區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性度量

王艷平，王金英

(遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州121001)

0 引 言

自1965 年L.A.Zadeh［1］首次提出模糊集的概念以來(lái)，人們相繼給出了模糊集的一些推廣形式，其中K. Atanassov 的直覺(jué)模糊集以及區(qū)間直覺(jué)模糊(Interval-Valued Intuitionistic Fuzzysets，IVIF)集［2］，就是對(duì)L.A.Zadeh 模糊集理論的一種擴(kuò)充和發(fā)展. Z.Pawlak 于1982 年提出了粗糙集［3］的概念，由于模糊集和粗糙集理論在處理不確定性和不精確性問(wèn)題方面都推廣了經(jīng)典集合論，因此將兩個(gè)理論相融合，建立模糊粗糙集成為信息領(lǐng)域研究的主要方向之一. 許多學(xué)者致力于這方面的研究，提出了各種廣義的模糊粗糙集、直覺(jué)模糊粗糙集和IVIF 粗糙集［4］. L.A.Zadeh 提出的模糊熵是模糊集理論中一個(gè)重要的研究對(duì)象，用來(lái)刻畫(huà)模糊集的不確定性. 許多學(xué)者從不同的角度對(duì)各種廣義模糊集的熵進(jìn)行了深入的研究，分別給出了模糊熵［5］、直覺(jué)模糊熵［6-8］、Vague 熵以及IVIF 熵［9-11］的公理化定義和計(jì)算公式. 文獻(xiàn)［5］利用一種新的模糊熵研究了模糊粗糙集的不確定性度量，但對(duì)IVIF 粗糙集不確定性度量的研究目前還未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)，所以本文試圖通過(guò)先定義IVIF粗糙集和IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù)，然后再利用現(xiàn)有的模糊熵公式，給出IVIF 粗糙集的不確定性度量.

1 區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的基本理論

定義1［2］設(shè)U 是一個(gè)非空經(jīng)典集合，稱U上形如A ={〈x，μA(x)，νA(x)〉| x ∈U}的三元組為U 上的一個(gè)IVIF 集．

為方 便，將 IVIF 集 A 記 為 A = {〈x，［μAL(x)，μAU(x)］，［νAL(x)，νAU(x)］〉| x ∈U}． U 上所有區(qū)間直覺(jué)模糊集構(gòu)成的集合為IVIF(U)．

定義2［12］設(shè)定義

定義3［13］設(shè)U 是一個(gè)非空經(jīng)典集合，A，B ∈IVIF(U)，規(guī)定序及運(yùn)算如下:

定義4［14］設(shè)U 和W 是有限非空論域，定義在U ×W 上的IVIF 子集稱為從U 到W 之間的二元IVIF 關(guān)系，記為

特別地，當(dāng)U = W 時(shí)，IVIF 關(guān)系R ∈IVIF(U × W)稱為U 上的IVIF 關(guān)系．

本文用| A| 表示IVIF 集的基數(shù)，并取

定義5 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，即R 是U 上的任一IVIF 關(guān)系． ?A ∈IVIF(U)，則A 在近似空間(U，R)中的下近似

R(A)，上近似R(A)是

一對(duì)IVIF 集

序?qū)?R(A)，

R(A))稱為IVIF 粗糙集．

2 區(qū)間直覺(jué)模糊集的粗糙隸屬函數(shù)

利用前面給出的IVIF 集基數(shù)公式和文獻(xiàn)［5］中模糊集粗糙隸屬函數(shù)的定義，定義IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù)，這里仍將其定義為一個(gè)模糊集．

定義6 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，對(duì)?A ∈IVIF(U)，x ∈U，x 關(guān)于A 的粗糙隸屬函數(shù)R(A)∶IVIF(U)→F(U)定義為

特別地，當(dāng)A 退化為模糊集，R 退化為模糊關(guān)系時(shí)，公式(2)退化為文獻(xiàn)［5］中的普通模糊集的粗糙隸屬函數(shù)，因此這里定義的IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù)是模糊粗糙隸屬函數(shù)的推廣，而文獻(xiàn)［5］中定義的粗糙隸屬函數(shù)是它的特例．

定理1 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，粗糙隸屬函數(shù)具有性質(zhì):

1)?A，B ∈IVIF(U)，若A ?B，則R(A)?R(B);

2)若A ∈P(U)，則R(～A)= ～R(A)．證明 1)?A，B ∈IVIF(U)，若A ?B，即對(duì)?x ∈U 有

則顯然有R(A)(x)≤R(B)(x)，因此R(A)?R(B)．

2)若A ∈P(U)，對(duì)?x ∈U，當(dāng)x ∈A 時(shí)，即μA(x)= ［1，1］，νA(x)= ［0，0］，由公式(2)顯然有R(A)(x)= 1．又因?yàn)椤獳 ={〈x，νA(x)，μA(x)〉| x ∈U}，故有R(～A)(x)=0，因此R(～A)= ～R(A)． 當(dāng)x ?A 時(shí)，即μA(x)=［0，0］，νA(x)=［1，1］，由公式(2)顯然有R(A)(x)= 0． 同理有R(～A)(x)= 1，因此R(～A)= ～R(A)．

3 模糊熵

采用文獻(xiàn)［5］中模糊熵的公理化定義和模糊熵公式.

