非對稱三線擺模型研究

侯 文，馬鐵華，鄭 賓

(中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051)

0 引 言

三線擺是用于物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量的常用方法之一［1-5］，其工作過程是先把被測物體放在一個(gè)由3 根線繩吊起的托盤上，然后輕微旋轉(zhuǎn)托盤后釋放，托盤及其承載的被測物體做左右擺動(dòng)并同時(shí)上下移動(dòng)，通過測量擺動(dòng)周期，根據(jù)公式(1)來計(jì)算托盤及其承載的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，將J 減去已知的托盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，就可以得到被測物體在垂直方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．

式中:m 為托盤及被測物體的總質(zhì)量;g 為重力加速度;J 為托盤及被測物體關(guān)于中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;T 為擺動(dòng)周期;R，r 和H 的含義如圖1 所示．

圖1 三線擺示意圖Fig．1 A trifilar pendulum

圖1 及其式(1)中，包含了4 類對稱性條件:

1)3 根繩與試驗(yàn)臺架的固定端均勻地分布在一個(gè)圓周上;

2)3 根繩與托盤的固定端均勻地分布在一個(gè)圓周上;

3)上述兩個(gè)圓周形成的面均與水平面平行，3 根繩長度相等;

4)托盤及被測物體的質(zhì)心在水平面上的投影與上述圓周的中心的投影相重疊．

除上述4 個(gè)條件之外，還需要滿足兩個(gè)條件:擺角不大于5°;繩長變化以及繩質(zhì)量均忽略． 在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測量當(dāng)中，實(shí)際的情況會與上述的對稱性要求有所偏離，如何估計(jì)這些偏離對于測量誤差的貢獻(xiàn)呢?顯然，將式(1)帶入如下誤差傳遞公式是無能為力的，因?yàn)槭街幸呀?jīng)包含了對稱性的完全滿足．

對于估計(jì)對稱性偏離對測量誤差貢獻(xiàn)的問題，本文的思路是建立一個(gè)不依賴于任何對稱性關(guān)系的三線擺模型，這樣4 類偏離中任何一類都可以作為原始輸入量(而不是以誤差的身份)帶入到模型中進(jìn)行計(jì)算，得到擺動(dòng)的周期值，此周期值與公式(1)得到的周期值偏差，最終可以估計(jì)對稱偏離量對于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量誤差的貢獻(xiàn)．

1 非對稱三線擺坐標(biāo)系的建立

非對稱三線擺如圖2 所示． 以下不再區(qū)分托盤和被測物體，而把它們合在一起稱作擺動(dòng)體．建立兩個(gè)坐標(biāo)系，第一個(gè)坐標(biāo)系OXYZ 固結(jié)在大地上或?qū)嶒?yàn)臺架上不移動(dòng)，這是一個(gè)慣性系，牛頓力學(xué)公式、拉格朗日方程中的動(dòng)能或勢能公式需要折換到此坐標(biāo)系下才能夠成立． 該坐標(biāo)系的基矢量記為(i j k)T． 坐標(biāo)系OXYZ 的原點(diǎn)O可以任意選取，原則上其基矢量也可以任意選取，但為了后面建模方便，基矢量k 選擇垂直水平面向上． 第二個(gè)坐標(biāo)系O1X1Y1Z1，其基矢量記為(i1j1k1)T，該坐標(biāo)系原點(diǎn)固結(jié)在擺動(dòng)體上，坐標(biāo)原點(diǎn)選為擺動(dòng)體的質(zhì)心O1． 上述兩個(gè)坐標(biāo)系的基矢量之間存在如下關(guān)系:

其中:

式中:ψ 為坐標(biāo)系O1X1Y1Z1相對于坐標(biāo)系OXYZ的偏航角;θ 是俯仰角;φ 是滾轉(zhuǎn)角．

三線擺共有3 條線繩，每條線繩有2 個(gè)端點(diǎn)，共6 個(gè)端點(diǎn)． 其中3 個(gè)端點(diǎn)固定在試驗(yàn)臺架上，記為A，B，C． 它們在坐標(biāo)系OXYZ 下的位置表達(dá)式為

圖2 非對稱三線擺Fig．2 Unsymmetrical trifilar pendulum

A，B，C 點(diǎn)位置在三線擺運(yùn)動(dòng)時(shí)保持不變，另外3 個(gè)端點(diǎn)固定在擺動(dòng)體上，記為a，b，c． 它們在坐標(biāo)系O1X1Y1Z1下的位置表達(dá)式為

在三線擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，坐標(biāo)值(xayaza)，(xbybzb)，(xcyczc)是不變動(dòng)的，但基矢量(i1j1k1)T是變化的，是時(shí)間的函數(shù)．

