一道拋物線背景中考壓軸題的命制與反思

農(nóng)學(xué)寧

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程總體目標(biāo)中明確提出了“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突出了學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，這也是中考命題必須遵循的準(zhǔn)則.利用函數(shù)刻畫動(dòng)態(tài)幾何圖形的綜合問題，具有較好的區(qū)分度，這類問題集代數(shù)、幾何知識于一體，綜合考查了學(xué)生利用函數(shù)模型解決圖形變化問題的能力.現(xiàn)筆者就此談?wù)剮c(diǎn)看法.

一、試題呈現(xiàn)

題目：（2013年廣西南寧卷第26題）如圖1，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0）、D（0，-1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn).直線l過點(diǎn)E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

二、試題命制的過程

（一）命制試題的最初動(dòng)機(jī)

近幾年來，全區(qū)各地的中考數(shù)學(xué)壓軸題均是以拋物線為背景的形式出現(xiàn)，主要命題方向是動(dòng)點(diǎn)問題、函數(shù)的最值問題、三角形與四邊形的動(dòng)態(tài)分類問題.主要考查二次函數(shù)解析式、最值問題的求解及基本幾何圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想.然而這樣“架構(gòu)”的試題已經(jīng)是鋪天蓋地.通過調(diào)研筆者發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)校都進(jìn)行了這類題型的模式化訓(xùn)練.所以如果今年的中考題仍然是以這類題型出現(xiàn)的話，勢必會(huì)使得教師在以后的教學(xué)中采用題海戰(zhàn)術(shù)以應(yīng)付中考，同時(shí)壓軸題的選拔性也就不能充分地體現(xiàn)出來.另外，由于南寧市的中考肩負(fù)著學(xué)生畢業(yè)與升學(xué)的兩項(xiàng)任務(wù)，因此在試題的命制上就要充分考慮基礎(chǔ)知識的掌握和初、高中的銜接問題.

（二）命制試題的陳題起點(diǎn)

命制試題的起點(diǎn)主要是受到以下兩道高考題的啟發(fā).

題目2：（2001年全國高考卷第20題）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

（三）命制試題的策略與方法

命題之初的主要思路是避開近年來在拋物線背景下的常見題型，如動(dòng)點(diǎn)問題、面積或周長的最值問題、由動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的圖形分類問題等.這些類型的問題在平時(shí)必然已經(jīng)進(jìn)行了大量的強(qiáng)化訓(xùn)練，如果還是命制這種類型的試題，考試將失去選拔的意義.另外，對于定值型問題的設(shè)問，在本市的中考中還沒有出現(xiàn)過，具有一定的數(shù)學(xué)思維價(jià)值.

立足高考數(shù)學(xué)試題改編中考試題，最重要的是解題的方法與策略.所命制的試題應(yīng)既可以用高中的知識與方法解決，也可以用初中范圍內(nèi)的知識與方法解決，同時(shí)不能超出課標(biāo)的要求.上述兩道高考題可能會(huì)在以下幾個(gè)方面引起學(xué)生的解題困難.

1.高考題的語言陳述一般比較簡潔，學(xué)生沒有學(xué)過“拋物線y=ax2的焦點(diǎn)”和“開口向右的拋物線”的知識.這會(huì)給學(xué)生造成一定的理解困難.

2.高考題中運(yùn)用的核心知識點(diǎn)是拋物線的定義，這知識點(diǎn)在初中是沒有的.所以要解決最終的問題就要先證明“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等”這一結(jié)論.

3.定值問題常常是數(shù)學(xué)中的變與不變的問題，在高中此類問題是可以通過設(shè)元的方法解決的，而這種方法會(huì)用到二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理，把幾何問題通過代數(shù)運(yùn)算而得以解決.二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理這兩個(gè)知識點(diǎn)在初中的教材學(xué)習(xí)中要求已經(jīng)削弱了，這樣使得學(xué)生只能用幾何證明的方法去解決，導(dǎo)致學(xué)生解題有較大的難度.

