賀志啟 劉 釗
(東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京210096)
在小剪跨比鋼筋混凝土梁中(剪跨比小于2左右),同時存在著“梁作用”和“拱作用”的雙重受剪機(jī)制.上述2種機(jī)制的作用比例與很多因素相關(guān),包括梁的剪跨比、配箍率和混凝土強(qiáng)度等,其中剪跨比是決定性因素[1-2].一般認(rèn)為,對于剪跨比λ≤1的深梁,剪力主要通過“拱模型”直接傳遞至支座;對于λ≥2的淺梁,剪力主要經(jīng)由“梁模型”進(jìn)行間接傳遞;當(dāng)1≤λ≤2時,這2種機(jī)制共同作用.
為了恰當(dāng)反映小剪跨比RC梁內(nèi)的復(fù)雜受剪機(jī)制,國內(nèi)外學(xué)者提出了多種理論模型,如桁架拱模型[3]、拉壓桿模型[4]等.這些模型均為超靜定模型,難點(diǎn)是如何進(jìn)行解耦分析.一種處理方式是假設(shè)模型中所有桿件均具有相同的軸向剛度,以此求解超靜定模型[5-6];還有學(xué)者通過非線性有限元分析來求解超靜定模型[7],其中模型中壓桿的寬度根據(jù)支承情況確定,并假設(shè)拉桿能夠達(dá)到屈服;本文作者也曾借助于拉壓桿模型的最大強(qiáng)度建立準(zhǔn)則,從理論上給出了“梁作用”和“拱作用”的解耦關(guān)系[8].
本文遵循能量原理的思路,通過3個層次的最小應(yīng)變能分析,研究了小剪跨比RC梁受剪分析的最優(yōu)拉壓桿模型.該模型是靜定模型,并且能夠恰當(dāng)表達(dá)小剪跨區(qū)域內(nèi)的雙重受剪機(jī)制.
拉壓桿模型的理論基礎(chǔ)是塑性下限定理,然而,混凝土材料的塑性變形能力有限,并不是塑料力學(xué)中所假想的理想剛塑性材料.因此,為避免出現(xiàn)超出混凝土塑性變形能力的應(yīng)力重分布,拉壓桿模型的變形應(yīng)盡可能小,即為“最大剛度準(zhǔn)則”.同時,結(jié)構(gòu)的剛度和內(nèi)部的應(yīng)變能是直接相關(guān)的.對于能量封閉體系,能量守恒表現(xiàn)為外力功W等于結(jié)構(gòu)應(yīng)變能U,即
式中,P為外荷載;K為拉壓桿模型的總體剛度;Fi,Li及εmi分別為拉壓桿模型中第i根桿件的內(nèi)力、長度及平均應(yīng)變.
據(jù)此,可推演得到“最大剛度準(zhǔn)則”等價于“最小應(yīng)變能準(zhǔn)則”,即
考慮到混凝土壓桿的剛度遠(yuǎn)大于鋼筋拉桿的剛度,因而拉壓桿模型的應(yīng)變能絕大部分集中在拉桿[4].因此,拉壓桿模型的最小應(yīng)變能準(zhǔn)則可改寫為
式中,Π為拉桿應(yīng)變能指標(biāo);Ti和Li為第i根拉桿的內(nèi)力和長度;εy為鋼筋屈服應(yīng)變.
本文遵循能量原理的思路,借助多層次的最小應(yīng)變能分析,以此實(shí)現(xiàn)拉壓桿模型的最優(yōu)參數(shù)化構(gòu)形.所提出的策略是:拓?fù)鋬?yōu)化分析→STM基本構(gòu)形→最小應(yīng)變能分析→STM最優(yōu)構(gòu)形.即首先通過結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化分析確定拉壓桿模型的基本構(gòu)形,然后針對由混凝土壓桿和鋼筋拉桿構(gòu)成的拉壓桿模型,進(jìn)行最小應(yīng)變能分析,以此推導(dǎo)模型的最優(yōu)構(gòu)形參數(shù).
拉壓桿模型的自動生成問題可轉(zhuǎn)化為連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化問題,并常常以最小應(yīng)變能作為優(yōu)化目標(biāo).在基于最小應(yīng)變能指標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化分析中,通過不斷地從連續(xù)體中剔除應(yīng)變能密度低的單元,最后實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)總體剛度的極大化,即結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的最小化.優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可表示為[9]
式中,Cj為結(jié)構(gòu)中單元j的應(yīng)變能;Wj為單元j的重量.
若進(jìn)一步定義結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)ω,則優(yōu)化目標(biāo)是使得性能指標(biāo)取得極大值,即
式中,下標(biāo)“0”表示初始狀態(tài);“i”表示經(jīng)過第 i次優(yōu)化后的狀態(tài).
