體驗(yàn)·建構(gòu)·領(lǐng)悟

徐敏紅

意義建構(gòu)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)的核心環(huán)節(jié)，它是由學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景，以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長點(diǎn)，對(duì)外部信息進(jìn)行主動(dòng)的選擇、加工、處理和轉(zhuǎn)換，體驗(yàn)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造中充實(shí)而深刻、豐富而完整的學(xué)習(xí)歷程，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化的過程.下面談?wù)劰P者對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中意義建構(gòu)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.

一、意義建構(gòu)的基礎(chǔ)——師生的情感交流與情感共鳴

寬松、和諧、民主的課堂學(xué)習(xí)氣氛是意義建構(gòu)的基礎(chǔ)，是學(xué)生樹立信心、主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過程的前提.

情感是課堂教學(xué)的潤滑劑、催化劑.

課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)充溢師生情感交流，引起師生情感共鳴、思維共振.

1.相互尊重.師生的關(guān)系是“我-你”關(guān)系，即“主體與主體”的關(guān)系，只有教師與學(xué)生互相尊重，真誠交往，共同探索真理，交流人生體驗(yàn)，才能建立和諧、民主的師生關(guān)系，實(shí)現(xiàn)雙方主體性的建構(gòu)和發(fā)展.

2.以情激情.教師要以情動(dòng)人，用自己的積極情感去感染學(xué)生，

營造富于人情味的學(xué)習(xí)氛圍

，讓學(xué)生深切體會(huì)到教師的鼓勵(lì)與肯定.

3.全員參與.意義建構(gòu)強(qiáng)調(diào)讓每個(gè)學(xué)生都能體驗(yàn)到“我是集體活動(dòng)的重要一員”，讓每個(gè)學(xué)生體驗(yàn)到課堂數(shù)學(xué)活動(dòng)本身的樂趣，享受思維的幸福感，產(chǎn)生愉悅的情感體驗(yàn).

二、意義建構(gòu)的載體——問題情境

“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”心理學(xué)研究表明，學(xué)生的思維總是由問題開始，在解決問題中得到發(fā)展.問題情境包含兩層含義：一是問題，問題是指學(xué)生個(gè)體與已有認(rèn)知產(chǎn)生矛盾沖突，不能理解或不能正確解答的結(jié)構(gòu)；二是情境，即數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生或應(yīng)用的具體環(huán)境.

問題情境的設(shè)置要考慮學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，符合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，引起學(xué)生的關(guān)注，激發(fā)學(xué)生探索的欲望.具體如下.

【案例1】函數(shù)的概念教學(xué).（蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·必修1）

問題背景：事物都是運(yùn)動(dòng)變化著的，我們可以感受到它們的變化.如

清晨，太陽從東方冉冉升起；

溫度隨時(shí)間在悄悄地改變；

隨著二氧化碳的大量排放，地球正在逐漸變暖；

中國的國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年增長

……

問題1：在初中，我們是如何認(rèn)識(shí)函數(shù)這個(gè)概念的？學(xué)過哪些函數(shù)？

[讓學(xué)生就問題1略加討論，作為討論的一部分，教師出示教材中的3個(gè)例子（出示具體的問題情境：人口統(tǒng)計(jì)表、自由落體運(yùn)動(dòng)公式、溫度曲線圖），并提出問題2]

問題2：在上述3個(gè)問題中，有無共同的特點(diǎn)？是否確定了函數(shù)關(guān)系？為什么？

（通過對(duì)問題2的討論，幫助學(xué)生回憶初中所學(xué)的函數(shù)概念，再引導(dǎo)學(xué)生回答問題1）

問題3：能否用集合的觀點(diǎn)來重新解釋函數(shù)的概念？

問題4：如何用集合的語言來闡述上述3個(gè)例子中的共同特點(diǎn)？

得出結(jié)論：函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集之間的單值對(duì)應(yīng)，即一個(gè)輸入值確定一個(gè)輸出值.

（1）結(jié)論是不是正確地概括了例子的共同特征？

（2）比較上述認(rèn)識(shí)和初中函數(shù)概念有無本質(zhì)上的差異？

（3）一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等是否也具有上述特征？

（4）你能進(jìn)一步舉出一些函數(shù)的例子嗎？它們具有上述特征嗎？

（作為例子，可以討論課本P24的練習(xí)）

問題5：如何用集合的觀點(diǎn)來表述函數(shù)的概念？

問題6：你認(rèn)為對(duì)一個(gè)函數(shù)來說，最重要的是什么？初中的函數(shù)定義和今天函數(shù)的定義有什么區(qū)別？

問題7：能否用函數(shù)模型來進(jìn)一步描述和解釋我們周圍的世界？

三、意義建構(gòu)的過程——高層次思維

發(fā)展數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教育的核心.在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師一般在教學(xué)之初先講解所要學(xué)習(xí)的概念和原理，而后再讓學(xué)生去做一定的練習(xí)，嘗試去解答有關(guān)的習(xí)題，其潛在的假設(shè)是學(xué)與做是兩個(gè)過程，必須先學(xué)了，先知道了，才能去做，去解決有關(guān)的問題.