試題改編的方法：首先，給出兩個(gè)特殊點(diǎn)求解析式，這樣主要是考查學(xué)生待定系數(shù)法的運(yùn)用，從而降低試題的難度，也使學(xué)生有一定的信心去接觸后面的問題.其次，設(shè)置第（2）問的目的是為第（3）問的探究鋪路.因?yàn)樯倭说冢?）問的轉(zhuǎn)化思想，第（3）問就會(huì)無從下手.再次，第（3）問不是直接的證明，而是設(shè)一個(gè)小問，先求出再進(jìn)一步證明，為學(xué)生尋求問題的答案指明方向.

（四）試題改編過程中出現(xiàn)的問題與解決辦法

問題1：為了使試題有一定的梯度，第一小題還是要考查二次函數(shù)解析式的求解.構(gòu)造y=ax2過于簡單，同時(shí)也會(huì)和其他中考題相類似.

2-1，這時(shí)求拋物線的解析式難度不大，同時(shí)拋物線的焦點(diǎn)在原點(diǎn)位置，圖形和解析式都比較簡潔，為后面的設(shè)問減少運(yùn)算量打下基礎(chǔ).

問題2：第（3）小問要用到拋物線的定義，而在初中，學(xué)生沒有學(xué)習(xí)該知識點(diǎn).

解決辦法：在第（2）問里就要對這一結(jié)論先進(jìn)行證明.但證明的方法不能用高中解析幾何中的解析法，因?yàn)槌踔袑Χ魏瘮?shù)的判別式及韋達(dá)定理都已經(jīng)弱化了.此題用數(shù)形結(jié)合的思想、設(shè)元、勾股定理等方法均可證明，這也是初中解決二次函數(shù)相關(guān)問題的常用方法，所以筆者認(rèn)為此題難度適中.另外，第（2）問本身的結(jié)論應(yīng)是兩個(gè)結(jié)果，即AO=AM，BO=BN.但是證明過程用的是相同的方法，所以只要證明其中之一就可以了.若學(xué)生是連接OM，并想通過證明等腰三角形的方法來證明，則不易證明出來.

三、得分情況

1.本題零分卷較多，約占總?cè)藬?shù)的65%，其中空白卷又約占80%.本題第（1）問屬于基礎(chǔ)知識、基本技能送分題，但仍有大部分學(xué)生丟分.原因：①心理因素.認(rèn)為最后的壓軸題都是難題，沒有信心讀題答題；②學(xué)生答題速度慢，按部就班答題，沒有掌握答題得分技巧，以致沒有足夠時(shí)間做到最后一題；③基本運(yùn)算能力太差.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式出錯(cuò)，導(dǎo)致做了解答但不得分.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程總體目標(biāo)中明確提出了“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突出了學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，這也是中考命題必須遵循的準(zhǔn)則.利用函數(shù)刻畫動(dòng)態(tài)幾何圖形的綜合問題，具有較好的區(qū)分度，這類問題集代數(shù)、幾何知識于一體，綜合考查了學(xué)生利用函數(shù)模型解決圖形變化問題的能力.現(xiàn)筆者就此談?wù)剮c(diǎn)看法.

一、試題呈現(xiàn)

題目：（2013年廣西南寧卷第26題）如圖1，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0）、D（0，-1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn).直線l過點(diǎn)E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

二、試題命制的過程

（一）命制試題的最初動(dòng)機(jī)

近幾年來，全區(qū)各地的中考數(shù)學(xué)壓軸題均是以拋物線為背景的形式出現(xiàn)，主要命題方向是動(dòng)點(diǎn)問題、函數(shù)的最值問題、三角形與四邊形的動(dòng)態(tài)分類問題.主要考查二次函數(shù)解析式、最值問題的求解及基本幾何圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想.然而這樣“架構(gòu)”的試題已經(jīng)是鋪天蓋地.通過調(diào)研筆者發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)校都進(jìn)行了這類題型的模式化訓(xùn)練.所以如果今年的中考題仍然是以這類題型出現(xiàn)的話，勢必會(huì)使得教師在以后的教學(xué)中采用題海戰(zhàn)術(shù)以應(yīng)付中考，同時(shí)壓軸題的選拔性也就不能充分地體現(xiàn)出來.另外，由于南寧市的中考肩負(fù)著學(xué)生畢業(yè)與升學(xué)的兩項(xiàng)任務(wù)，因此在試題的命制上就要充分考慮基礎(chǔ)知識的掌握和初、高中的銜接問題.