本文借助既有相關(guān)拓?fù)鋬?yōu)化算法,通過對通用有限元程序ANSYS進(jìn)行二次開發(fā),實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化功能,可實(shí)現(xiàn)平面和空間拉壓桿模型的自動生成.該程序的編制框架為(見圖1):程序不斷地剔除低應(yīng)變能密度的單元,直至有限元模型的連續(xù)性遭到破壞而不能運(yùn)算為止;性能指標(biāo)ω取得最大值時對應(yīng)的拓?fù)錁?gòu)形,即為最優(yōu)構(gòu)形.編制該程序的關(guān)鍵技術(shù)包括:
①通過ANSYS程序中的生死單元功能來實(shí)現(xiàn)單元的剔除.
圖1 拓?fù)鋬?yōu)化程序框架
②通過三參數(shù)(ρe,R0和RΔ)來控制單元剔除的速度.通過單元移除率ρe來控制在每次演進(jìn)過程中,剔除單元數(shù)量占總激活單元數(shù)量的最大比例(一般可取為5% ~10%);同時,通過下式來計(jì)算第i次演進(jìn)時低應(yīng)變能密度的閥值:
式中,[ζe,i]為第i次演進(jìn)時低應(yīng)變能密度的閥值,當(dāng)單元的應(yīng)變能密度小于該值時,應(yīng)進(jìn)行剔除;ˉζe,i為第i次演進(jìn)時所有激活單元的應(yīng)變能密度平均值;R0為初始比率,可取為1%;RΔ為演進(jìn)速率,可取為1%.
③通過平滑化操作來避免棋盤式單元形態(tài)的出現(xiàn).首先計(jì)算節(jié)點(diǎn)的平滑應(yīng)變能(將與節(jié)點(diǎn)相鄰單元應(yīng)變能的平均值作為該節(jié)點(diǎn)的平滑應(yīng)變能),然后計(jì)算單元的平滑應(yīng)變能(將單元上4個節(jié)點(diǎn)平滑應(yīng)變能的平均值作為該單元的平滑應(yīng)變能).
針對跨中作用單點(diǎn)集中力的簡支梁,進(jìn)行了最小應(yīng)變能拓?fù)鋬?yōu)化分析,得到了不同剪跨比加載梁的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形(見圖2),由圖2可得:① 當(dāng)剪跨比λ=1時,全部的集中荷載通過斜壓桿直接傳遞至支座;②當(dāng)剪跨比有所增大時,模型中出現(xiàn)了斜向拉桿,表明桁架模型開始發(fā)揮作用;③當(dāng)剪跨比進(jìn)一步增大,λ>2時,模型中出現(xiàn)多根間接斜壓桿,說明桁架模型逐漸起主導(dǎo)作用.
圖2 不同剪跨比梁的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形架
至此,借助于拓?fù)鋬?yōu)化分析的結(jié)果,可以確定小剪跨比梁中拉壓桿模型的基本構(gòu)形為:① 當(dāng)λ≤1時,最優(yōu)模型為“直接壓桿模型”.該模型中的斜壓桿為集中力作用點(diǎn)與支座中心的連線,易于確定.②當(dāng)1<λ≤2時,最優(yōu)模型為“帶斜拉桿的桁架模型”(見圖2(b)、(c)).在無腹筋梁中,斜拉桿為混凝土拉桿;在有腹筋梁中,斜拉桿由腹筋構(gòu)成.該模型中存在3根傾角不同的斜壓桿,但目前還無法定量確定其幾何參數(shù).
為了定量計(jì)算深梁(1<λ≤2)中拉壓桿模型的斜壓桿傾角,這里進(jìn)行了2個層次的最小應(yīng)變能參數(shù)分析.
利用編制的算法,自動搜索應(yīng)變能最小的拉壓桿模型構(gòu)形.模型的基本形狀如圖3(a)所示,模型中節(jié)點(diǎn)B(或節(jié)點(diǎn)C)的位置可在豎向和水平向2個方向變動,節(jié)點(diǎn)E(或節(jié)點(diǎn)F)的位置可在水平方向變動.算法的基本結(jié)構(gòu)如下:① 分層變化拉壓桿模型的幾何參數(shù)x1(0→a),x2(0→d)和x3(0→a);②提取每種模型中所有拉桿的內(nèi)力Ti和長度Li,并計(jì)算應(yīng)變能指標(biāo)∑TiLi;③搜索應(yīng)變能指標(biāo)最小的拉壓桿模型,即為最優(yōu)模型.
針對不同剪跨比的深梁,按上述算法可自動搜索得到拉壓桿模型的最優(yōu)幾何參數(shù)(x1,x2和x3),如表1所示.通過對這些最優(yōu)拉壓桿模型的幾何形狀進(jìn)行觀察,可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:①桿件AE和BE大體上呈垂直關(guān)系;②桿件 AE和BD大致平行.根據(jù)這些規(guī)律,可用圖3(b)所示的簡化模型來代替前述最優(yōu)模型,該模型中只存在斜壓桿傾角θ這一單參數(shù).
