一種改進(jìn)的基于偏微分方程圖像的降噪算法

董嬋嬋，武懷彬，張 芳，高小帆，桂志國

(1． 中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051;2． 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051)

0 引 言

圖像在獲取、傳輸和存儲的過程中往往會受到各種噪聲的影響，使圖像模糊不清，嚴(yán)重影響了圖像的分割、重建等后續(xù)處理． 因此，大多數(shù)字圖像處理的應(yīng)用都需要通過降噪和圖像恢復(fù)來提高圖像的質(zhì)量．

目前，關(guān)于圖像降噪的算法有:高斯濾波法，中值濾波法，均值濾波法等傳統(tǒng)的濾波方法，以及基于偏微分方程(Partial Differential Equation，PDE)的圖像濾波法［1-3］，小波濾波法［4］，非局部均值濾波法［5-6］等一些新穎的濾波技術(shù)． 圖像降噪的難點(diǎn)是如何在有效濾除圖像噪聲的同時(shí)保留圖像的大量細(xì)節(jié)信息． 在這些圖像降噪算法中，基于偏微分方程的圖像降噪算法取得了良好的效果．在20 世紀(jì)中葉，基于PDE 圖像降噪算法的研究大都是各項(xiàng)同性的，如熱傳導(dǎo)方程． 各項(xiàng)同性濾波器雖然可以有效地去除噪聲，但在濾除噪聲的同時(shí)也會使邊緣模糊，丟失了大量的圖像細(xì)節(jié)特征．1990 年，P．Perona［7］首先提出了各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型(P-M 模型)，它將圖像的濾波過程與邊緣檢測結(jié)合起來，通過擴(kuò)散系數(shù)來調(diào)節(jié)平滑程度，不僅可以有效地去除噪聲，而且可以保留大量的圖像細(xì)節(jié)特征． 但是，P-M 模型也有一些不足:處理結(jié)果會產(chǎn)生“階梯”效應(yīng)，方程是病態(tài)的，模型對圖像中脈沖噪聲和邊緣上的噪聲無效． 1992 年，F(xiàn)．Catte［8］等人對P-M 模型進(jìn)行了正則化處理，解決了P-M 模型的病態(tài)性問題． 由于P-M 模型只考慮了圖像的梯度信息，而噪聲的梯度有時(shí)比邊緣的梯度還要大，這會導(dǎo)致處理后的圖像中仍含有部分噪聲． 2010 年，S． M． Chao 和D． M． Tsai［9］在PM 模型的基礎(chǔ)上增加了圖像灰度方差的信息，可以進(jìn)一步去除圖像中灰度方差較小的噪聲． 針對P-M 模型的“階梯”效應(yīng)問題，Y． L． You 和M．Kaveh 通過增加偏微分導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，提出了經(jīng)典的四階PDE 降噪模型［10］． 該模型雖然可以克服P-M模型的“階梯”效應(yīng)，但它只考慮了水平與垂直方向的各項(xiàng)異性擴(kuò)散，這會使處理后的圖像丟失一些重要的細(xì)節(jié)信息． 2010 年，M． R． Hajiaboli［11］對經(jīng)典四階PDE 模型進(jìn)行了改進(jìn)，在傳統(tǒng)四階PDE 模型的基礎(chǔ)上增加了梯度方向和切線方向的各項(xiàng)異性擴(kuò)散，使處理后的圖像能夠保留更多的細(xì)節(jié)信息． 2011 年，Liu Xinwu［12］為了改善經(jīng)典四階PDE 模型，提出了在擴(kuò)散項(xiàng)前面乘以一個(gè)控制系數(shù)的方法． 該控制系數(shù)可以控制圖像的擴(kuò)散程度，使得在梯度大的邊緣處減小擴(kuò)散，而在梯度小的背景處增大擴(kuò)散，實(shí)現(xiàn)了在有效地去除噪聲的同時(shí)保留了大量細(xì)節(jié)特征的目的． 四階PDE 模型雖然可以保留大量的細(xì)節(jié)信息，而且消除了PM 模型的“階梯”效應(yīng)，但其降噪效率很低，仍需要進(jìn)一步的研究與改善． 2012 年，Guo Zhichang等人提出了基于變指數(shù)的自適應(yīng)P-M 圖像降噪模型［13］，它在圖像的內(nèi)部區(qū)域采用擴(kuò)散效果較好的熱傳導(dǎo)方程，在圖像的邊緣處采用保留邊緣效果較好的P-M 方程． 該算法也可以克服P-M 模型的“階梯”效應(yīng)，而且在有效去除噪聲的同時(shí)，能較好地保留邊緣等細(xì)節(jié)信息．