意義建構(gòu)則要求學(xué)生通過高層次思維活動(dòng)來學(xué)習(xí)，而教師則以相反的思路來設(shè)計(jì)教學(xué)，針對(duì)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容設(shè)計(jì)出具有思考價(jià)值的、有意義的問題，讓學(xué)生去思考、去嘗試解決.學(xué)生不斷思考，不斷對(duì)各種信息進(jìn)行加工、轉(zhuǎn)換，形成新的假設(shè)或猜想，并通過一定的方式作出檢驗(yàn).在這過程中，教師可以提供一定的支持和引導(dǎo)，組織學(xué)生討論、合作，但不能妨礙學(xué)生的獨(dú)立思考，而應(yīng)配合、促進(jìn)他們思考解決問題.意義建構(gòu)對(duì)教學(xué)提出了各種不同的思路和方案，但“通過問題解決來學(xué)習(xí)”是一條核心思路.

【案例2】《直線與平面平行的判定定理》教學(xué)設(shè)計(jì)片斷

（蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·必修2，教材對(duì)其證明不作要求）.

（1）怎樣判斷直線與平面線面平行？能否直接使用定義？

（2）教室里黑板面與天花板面所在的平面的交線與教室地面有何關(guān)系？（平行）

為什么平行？理由是什么？

（3）怎樣去判斷平面外一條直線與這個(gè)平面平行？

也即證明這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都無公共點(diǎn).

（4）“任何一條”是一個(gè)無限問題，要證明一條直線與無限條在一個(gè)平面內(nèi)有不同位置關(guān)系的直線都沒有公共點(diǎn)，幾乎是不可能實(shí)現(xiàn)的.但“無限”是否可以向“有限”轉(zhuǎn)化去解決呢？

（5）從“有限”的最特殊的情況做起，平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線無交點(diǎn)，線線是否平行？（得出兩種情形：異面或平行）

（6）若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線異面，線面是否平行？（舉反例，否定）

若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，線面是否平行？（有沒有反例？好像舉不出來）

（7）再舉反例試試看：假設(shè)不平行，那么直線與平面必相交，這時(shí)直線與平面必有一個(gè)交點(diǎn).現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們判斷一下這個(gè)交點(diǎn)與平面內(nèi)的這條直線有什么位置關(guān)系？（在直線上或直線外）

若點(diǎn)在直線上，有什么結(jié)論？（平面外的直線與平面內(nèi)的直線相交）可能嗎？（不可能，與題設(shè)矛盾）

若點(diǎn)在直線外，有什么結(jié)論？（平面外的直線與平面內(nèi)的直線異面）可能嗎？（不可能，與題設(shè)矛盾）

這說明了什么？

（8）能否歸納出線面平行的判斷方法？

上述意義建構(gòu)的整個(gè)思維過程，充分體現(xiàn)了在解決問題時(shí)化“抽象”為“具體”、化“無限”為“有限”、化“一般”為“特殊”，“分類”與“反駁”以及“正難則反”的高級(jí)思維軌跡.這里用到“異面直線的判定”，更體現(xiàn)了將新問題化歸為學(xué)生能解決的問題的思維方法.

四、意義建構(gòu)的控制——自我監(jiān)控與反思

自我監(jiān)控與反思的過程是意義建構(gòu)由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展的有效途徑.通過回味與反思，使學(xué)生體驗(yàn)從不同角度、不同知識(shí)和方法處理解決問題，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，揭示解題規(guī)律，體驗(yàn)成功，使學(xué)生擁有突破感和成功感.學(xué)生通過對(duì)問題探究解決過程的反思，認(rèn)識(shí)到自己思維過程和老師與其他同學(xué)的思維過程之間的差距，認(rèn)識(shí)到自己所走的彎路，從而使自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)得以優(yōu)化.

猜想①：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2上一點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程是x0x+y0y=r2.

猜想②：若P（x0，y0）是圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)，則過P的切線方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關(guān)系？還相切嗎？

（3）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，過P作圓的切線，求兩切點(diǎn)所在直線方程.

猜想③：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，過P作圓的切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程是x0x+y0y=r2.