圖3 集中荷載作用深梁(1<λ≤2)的拉壓桿模型
表1 集中荷載作用深梁(1≤λ≤2)的最優(yōu)拉壓桿模型參數(shù)
針對圖3(b)所示的單參數(shù)簡化模型,基于最小應(yīng)變能原理,直接推導(dǎo)斜壓桿傾角θ的最優(yōu)取值.在簡化模型中,拉桿的應(yīng)變能分析如表2所示.
表2 簡化模型中的拉桿應(yīng)變能分析
半模型中拉桿的應(yīng)變能指標(biāo)為
為使應(yīng)變能取得最小值,斜壓桿傾角θ應(yīng)滿足
因此,斜壓桿傾角θ的最優(yōu)取值可求解為
同時,可求得最優(yōu)模型中斜拉桿BE的內(nèi)力為
在無腹筋梁中,該斜向拉力由受拉混凝土承擔(dān);在有腹筋梁中,主要由腹筋承擔(dān).
在表1中,除列出了最優(yōu)模型的幾何參數(shù)外,還列出了不同模型的應(yīng)變能指標(biāo).可以發(fā)現(xiàn),雖然“直接壓桿模型”中的荷載傳遞最為直接,但其拉桿應(yīng)變能并不是最小的.只有當(dāng)梁的剪跨比λ接近于1時,“直接壓桿模型”中的應(yīng)變能才與最優(yōu)的“帶斜拉桿的桁架模型”的應(yīng)變能相差無幾.
通過前述3個層次的最小應(yīng)變能分析(最小應(yīng)變能拓?fù)鋬?yōu)化分析、最小應(yīng)變能自動搜索和最小應(yīng)變能目標(biāo)函數(shù)求解),確定了小剪跨比RC深梁的最優(yōu)拉壓桿模型構(gòu)形,該模型具有以下特征:①當(dāng)梁的剪跨比λ≤1時,受剪分析的最優(yōu)模型為“直接壓桿模型”,此時剪力荷載通過斜壓桿直接傳遞至支座;②當(dāng)梁的剪跨比1<λ≤2時,受剪分析的最優(yōu)模型為“帶斜拉桿的桁架模型”(見圖3(b)),斜拉桿與斜壓桿大體上呈垂直關(guān)系,而斜壓桿傾角θ與剪跨比λ直接相關(guān),其最優(yōu)角度為θ=78-13λ.
在無腹筋小剪跨比RC梁中,拉壓桿模型中的斜向拉桿表征了混凝土的受拉作用.當(dāng)混凝土斜拉桿斷裂時,可反映無腹筋梁劈裂破壞時的抗剪承載力,即
式中,WBE為斜向拉桿的寬度,可假設(shè)為與之垂直壓桿 AE 長度的一半[10],即 WBE=0.5d/sinθ;TBE為斜向拉桿的內(nèi)力,可按式(10)計(jì)算;b為腹板厚度;ft為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度,可按ft=0.5(fc)2/3進(jìn)行換算,fc為混凝土棱柱體抗壓強(qiáng)度.
根據(jù)式(11),抗剪承載力可推導(dǎo)為
將斜壓桿傾角θ的最優(yōu)取值代入式(12),并經(jīng)最小二乘擬合,最終可得無腹筋小剪跨比RC梁抗剪承載力的簡化計(jì)算式為
式中,λ≤2.
為驗(yàn)證本文所提抗剪強(qiáng)度計(jì)算公式的正確性,與文獻(xiàn)[11]收集的20根無腹筋短梁的抗剪承載力試驗(yàn)值進(jìn)行對比,如圖4所示.由此可見,本文公式能夠較好地反映剪跨比對無腹筋梁抗剪承載力的影響,并且與 GB50010—2010規(guī)范[12]中的式(6.3.4)相比,本文所提出的理論公式與試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合線更為接近,有更好的計(jì)算精度.
圖4 無腹筋RC深梁抗剪承載力試驗(yàn)值與計(jì)算值的對比
1)提出了確定拉壓桿模型最優(yōu)構(gòu)形的“多層次最小應(yīng)變能分析方法”.該方法首先借助結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化分析擬定拉壓桿模型的基本構(gòu)形,并利用最小應(yīng)變能參數(shù)分析確定模型的最優(yōu)構(gòu)形參數(shù),具有適應(yīng)能力強(qiáng)、參數(shù)化建模等特點(diǎn).
2)小剪跨RC梁內(nèi)存在著復(fù)雜的受剪機(jī)制,當(dāng)梁的剪跨比λ≤1時,剪力荷載通過“拱模型”直接傳遞至支座;當(dāng)1<λ≤2時,剪力荷載通過“帶斜拉桿的桁架模型”進(jìn)行間接傳遞,模型中斜拉桿與斜壓桿大體上呈垂直關(guān)系,而斜壓桿傾角θ與剪跨比λ直接相關(guān),其最優(yōu)角度為θ=78-13λ.
3)本文依據(jù)拉壓桿模型所提出的無腹筋小剪跨比梁抗剪承載力計(jì)算式,形式簡潔,并且能夠較好地反映剪跨比的影響.
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