針對如何實(shí)現(xiàn)在有效去除噪聲的同時(shí)又能保留大量細(xì)節(jié)信息的問題，本文在S． M． Chao 和D．M．Tsai 提出模型的基礎(chǔ)上，對圖像進(jìn)行了正則化處理，并借鑒了Roman Garnet［14］等人提出的絕對差值排序檢測法． 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)算法能更加有效地去除噪聲并保留更多的細(xì)節(jié)信息．

1 算法的理論基礎(chǔ)

1．1 Chao 和Tsai 改進(jìn)的P-M 模型

P-M 方程的定義為

式中:It(x，y)是圖像中坐標(biāo)為(x，y)的像素在第t 次迭代時(shí)的灰度值;div 是散度算子;▽It(x，y)是坐標(biāo)為(x，y)處的梯度;ct為擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)，其在圖像降噪模型中廣泛使用的兩種形式為［15］

和

本文選擇式(3)的形式，其擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)的定義為

由于有些噪聲的梯度值與邊緣的梯度值相差無幾，或者更大，因此只依靠梯度信息來檢測邊緣是不夠的． 文獻(xiàn)［9］指出:即使在噪聲與邊緣的梯度值相似時(shí)，噪聲與邊緣處的灰度方差也可能相差很大，細(xì)節(jié)處的灰度方差明顯比噪聲處的灰度方差大． S．M．Chao 和D．M．Tsai 在P-M 模型的基礎(chǔ)上增加了灰度方差的信息，可以在去除噪聲的同時(shí)保留更多的細(xì)節(jié)．

通過在擴(kuò)散過程中包含梯度和灰度方差的局部特征，式(4)中的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)改為

式中:κ0為常數(shù);σ2t，N(x，y)為歸一化灰度方差．將式(5)代入式(1)中，得到此模型的離散化形式

1．2 絕對差值排序檢測法

為了表示出某個(gè)特定的像素值與它周圍的鄰域像素值強(qiáng)度的差異，R．Garnett 等人提出了一個(gè)局部圖像統(tǒng)計(jì)——絕對差值排序檢測法(Rank-Ordered Absolute Differences，ROAD)［14］． 其原理如下:設(shè)中心像素點(diǎn)的坐標(biāo)為x=(x1，x2)，則

表示中心為x，大小為(2N +1)×(2N +1)個(gè)像素點(diǎn)的集合，其中N 為正整數(shù)． Ω0x= Ωx(1){x}表示3 ×3 鄰域中除去中心點(diǎn)的像素點(diǎn)的集合． 對于每一個(gè)點(diǎn)y ∈Ω0x，定義dx，y為像素x 與y 強(qiáng)度差的絕對值

然后將dx，y中的值按升序排列，并定義

式中:2 ≤m ≤7;ri(x)表示第i 小的

ROAD 提供了一個(gè)計(jì)算像素與它周圍最相似的4 個(gè)鄰域像素之間相似度的方法． 由于圖像的內(nèi)部區(qū)域及邊緣都具有連續(xù)性，所以在它周圍的8 個(gè)鄰域中，至少有4 個(gè)鄰域值與中心像素的強(qiáng)度相似，說明其ROAD 值較?。?而噪聲會使中心像素與大多數(shù)或所有的鄰域像素在強(qiáng)度上相差很大，說明ROAD 值較大． 因此，通過ROAD 值的大小可以區(qū)分出邊緣與噪聲．

2 本文提出的算法

受絕對差值排序檢測法、正則化以及S． M．Chao 和D． M． Tsai 提出模型的啟發(fā)，提出了本文算法，并使處理后的圖像得到了進(jìn)一步的改善．

由于S．M．Chao 和D．M．Tsai 提出的模型仍具有病態(tài)性，本文通過對其進(jìn)行正則化處理，用Gσ▽I(x，y)來代替▽I(x，y)，克服了模型的病態(tài)性，可以更有效地去除圖像中大梯度的噪聲點(diǎn)．