另外，還可以看到，在上面對線繩端點(diǎn)的定義中，并沒有要求A，B，C 這3 個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形;沒有要求上述三角形與水平面平行;沒有要求a，b，c 這3 點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形;沒有要求該三角形與水平面平行;也沒有線段長度l1，l2，l3相等的要求．

2 非對稱三線擺的動(dòng)力學(xué)模型

2．1 非對稱三線擺的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)知識，擺動(dòng)體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Tz為［6］

式中:JXX，JXY，JXZ，JYY，JYZ，JZZ為擺動(dòng)體慣量張量J在慣性系OXYZ 下的分量，見式(5)，這是一個(gè)二階對稱張量． ωX，ωY，ωZ是擺動(dòng)體過質(zhì)心的角速率矢量在OX，OY，OZ 軸上的分量．

在擺動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)過程中，J 的各個(gè)分量是變化著的． J 只有在O1X1Y1Z1坐標(biāo)系下的分量是擺動(dòng)體固有的參數(shù)，不隨著時(shí)間而變化，其表達(dá)式為

注意到，式(5)左邊與式(6)的左邊相等，同時(shí)考慮到式(2)，可以得到

利用公式(7)，可以寫出公式(4)中出現(xiàn)的慣量張量的所有分量的表達(dá)式． 因?yàn)榫仃嘢 中包含有ψ，θ 和φ 等姿態(tài)角，而ψ，θ 和φ 是時(shí)間t 的函數(shù)，因此S 是時(shí)間t 的函數(shù)． 也就是說，JXX，JXY，JXZ，JYY，JYZ，JZZ等分量也均是時(shí)間t 的函數(shù)．

根據(jù)角速度合成定理［8］，可得到繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)擺動(dòng)體的角速度有如下關(guān)系:

式中:ω 為任一時(shí)刻擺動(dòng)體繞過質(zhì)心的瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量． 根據(jù)基矢量的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到

推導(dǎo)式(9)需要3 個(gè)圖，為節(jié)省篇幅，在這里省略． 實(shí)際上，式(9)與剛體動(dòng)力學(xué)中的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是等價(jià)的，歐拉角中章動(dòng)角與這里的俯仰角θ 互為余角． 將式(9)和式(7)所提供的矢量ω以及張量J 的各個(gè)分量帶入式(4)，就得到了的完整的、不含任何對稱性條件的三線擺轉(zhuǎn)動(dòng)體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能表達(dá)式． 此式冗長，這里省略．

2．2 非對稱三線擺的拉格朗日函數(shù)

擺動(dòng)體所受外力包括3 根線繩的拉力和自身的重力． 如果將擺動(dòng)體和3 根線繩看做一個(gè)系統(tǒng)，且線繩的質(zhì)量不計(jì)，那么該系統(tǒng)受到的主動(dòng)力僅有擺動(dòng)體的重力． 因?yàn)橹亓橛袆萘?，因此可以引入拉格朗日函?shù)．

式中:T 是系統(tǒng)動(dòng)能，它由兩部分組成，即擺動(dòng)體質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能TP以及繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能TZ(已經(jīng)在3．1 節(jié)討論過了)． 因?yàn)镺1既是坐標(biāo)系O1X1Y1Z1的原點(diǎn)，也是擺動(dòng)體質(zhì)心，故平動(dòng)動(dòng)能TP的表達(dá)式為

式中:(xO1yO1zO1)是O1點(diǎn)在OXYZ 坐標(biāo)下的坐標(biāo)值，頭上帶一個(gè)黑點(diǎn)表示對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)．VP為勢能，顯然有

式中:m 為擺動(dòng)體的質(zhì)量;g 為重力加速度．

2．3 固定繩長的表達(dá)式

既然將三根線繩的拉力看做系統(tǒng)的內(nèi)力，那么它們對于擺動(dòng)體的作用就要以約束的形式來存在． 約束的內(nèi)容是:在三線擺運(yùn)動(dòng)的過程中，A 點(diǎn)和a 點(diǎn)、B 點(diǎn)和b 點(diǎn)、C 點(diǎn)和c 點(diǎn)的距離等于連接各自點(diǎn)的線繩的長度． 忽略三線擺運(yùn)動(dòng)的過程中由于張力變化而引起的縱向弦振動(dòng)，令連接Aa點(diǎn)、Bb 點(diǎn)、Cc 點(diǎn)的3 條線繩的長度分別為l1，l2和l3． 根據(jù)矢量的三角形法則，可寫出3 個(gè)約鎖的隱式方程

式 中: rO1是 矢 量 OO1， 即 rO1=(xO1yO1zO1)(i j k)T． ra，rb和rc在 坐 標(biāo) 系O1X1Y1Z1的坐標(biāo)值是不隨時(shí)間變化的，但在實(shí)際編程運(yùn)算時(shí)，需要利用式(2)將它轉(zhuǎn)換到OXYZ坐標(biāo)系下才方便，因?yàn)槭?13)中其它矢量均在OXYZ 坐標(biāo)系下表達(dá)．

