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    區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性度量

    2014-03-11 14:05:30王艷平王金英
    關(guān)鍵詞:模糊集粗糙集直覺(jué)

    王艷平,王金英

    (遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 錦州121001)

    0 引 言

    自1965 年L.A.Zadeh[1]首次提出模糊集的概念以來(lái),人們相繼給出了模糊集的一些推廣形式,其中K. Atanassov 的直覺(jué)模糊集以及區(qū)間直覺(jué)模糊(Interval-Valued Intuitionistic Fuzzysets,IVIF)集[2],就是對(duì)L.A.Zadeh 模糊集理論的一種擴(kuò)充和發(fā)展. Z.Pawlak 于1982 年提出了粗糙集[3]的概念,由于模糊集和粗糙集理論在處理不確定性和不精確性問(wèn)題方面都推廣了經(jīng)典集合論,因此將兩個(gè)理論相融合,建立模糊粗糙集成為信息領(lǐng)域研究的主要方向之一. 許多學(xué)者致力于這方面的研究,提出了各種廣義的模糊粗糙集、直覺(jué)模糊粗糙集和IVIF 粗糙集[4]. L.A.Zadeh 提出的模糊熵是模糊集理論中一個(gè)重要的研究對(duì)象,用來(lái)刻畫(huà)模糊集的不確定性. 許多學(xué)者從不同的角度對(duì)各種廣義模糊集的熵進(jìn)行了深入的研究,分別給出了模糊熵[5]、直覺(jué)模糊熵[6-8]、Vague 熵以及IVIF 熵[9-11]的公理化定義和計(jì)算公式. 文獻(xiàn)[5]利用一種新的模糊熵研究了模糊粗糙集的不確定性度量,但對(duì)IVIF 粗糙集不確定性度量的研究目前還未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn),所以本文試圖通過(guò)先定義IVIF粗糙集和IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù),然后再利用現(xiàn)有的模糊熵公式,給出IVIF 粗糙集的不確定性度量.

    1 區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的基本理論

    定義1[2]設(shè)U 是一個(gè)非空經(jīng)典集合,稱U上形如A ={〈x,μA(x),νA(x)〉| x ∈U}的三元組為U 上的一個(gè)IVIF 集.

    為方 便,將 IVIF 集 A 記 為 A = {〈x,[μAL(x),μAU(x)],[νAL(x),νAU(x)]〉| x ∈U}. U 上所有區(qū)間直覺(jué)模糊集構(gòu)成的集合為IVIF(U).

    定義2[12]設(shè)定義

    定義3[13]設(shè)U 是一個(gè)非空經(jīng)典集合,A,B ∈IVIF(U),規(guī)定序及運(yùn)算如下:

    定義4[14]設(shè)U 和W 是有限非空論域,定義在U ×W 上的IVIF 子集稱為從U 到W 之間的二元IVIF 關(guān)系,記為

    特別地,當(dāng)U = W 時(shí),IVIF 關(guān)系R ∈IVIF(U × W)稱為U 上的IVIF 關(guān)系.

    本文用| A| 表示IVIF 集的基數(shù),并取

    定義5 設(shè)(U,R)是IVIF 近似空間,即R 是U 上的任一IVIF 關(guān)系. ?A ∈IVIF(U),則A 在近似空間(U,R)中的下近似

    R(A),上近似R(A)是

    一對(duì)IVIF 集

    序?qū)?R(A),

    R(A))稱為IVIF 粗糙集.

    2 區(qū)間直覺(jué)模糊集的粗糙隸屬函數(shù)

    利用前面給出的IVIF 集基數(shù)公式和文獻(xiàn)[5]中模糊集粗糙隸屬函數(shù)的定義,定義IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù),這里仍將其定義為一個(gè)模糊集.

    定義6 設(shè)(U,R)是IVIF 近似空間,對(duì)?A ∈IVIF(U),x ∈U,x 關(guān)于A 的粗糙隸屬函數(shù)R(A)∶IVIF(U)→F(U)定義為

    特別地,當(dāng)A 退化為模糊集,R 退化為模糊關(guān)系時(shí),公式(2)退化為文獻(xiàn)[5]中的普通模糊集的粗糙隸屬函數(shù),因此這里定義的IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù)是模糊粗糙隸屬函數(shù)的推廣,而文獻(xiàn)[5]中定義的粗糙隸屬函數(shù)是它的特例.

    定理1 設(shè)(U,R)是IVIF 近似空間,粗糙隸屬函數(shù)具有性質(zhì):

    1)?A,B ∈IVIF(U),若A ?B,則R(A)?R(B);

    2)若A ∈P(U),則R(~A)= ~R(A).證明 1)?A,B ∈IVIF(U),若A ?B,即對(duì)?x ∈U 有

    則顯然有R(A)(x)≤R(B)(x),因此R(A)?R(B).