雖然S．M．Chao 和D．M．Tsai 在P-M 模型的基礎(chǔ)上增加了灰度方差的信息，使得在相同的迭代次數(shù)下能夠更好地保持邊緣等細(xì)節(jié)信息，并去除了部分灰度方差小的噪聲點(diǎn)，但是該模型的處理結(jié)果中仍含有一些噪聲點(diǎn)． 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:高斯噪聲中部分噪聲點(diǎn)的ROAD 值較大，而在圖像像素(即使是邊緣像素)處其值較小，也就是說ROAD 可以分辨出噪聲與邊緣細(xì)節(jié)，進(jìn)而可以更好地去除噪聲． 因此，將絕對差值排序檢測法添加到正則化后的S．M．Chao 和D．M．Tsai 提出的模型中，則式(6)可以改為

其中:

▽Ii

t(x，y)(i = 1，2，3，4)分別代表上、下、右、左4 個(gè)鄰域方向的梯度，即

擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)的定義為

對于一個(gè)坐標(biāo)為(x，y)的像素，在第t 次迭代時(shí)，灰度方差是從它的3 ×3 鄰域中計(jì)算得到的，即

式中:ˉIt(x，y)是3 ×3 鄰域窗口的平均灰度值． 對于一個(gè)8 位灰度圖像，歸一化的灰度方差由式(13)給出

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本算法的性能，本文以大小為256 ×256，受到方差為0．002的高斯白噪聲污染的Lena圖像為實(shí)驗(yàn)對象，將算法的處理結(jié)果與P-M 模型以及S．M．Chao 和D．M．Tsai 提出模型的處理結(jié)果做比較，如圖1 所示． 由圖1 可以看出，(d)圖帽子上的紋理比(c)圖保留的更多，說明S． M． Chao和D．M．Tsai 的模型比傳統(tǒng)P-M 模型保留了更多的細(xì)節(jié)信息，性能更好;但是，也可以看到兩幅圖像中都有一些噪聲點(diǎn)沒有去除． 而(e)圖中Lena帽子上的紋理比(d)圖中保留的更多也更清晰，且(e)圖中不再存在大的斑點(diǎn)噪聲． 綜上所述，本算法比P-M 模型、S．M．Chao 和D．M．Tsai 所提模型能更好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息，噪聲去除的更干凈，性能更好．

圖1 Lena 圖像去噪結(jié)果比較Fig．1 Comparison of the denoising effect on a Lena image

為了對算法進(jìn)行客觀、定量的評價(jià)，本文采用較常用的信噪比、均方誤差、峰值信噪比來評價(jià)處理后圖像的質(zhì)量．

1)信噪比

式中:σ［f(x，y)］和σ［n(x，y)］分別是圖像和噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差． 信噪比越高，圖像的質(zhì)量越好，噪聲越少．

2)均方誤差

式中:f(m，n)是仿真模型的灰度值;ˉf(m，n)是去噪后圖像的灰度值． MSE 表示去噪后圖像與原始圖像之間的差異，MSE 越小，去噪效果越好．

3)峰值信噪比

PSNR 是圖像信噪比變化情況的統(tǒng)計(jì)平均，PSNR 值越大，圖像失真越少． 在8 位量化的灰度圖像中，通常取Peak=255．

表1 算法的質(zhì)量評估參數(shù)Tab．1 Quality evaluation parameters of algorithms

表1 列出了兩種算法的圖像質(zhì)量評估參數(shù)，由此可以看出，本文所提算法的信噪比較高，均方誤差較小，峰值信噪比較大． 說明本算法處理后的圖像質(zhì)量較好，能夠有效地去除噪聲，并保留了圖像的邊緣等重要細(xì)節(jié)特征．

4 結(jié)束語

本文使用正則化和鄰域絕對值差分法，對S．M．Chao 和D．M．Tsai 提出的模型進(jìn)行了改進(jìn)． 引入正則化可以解決方程的病態(tài)性問題，引入絕對差值排序檢測法可以更有效地區(qū)分噪聲與邊緣，實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步降噪的目的． 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文提出的模型比S．M．Chao 和D．M．Tsai 提出的模型以及傳統(tǒng)P-M 模型更好地保留了細(xì)節(jié)信息，并有效地去除了噪聲，對圖像處理進(jìn)一步的研究有一定的意義．

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