（二）命制試題的陳題起點(diǎn)

命制試題的起點(diǎn)主要是受到以下兩道高考題的啟發(fā).

題目2：（2001年全國高考卷第20題）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

（三）命制試題的策略與方法

命題之初的主要思路是避開近年來在拋物線背景下的常見題型，如動(dòng)點(diǎn)問題、面積或周長的最值問題、由動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的圖形分類問題等.這些類型的問題在平時(shí)必然已經(jīng)進(jìn)行了大量的強(qiáng)化訓(xùn)練，如果還是命制這種類型的試題，考試將失去選拔的意義.另外，對于定值型問題的設(shè)問，在本市的中考中還沒有出現(xiàn)過，具有一定的數(shù)學(xué)思維價(jià)值.

立足高考數(shù)學(xué)試題改編中考試題，最重要的是解題的方法與策略.所命制的試題應(yīng)既可以用高中的知識與方法解決，也可以用初中范圍內(nèi)的知識與方法解決，同時(shí)不能超出課標(biāo)的要求.上述兩道高考題可能會(huì)在以下幾個(gè)方面引起學(xué)生的解題困難.

1.高考題的語言陳述一般比較簡潔，學(xué)生沒有學(xué)過“拋物線y=ax2的焦點(diǎn)”和“開口向右的拋物線”的知識.這會(huì)給學(xué)生造成一定的理解困難.

2.高考題中運(yùn)用的核心知識點(diǎn)是拋物線的定義，這知識點(diǎn)在初中是沒有的.所以要解決最終的問題就要先證明“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等”這一結(jié)論.

3.定值問題常常是數(shù)學(xué)中的變與不變的問題，在高中此類問題是可以通過設(shè)元的方法解決的，而這種方法會(huì)用到二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理，把幾何問題通過代數(shù)運(yùn)算而得以解決.二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理這兩個(gè)知識點(diǎn)在初中的教材學(xué)習(xí)中要求已經(jīng)削弱了，這樣使得學(xué)生只能用幾何證明的方法去解決，導(dǎo)致學(xué)生解題有較大的難度.

試題改編的方法：首先，給出兩個(gè)特殊點(diǎn)求解析式，這樣主要是考查學(xué)生待定系數(shù)法的運(yùn)用，從而降低試題的難度，也使學(xué)生有一定的信心去接觸后面的問題.其次，設(shè)置第（2）問的目的是為第（3）問的探究鋪路.因?yàn)樯倭说冢?）問的轉(zhuǎn)化思想，第（3）問就會(huì)無從下手.再次，第（3）問不是直接的證明，而是設(shè)一個(gè)小問，先求出再進(jìn)一步證明，為學(xué)生尋求問題的答案指明方向.

（四）試題改編過程中出現(xiàn)的問題與解決辦法

問題1：為了使試題有一定的梯度，第一小題還是要考查二次函數(shù)解析式的求解.構(gòu)造y=ax2過于簡單，同時(shí)也會(huì)和其他中考題相類似.

2-1，這時(shí)求拋物線的解析式難度不大，同時(shí)拋物線的焦點(diǎn)在原點(diǎn)位置，圖形和解析式都比較簡潔，為后面的設(shè)問減少運(yùn)算量打下基礎(chǔ).

問題2：第（3）小問要用到拋物線的定義，而在初中，學(xué)生沒有學(xué)習(xí)該知識點(diǎn).