定義7［5］稱映射E:F(U)→［0，1］為模糊集的一個(gè)模糊熵． 如果E 滿足如下條件:

條件1:E(A)= 0，當(dāng)且僅當(dāng)A 是一個(gè)分明集;

條件2:E(A)= 1，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)A = 0．5;

條件3:E(A)= E(～A);

條件4:若d(A，0．5)≥d(B，0．5)，則E(A)≤E(B)．

其中，A = 0．5表示隸屬函數(shù)恒為0．5 的常值模糊集;是兩個(gè)模糊集A 和B 的距離．

定理2［5］對(duì)?A ∈F(U)，定義

則由式(3)定義的E 是一個(gè)模糊熵.

4 區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性度量

定義8 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，A ∈IVIF(U)，則IVIF 粗糙集(A)，((A))的模糊性度量FR(A)定義為粗糙隸屬函數(shù)的模糊熵

定理3 設(shè)U 是非空有限論域，R 是U 上的自反模糊關(guān)系，即對(duì)?x ∈U，有μR(x，x)=［1，1］，νR(x，x)= ［0，0］． A ∈IVIF(U)，則FR(A)= 0，當(dāng)且僅當(dāng)A 是經(jīng)典集合且是可定義的．

由1)和2)可知，?x ∈U，R(A)(x)(1 －R(A)(x))= 0，故FR(A)= 0．

反之，若FR(A)= 0，由定義8 可知，對(duì)?x ∈U，應(yīng)有R(A)(x)= 0，或R(A)(x)=1．

3)若R(A)(x)= 0，則由公式(2)可得而式(5)中每一項(xiàng)均大于或等于零，故有0． 又因?yàn)樗?/p>

4)若R(A)(x)= 1，由公式(2)對(duì)?y ∈U，顯然有μR(x，y)≤μA(y)，νR(x，y)≥νA(y)． 因此R 是自反模糊關(guān)系． 特別地，有［1，1］=μR(x，x)≤μA(x)，［0，0］= νR(x，x)≥νA(x)，即μA(x)= ［1，1］，νA(x)= ［0，0］．

由3)和4)可知A 是經(jīng)典集合．

由以上證明可知，當(dāng)FR(A)= 0 時(shí)，A 是經(jīng)典 集 合． 所 以 ?x ∈ U，μA(x) = ［1，1］，νA(x)= ［0，0］，或μA(x)=［0，0］，νA(x)=［1，

1］．

5)若x ∈A，即μA(x)= ［1，1］，νA(x)=［0，0］． 由公式(2)可知，R(A)(x)≠0，故R(A)(x)= 1． 則對(duì)?y ∈U，有μR(x，y)≤μA(y)，νR(x，y)≥νA(y)． 即?y ?A，μR(x，y)=［0，0］，νR(x，y)=［1，1］． 因此于 是 有又因?yàn)橛谑?，因此R(A)= A = R(A)．

由5)和6)可知，A 是可定義的．

定理4 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，則A ∈P(U)，有FR(～A)= FR(A)．

證明 由定理1 可知，對(duì)?A ∈P(U)，有R(～ A) = ～ R(A)， 故 R(～ A)(x)(1 －R(～A)(x))= (1 － R(A)(x))R(A)(x)． 再由公式(5)直接可得FR(～A)= FR(A)．

定理3 和定理4 說(shuō)明了什么樣的IVIV 粗糙集是“確定的”，什么樣的集合和它的余集的IVIF 粗糙性度量是相等的.

5 結(jié)束語(yǔ)

區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性不僅來(lái)自于近似空間，也來(lái)自于被近似的集合的模糊性. 建立一個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集模型以后，如何對(duì)其不確定性進(jìn)行度量是一個(gè)重要的課題. 本文通過(guò)將區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的隸屬函數(shù)定義為一個(gè)模糊集，從而可以利用現(xiàn)有文獻(xiàn)的模糊熵公式，實(shí)現(xiàn)了區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性度量，它在不確定性分析方面的具體應(yīng)用值得進(jìn)一步深入研究.

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