制作方式做出三角形、四邊形、五邊形、六邊形等進(jìn)行拉的活動(dòng)，然后教師要重點(diǎn)引導(dǎo)：剛才我們用同樣的材料、同樣的制作方式做出來的四邊形、五邊形、六邊形，輕輕地一拉就變成了其他形狀的四邊形、五邊形、六邊形，可見，這些圖形是容易改變其形狀的多邊形，而唯獨(dú)三角形不管從哪個(gè)方向上拉，形狀都不會(huì)發(fā)生改變，還是原來的三角形，這就是三角形的一個(gè)重要的特性——穩(wěn)定性.

追尋三角形穩(wěn)定性的教學(xué)之路，我們該做的還有很多，本文僅是“引玉”之磚，期待著更深刻、有效的研究.endprint