解決辦法：在第（2）問里就要對這一結(jié)論先進(jìn)行證明.但證明的方法不能用高中解析幾何中的解析法，因?yàn)槌踔袑Χ魏瘮?shù)的判別式及韋達(dá)定理都已經(jīng)弱化了.此題用數(shù)形結(jié)合的思想、設(shè)元、勾股定理等方法均可證明，這也是初中解決二次函數(shù)相關(guān)問題的常用方法，所以筆者認(rèn)為此題難度適中.另外，第（2）問本身的結(jié)論應(yīng)是兩個(gè)結(jié)果，即AO=AM，BO=BN.但是證明過程用的是相同的方法，所以只要證明其中之一就可以了.若學(xué)生是連接OM，并想通過證明等腰三角形的方法來證明，則不易證明出來.

三、得分情況

1.本題零分卷較多，約占總?cè)藬?shù)的65%，其中空白卷又約占80%.本題第（1）問屬于基礎(chǔ)知識、基本技能送分題，但仍有大部分學(xué)生丟分.原因：①心理因素.認(rèn)為最后的壓軸題都是難題，沒有信心讀題答題；②學(xué)生答題速度慢，按部就班答題，沒有掌握答題得分技巧，以致沒有足夠時(shí)間做到最后一題；③基本運(yùn)算能力太差.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式出錯(cuò)，導(dǎo)致做了解答但不得分.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程總體目標(biāo)中明確提出了“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突出了學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，這也是中考命題必須遵循的準(zhǔn)則.利用函數(shù)刻畫動(dòng)態(tài)幾何圖形的綜合問題，具有較好的區(qū)分度，這類問題集代數(shù)、幾何知識于一體，綜合考查了學(xué)生利用函數(shù)模型解決圖形變化問題的能力.現(xiàn)筆者就此談?wù)剮c(diǎn)看法.

一、試題呈現(xiàn)

題目：（2013年廣西南寧卷第26題）如圖1，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0）、D（0，-1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn).直線l過點(diǎn)E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

二、試題命制的過程

（一）命制試題的最初動(dòng)機(jī)

近幾年來，全區(qū)各地的中考數(shù)學(xué)壓軸題均是以拋物線為背景的形式出現(xiàn)，主要命題方向是動(dòng)點(diǎn)問題、函數(shù)的最值問題、三角形與四邊形的動(dòng)態(tài)分類問題.主要考查二次函數(shù)解析式、最值問題的求解及基本幾何圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想.然而這樣“架構(gòu)”的試題已經(jīng)是鋪天蓋地.通過調(diào)研筆者發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)校都進(jìn)行了這類題型的模式化訓(xùn)練.所以如果今年的中考題仍然是以這類題型出現(xiàn)的話，勢必會(huì)使得教師在以后的教學(xué)中采用題海戰(zhàn)術(shù)以應(yīng)付中考，同時(shí)壓軸題的選拔性也就不能充分地體現(xiàn)出來.另外，由于南寧市的中考肩負(fù)著學(xué)生畢業(yè)與升學(xué)的兩項(xiàng)任務(wù)，因此在試題的命制上就要充分考慮基礎(chǔ)知識的掌握和初、高中的銜接問題.

（二）命制試題的陳題起點(diǎn)

命制試題的起點(diǎn)主要是受到以下兩道高考題的啟發(fā).

題目2：（2001年全國高考卷第20題）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

（三）命制試題的策略與方法

命題之初的主要思路是避開近年來在拋物線背景下的常見題型，如動(dòng)點(diǎn)問題、面積或周長的最值問題、由動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的圖形分類問題等.這些類型的問題在平時(shí)必然已經(jīng)進(jìn)行了大量的強(qiáng)化訓(xùn)練，如果還是命制這種類型的試題，考試將失去選拔的意義.另外，對于定值型問題的設(shè)問，在本市的中考中還沒有出現(xiàn)過，具有一定的數(shù)學(xué)思維價(jià)值.

