對分課堂模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂實踐

摘?要：對分課堂核心是一半時間老師教，一半時間學(xué)生研。保留老師講授這一傳統(tǒng)教學(xué)的精華，保證了知識傳遞的系統(tǒng)性、準(zhǔn)確性和有效性，但并不窮盡內(nèi)容，留給學(xué)生進(jìn)一步主動探索的空間，引發(fā)學(xué)生主動對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象性、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理，培養(yǎng)學(xué)生理性的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：對分課堂;核心素養(yǎng);理性思維

對分課堂模式的核心理念是把課堂的時間一半分給教師精講，另一半分給學(xué)生討論，使講授法與討論法兩者長短互補(bǔ)。這種新型教學(xué)模式理念深刻、簡明易用，變學(xué)生被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，全面培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)和實踐創(chuàng)新等核心素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)課堂中逐步形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

一、 對分課堂與傳統(tǒng)課堂的比較

筆者所在課題組在開展課堂教學(xué)中“學(xué)與教”方式的改革探索實踐中，借鑒目前國內(nèi)近十種教學(xué)改革模式，最終形成以“小組合作學(xué)習(xí)”為立足點，探索“先教后研，對分課堂”高效高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式。該模式分教師精講、自主學(xué)習(xí)、自主練習(xí)、小組合作學(xué)習(xí)、交流展示、共同提煉六個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其中“小組合作學(xué)習(xí)”過程是重點環(huán)節(jié)。對分課堂分“當(dāng)堂對分”和“隔堂對分”，其核心是一半時間老師教，一半時間學(xué)生研;有時可以把教授和研討的時間隔堂錯開，讓學(xué)生在課后有一段時間自主學(xué)習(xí)，加強(qiáng)對知識的理解記憶。在傳統(tǒng)課堂上，教師講授力求完整詳盡，學(xué)生沒有發(fā)揮余地，趨向被動接受。在高中數(shù)學(xué)對分課堂上，老師有引導(dǎo)，但并不窮盡內(nèi)容，留給學(xué)生進(jìn)一步主動探索的空間，能夠引發(fā)學(xué)生主動對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象性，根據(jù)自主學(xué)習(xí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和邏輯推理，有效培養(yǎng)學(xué)生理性的數(shù)學(xué)思維。對分課堂保留老師講授這一傳統(tǒng)教學(xué)的精華，保證了知識傳遞的系統(tǒng)性、準(zhǔn)確性和有效性。對分課堂提高了學(xué)生的課堂參與度，教師化灌輸者為引導(dǎo)者角色。其實老師講得少，更要求教師講得精、控得穩(wěn)，因此教師地位和價值不但沒有削弱，反而得到進(jìn)一步的提升，更能贏得學(xué)生的尊重。

二、 以“空間向量的基本定理課”為例

教師用PPT展示共線向量的概念、共線向量定理及其推論和共面向量定理：

如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)x，y使p=xa+yb

證明：（必要性）設(shè)向量a，b不共線，p與向量a，b共面，根據(jù)平面向量的基本定理，一定存在實數(shù)x，y使p=xa+yb。（充分性）設(shè)存在實數(shù)x，y使p=xa+yb。取空間任意一點M，作MA=a，MB=b，MA′=xa，A′P=yb，則MP=xa+yb=p，于是點P在平面MAB內(nèi)，向量p∥平面MAB。即p與向量a，b共面。

推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使MP=xMA+yMB?①或?qū)臻g任一點O，有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOA+yOB+zOM，（x+y+z=1）

上面①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式。

教師講授時從學(xué)生認(rèn)知出發(fā)，通過學(xué)生已學(xué)的知識，抽象出研究對象，理解揭示數(shù)學(xué)中的本質(zhì)。兩個向量共線，其中一個向量能用另一個向量表示且表示形式唯一。那么，平面任一向量能用兩個不共線的向量表示，且當(dāng)不共線向量確定時，表達(dá)形式唯一。那么空間向量可以由幾個向量表示，表達(dá)形式唯一嗎？

為了能讓學(xué)生用科學(xué)方法探索規(guī)律，教師在講授過程中要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究對象的抽象和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碚撟C的過程。這樣不僅可以提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，而且在這類型問題上找到了知識積累、知識遷移和知識創(chuàng)新的方法;為學(xué)生自主學(xué)習(xí)指明了方向。

學(xué)生基本能夠類比共線向量和平面向量的基本定理的思想對表達(dá)空間任一向量做出猜想：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc。學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)、討論和交流展示綜合得出如下結(jié)論：

（存在性）設(shè)a，b，c不共面，

過點O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p;

過點P作直線PP′平行于OC，交平面OAB于點P′;

在平面OAB內(nèi)，過P′作直線P′A′∥OB，P′B′∥OA，分別與直線OA，OB相交于點A′，B′，于是，存在三個實數(shù)x，y，z，使OA′=xOA=xa，OB′=yOB=yb，OC′=zOC=zc，

∴OP=OA′+OB′+OC′=xOA+yOB+zOC

所以p=xa+yb+zc

（唯一性）假設(shè)還存在x′，y′，z′使p=x′a+y′b+z′c

∴xa+yb+zc=x′a+y′b+z′c

∴（x-x′）a+（y-y′）b+（z-z′）c=0

不妨設(shè)x≠x′即x-x′≠0，∴a=y-y′x′-x·b+z-z′x′-x·c

∴a，b，c共面此與已知矛盾。由此定理，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

值得一提的是，對分課堂模式給學(xué)生充分時間思考。學(xué)生在探求新知時，儲備了大量的結(jié)論和疑問，學(xué)生參與課堂討論、展示成果的熱情高漲，在智慧與智慧的碰撞下會得到許多精彩的結(jié)論。比如：

討論出空間向量的定理推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC。

探究出多維空間向量表達(dá)的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)：二維空間里，任一個向量可以被不共一維空間的兩個向量表達(dá);三維空間里，任一個向量可以被不共二維空間的三個向量表達(dá);同理可推導(dǎo)，N維空間里，任一個向量可以被不共N-1維空間的N個向量表達(dá)。且表達(dá)形式唯一。

三、 結(jié)語

對分課堂教學(xué)模式輸入—內(nèi)化—輸出的學(xué)習(xí)過程與數(shù)學(xué)知識認(rèn)知理解—知識遷移—實踐創(chuàng)新的生成發(fā)展過程是高度一致的。由教師提問過渡到學(xué)生自主提問，顯得更為尊重學(xué)生。從學(xué)習(xí)效果看，對分模式的討論是延時討論，無論是在隔堂對分還是當(dāng)堂對分中，學(xué)生都有充分的準(zhǔn)備和內(nèi)化吸收的時間。這樣可以加深學(xué)生對知識的理解和掌握，提高溝通交流能力，培養(yǎng)科學(xué)理性思維，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，最終促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)提升。

作者簡介：

唐震，福建省三明市，三明市第九中學(xué)。