2．4 基于帶乘子拉格朗日方程的動(dòng)力學(xué)模型

對于主動(dòng)力均為有勢力，且具有約束的系統(tǒng)，可以有如下拉格朗日方程［7-8］

式中:qi為廣義坐標(biāo);˙qi為廣義速度;fj為約束;λj為待定乘子．

選擇xO1，yO1，zO1，ψ，θ，φ 作為廣義坐標(biāo)，實(shí)際上就是擺動(dòng)體的6 個(gè)自由度，相應(yīng)的廣義速度為˙xO1，˙yO1，˙zO1，˙ψ = ωψ，˙θ = ωθ，˙φ = ωφ． 約束共3 個(gè)，就是公式(13)所表達(dá)的線繩長度不變的3 個(gè)方程f1，f2和f3，相應(yīng)的待定乘子λ1，λ2和λ3是時(shí)間的函數(shù)． 顯然，i = 6，j = 3． 把根據(jù)公式(7)和(9)得到的各分量代入公式(4)，再將式(4)，(11)和(12)帶入(10)，就可以得到拉格朗日函數(shù)L 展開的表達(dá)式． 因式子冗長，這里省略．

至此，建立了非對稱三線擺的動(dòng)力學(xué)模型，整個(gè)模型是一個(gè)方程組，其中包含6 個(gè)常微分方程和3 個(gè)代數(shù)方程． 此方程組用來求解9 個(gè)未知函數(shù)，即xO1，yO1，zO1，ψ，θ，φ;λ1，λ2和λ3． 將上述方程組總結(jié)如下:

由于方程組非常復(fù)雜，無法得到其解析解，采用數(shù)值方法，即混合使用四階Rung-Kutta 法和牛頓迭代法來求解．

3 算 例

下面給出3 個(gè)算例． 各算例的擺動(dòng)體為質(zhì)量和半徑相同的鋁制空心圓盤，吊點(diǎn)位置相同，只是內(nèi)外圓的偏心量不同． 用這個(gè)簡單的偏心結(jié)構(gòu)來模擬實(shí)驗(yàn)中的偏心，各參數(shù)如表1 所示，其中長度單位均為m． 初始條件˙ψ = 0．1． 計(jì)算結(jié)果及分如見表2 所示． 為了表達(dá)清晰，算例中故意選用了較大的偏心．

表1 算例參數(shù)表Tab．1 The input parameters of calculational examples

表2 計(jì)算結(jié)果及分析Tab．2 The calculational results and analysis

上面的算例是關(guān)于擺動(dòng)體偏心這一種情形的．本文算例的目的是要表明:本文模型能夠用于估算在使用傳統(tǒng)三線擺時(shí)由于對稱性偏離而帶來的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測量誤差． 利用本文的模型，還可以用來計(jì)算其它不對稱的情況．

4 結(jié) 論

本文利用矢量幾何學(xué)、張量理論和分析力學(xué)的手段，描述了非對稱三線擺的幾何關(guān)系和它們的拉格朗日函數(shù)，并由此導(dǎo)出了由6 個(gè)二階常微分方程和3 個(gè)代數(shù)方程所組成的非對稱性三線擺動(dòng)力學(xué)模型． 整個(gè)建模過程中并沒任何對稱性要求，無需小角度假設(shè)． 本文僅有的兩個(gè)假設(shè)均是關(guān)于線繩的，即不考慮線繩質(zhì)量，同時(shí)也不考慮線繩在變化張力作用下的縱向振動(dòng)． 上述模型較復(fù)雜，無解析解． 在給定初始條件下利用數(shù)值方法來求解它． 利用該模型，能夠用于估算在使用傳統(tǒng)三線擺時(shí)由于對稱性偏離而帶來的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測量誤差．

當(dāng)某些被測體結(jié)構(gòu)比較特殊，難以滿足傳統(tǒng)三線擺所需的對稱性時(shí)，那么本文導(dǎo)出的模型有可能作為其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量的理論依據(jù)，即上述模型可以幫助設(shè)計(jì)各種更加符合工程實(shí)際情況的、更加靈活的三線擺結(jié)構(gòu)． 與本文模型相關(guān)的實(shí)驗(yàn)，擬另文討論．

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［3］鄒凌云． 基于三線擺慣性參數(shù)測量的研究［D］． 武漢:華中科技大學(xué)，2011．

［4］唐曉峰． 基于三線擺的動(dòng)力總成剛度慣性參數(shù)測試［J］． 上海汽車，2013，38(7):40-44．Tang Xiaofeng． The measurement of inertia parameters of power assembly based on trifilar pendulum［J］． Shanghai Automobiles，2013，38(7):40-44． (in Chinese)

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［7］馬爾契夫A P． 理論力學(xué)［M］． 北京:高等教育出版社，2006:44-45．

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