立足高考數(shù)學(xué)試題改編中考試題，最重要的是解題的方法與策略.所命制的試題應(yīng)既可以用高中的知識與方法解決，也可以用初中范圍內(nèi)的知識與方法解決，同時(shí)不能超出課標(biāo)的要求.上述兩道高考題可能會(huì)在以下幾個(gè)方面引起學(xué)生的解題困難.

1.高考題的語言陳述一般比較簡潔，學(xué)生沒有學(xué)過“拋物線y=ax2的焦點(diǎn)”和“開口向右的拋物線”的知識.這會(huì)給學(xué)生造成一定的理解困難.

2.高考題中運(yùn)用的核心知識點(diǎn)是拋物線的定義，這知識點(diǎn)在初中是沒有的.所以要解決最終的問題就要先證明“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等”這一結(jié)論.

3.定值問題常常是數(shù)學(xué)中的變與不變的問題，在高中此類問題是可以通過設(shè)元的方法解決的，而這種方法會(huì)用到二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理，把幾何問題通過代數(shù)運(yùn)算而得以解決.二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理這兩個(gè)知識點(diǎn)在初中的教材學(xué)習(xí)中要求已經(jīng)削弱了，這樣使得學(xué)生只能用幾何證明的方法去解決，導(dǎo)致學(xué)生解題有較大的難度.

試題改編的方法：首先，給出兩個(gè)特殊點(diǎn)求解析式，這樣主要是考查學(xué)生待定系數(shù)法的運(yùn)用，從而降低試題的難度，也使學(xué)生有一定的信心去接觸后面的問題.其次，設(shè)置第（2）問的目的是為第（3）問的探究鋪路.因?yàn)樯倭说冢?）問的轉(zhuǎn)化思想，第（3）問就會(huì)無從下手.再次，第（3）問不是直接的證明，而是設(shè)一個(gè)小問，先求出再進(jìn)一步證明，為學(xué)生尋求問題的答案指明方向.

（四）試題改編過程中出現(xiàn)的問題與解決辦法

問題1：為了使試題有一定的梯度，第一小題還是要考查二次函數(shù)解析式的求解.構(gòu)造y=ax2過于簡單，同時(shí)也會(huì)和其他中考題相類似.

2-1，這時(shí)求拋物線的解析式難度不大，同時(shí)拋物線的焦點(diǎn)在原點(diǎn)位置，圖形和解析式都比較簡潔，為后面的設(shè)問減少運(yùn)算量打下基礎(chǔ).

問題2：第（3）小問要用到拋物線的定義，而在初中，學(xué)生沒有學(xué)習(xí)該知識點(diǎn).

解決辦法：在第（2）問里就要對這一結(jié)論先進(jìn)行證明.但證明的方法不能用高中解析幾何中的解析法，因?yàn)槌踔袑Χ魏瘮?shù)的判別式及韋達(dá)定理都已經(jīng)弱化了.此題用數(shù)形結(jié)合的思想、設(shè)元、勾股定理等方法均可證明，這也是初中解決二次函數(shù)相關(guān)問題的常用方法，所以筆者認(rèn)為此題難度適中.另外，第（2）問本身的結(jié)論應(yīng)是兩個(gè)結(jié)果，即AO=AM，BO=BN.但是證明過程用的是相同的方法，所以只要證明其中之一就可以了.若學(xué)生是連接OM，并想通過證明等腰三角形的方法來證明，則不易證明出來.

三、得分情況

1.本題零分卷較多，約占總?cè)藬?shù)的65%，其中空白卷又約占80%.本題第（1）問屬于基礎(chǔ)知識、基本技能送分題，但仍有大部分學(xué)生丟分.原因：①心理因素.認(rèn)為最后的壓軸題都是難題，沒有信心讀題答題；②學(xué)生答題速度慢，按部就班答題，沒有掌握答題得分技巧，以致沒有足夠時(shí)間做到最后一題；③基本運(yùn)算能力太差.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式出錯(cuò)，導(dǎo)致做了解答但不得分.