    2)若A ∈P(U),對(duì)?x ∈U,當(dāng)x ∈A 時(shí),即μA(x)= [1,1],νA(x)= [0,0],由公式(2)顯然有R(A)(x)= 1.又因?yàn)椤獳 ={〈x,νA(x),μA(x)〉| x ∈U},故有R(~A)(x)=0,因此R(~A)= ~R(A). 當(dāng)x ?A 時(shí),即μA(x)=[0,0],νA(x)=[1,1],由公式(2)顯然有R(A)(x)= 0. 同理有R(~A)(x)= 1,因此R(~A)= ~R(A).

    3 模糊熵

    采用文獻(xiàn)[5]中模糊熵的公理化定義和模糊熵公式.

    定義7[5]稱映射E:F(U)→[0,1]為模糊集的一個(gè)模糊熵. 如果E 滿足如下條件:

    條件1:E(A)= 0,當(dāng)且僅當(dāng)A 是一個(gè)分明集;

    條件2:E(A)= 1,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)A = 0.5;

    條件3:E(A)= E(~A);

    條件4:若d(A,0.5)≥d(B,0.5),則E(A)≤E(B).

    其中,A = 0.5表示隸屬函數(shù)恒為0.5 的常值模糊集;是兩個(gè)模糊集A 和B 的距離.

    定理2[5]對(duì)?A ∈F(U),定義

    則由式(3)定義的E 是一個(gè)模糊熵.

    4 區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性度量

    定義8 設(shè)(U,R)是IVIF 近似空間,A ∈IVIF(U),則IVIF 粗糙集(A),((A))的模糊性度量FR(A)定義為粗糙隸屬函數(shù)的模糊熵

    定理3 設(shè)U 是非空有限論域,R 是U 上的自反模糊關(guān)系,即對(duì)?x ∈U,有μR(x,x)=[1,1],νR(x,x)= [0,0]. A ∈IVIF(U),則FR(A)= 0,當(dāng)且僅當(dāng)A 是經(jīng)典集合且是可定義的.

    由1)和2)可知,?x ∈U,R(A)(x)(1 -R(A)(x))= 0,故FR(A)= 0.

    反之,若FR(A)= 0,由定義8 可知,對(duì)?x ∈U,應(yīng)有R(A)(x)= 0,或R(A)(x)=1.

    3)若R(A)(x)= 0,則由公式(2)可得而式(5)中每一項(xiàng)均大于或等于零,故有0. 又因?yàn)樗?/p>

    4)若R(A)(x)= 1,由公式(2)對(duì)?y ∈U,顯然有μR(x,y)≤μA(y),νR(x,y)≥νA(y). 因此R 是自反模糊關(guān)系. 特別地,有[1,1]=μR(x,x)≤μA(x),[0,0]= νR(x,x)≥νA(x),即μA(x)= [1,1],νA(x)= [0,0].

    由3)和4)可知A 是經(jīng)典集合.

    由以上證明可知,當(dāng)FR(A)= 0 時(shí),A 是經(jīng)典 集 合. 所 以 ?x ∈ U,μA(x) = [1,1],νA(x)= [0,0],或μA(x)=[0,0],νA(x)=[1,

    1].

    5)若x ∈A,即μA(x)= [1,1],νA(x)=[0,0]. 由公式(2)可知,R(A)(x)≠0,故R(A)(x)= 1. 則對(duì)?y ∈U,有μR(x,y)≤μA(y),νR(x,y)≥νA(y). 即?y ?A,μR(x,y)=[0,0],νR(x,y)=[1,1]. 因此于 是 有又因?yàn)橛谑?,因此R(A)= A = R(A).

    由5)和6)可知,A 是可定義的.

    定理4 設(shè)(U,R)是IVIF 近似空間,則A ∈P(U),有FR(~A)= FR(A).

    證明 由定理1 可知,對(duì)?A ∈P(U),有R(~ A) = ~ R(A), 故 R(~ A)(x)(1 -R(~A)(x))= (1 - R(A)(x))R(A)(x). 再由公式(5)直接可得FR(~A)= FR(A).

    定理3 和定理4 說(shuō)明了什么樣的IVIV 粗糙集是“確定的”,什么樣的集合和它的余集的IVIF 粗糙性度量是相等的.

    5 結(jié)束語(yǔ)

    區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性不僅來(lái)自于近似空間,也來(lái)自于被近似的集合的模糊性. 建立一個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集模型以后,如何對(duì)其不確定性進(jìn)行度量是一個(gè)重要的課題. 本文通過(guò)將區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的隸屬函數(shù)定義為一個(gè)模糊集,從而可以利用現(xiàn)有文獻(xiàn)的模糊熵公式,實(shí)現(xiàn)了區(qū)間直覺(jué)模糊粗糙集的不確定性度量,它在不確定性分析方面的具體應(yīng)用值得進(jìn)一步深入研究.

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