（4）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關(guān)系？它具有怎樣的幾何意義？你能通過研究得出類似的結(jié)論嗎？

使學(xué)生不斷體驗(yàn)成功的樂趣是意義建構(gòu)不斷深化的重要保障，成功既是參與學(xué)習(xí)的結(jié)果，更是參與學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，教師通過自然障礙或有意識(shí)設(shè)置懸念，使學(xué)生心理上形成一種強(qiáng)烈的求知欲，產(chǎn)生企盼、渴知的心理狀態(tài)，欲答不能，欲罷不忍，而一次次逾越挫折，更使學(xué)生感到成功的可貴，自我體驗(yàn)更加深刻.教師應(yīng)成為意義建構(gòu)過程中深謀遠(yuǎn)慮的設(shè)計(jì)者、組織者、指導(dǎo)者和評(píng)估者，在教學(xué)方式上，不是停留在掌握知識(shí)的外部推動(dòng)，而是注重培養(yǎng)學(xué)生內(nèi)在的心智動(dòng)力.把人格的完善、情感的豐富、精神的提升作為教育的本質(zhì)要素，是學(xué)生獲得可持續(xù)發(fā)展以及終身學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).

若點(diǎn)在直線上，有什么結(jié)論？（平面外的直線與平面內(nèi)的直線相交）可能嗎？（不可能，與題設(shè)矛盾）

若點(diǎn)在直線外，有什么結(jié)論？（平面外的直線與平面內(nèi)的直線異面）可能嗎？（不可能，與題設(shè)矛盾）

這說明了什么？

（8）能否歸納出線面平行的判斷方法？

上述意義建構(gòu)的整個(gè)思維過程，充分體現(xiàn)了在解決問題時(shí)化“抽象”為“具體”、化“無限”為“有限”、化“一般”為“特殊”，“分類”與“反駁”以及“正難則反”的高級(jí)思維軌跡.這里用到“異面直線的判定”，更體現(xiàn)了將新問題化歸為學(xué)生能解決的問題的思維方法.

四、意義建構(gòu)的控制——自我監(jiān)控與反思

自我監(jiān)控與反思的過程是意義建構(gòu)由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展的有效途徑.通過回味與反思，使學(xué)生體驗(yàn)從不同角度、不同知識(shí)和方法處理解決問題，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，揭示解題規(guī)律，體驗(yàn)成功，使學(xué)生擁有突破感和成功感.學(xué)生通過對(duì)問題探究解決過程的反思，認(rèn)識(shí)到自己思維過程和老師與其他同學(xué)的思維過程之間的差距，認(rèn)識(shí)到自己所走的彎路，從而使自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)得以優(yōu)化.

猜想①：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2上一點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程是x0x+y0y=r2.

猜想②：若P（x0，y0）是圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)，則過P的切線方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關(guān)系？還相切嗎？

（3）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，過P作圓的切線，求兩切點(diǎn)所在直線方程.

猜想③：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，過P作圓的切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程是x0x+y0y=r2.

（4）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關(guān)系？它具有怎樣的幾何意義？你能通過研究得出類似的結(jié)論嗎？

使學(xué)生不斷體驗(yàn)成功的樂趣是意義建構(gòu)不斷深化的重要保障，成功既是參與學(xué)習(xí)的結(jié)果，更是參與學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，教師通過自然障礙或有意識(shí)設(shè)置懸念，使學(xué)生心理上形成一種強(qiáng)烈的求知欲，產(chǎn)生企盼、渴知的心理狀態(tài)，欲答不能，欲罷不忍，而一次次逾越挫折，更使學(xué)生感到成功的可貴，自我體驗(yàn)更加深刻.教師應(yīng)成為意義建構(gòu)過程中深謀遠(yuǎn)慮的設(shè)計(jì)者、組織者、指導(dǎo)者和評(píng)估者，在教學(xué)方式上，不是停留在掌握知識(shí)的外部推動(dòng)，而是注重培養(yǎng)學(xué)生內(nèi)在的心智動(dòng)力.把人格的完善、情感的豐富、精神的提升作為教育的本質(zhì)要素，是學(xué)生獲得可持續(xù)發(fā)展以及終身學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).

若點(diǎn)在直線上，有什么結(jié)論？（平面外的直線與平面內(nèi)的直線相交）可能嗎？（不可能，與題設(shè)矛盾）

若點(diǎn)在直線外，有什么結(jié)論？（平面外的直線與平面內(nèi)的直線異面）可能嗎？（不可能，與題設(shè)矛盾）

這說明了什么？

（8）能否歸納出線面平行的判斷方法？

上述意義建構(gòu)的整個(gè)思維過程，充分體現(xiàn)了在解決問題時(shí)化“抽象”為“具體”、化“無限”為“有限”、化“一般”為“特殊”，“分類”與“反駁”以及“正難則反”的高級(jí)思維軌跡.這里用到“異面直線的判定”，更體現(xiàn)了將新問題化歸為學(xué)生能解決的問題的思維方法.

四、意義建構(gòu)的控制——自我監(jiān)控與反思

自我監(jiān)控與反思的過程是意義建構(gòu)由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展的有效途徑.通過回味與反思，使學(xué)生體驗(yàn)從不同角度、不同知識(shí)和方法處理解決問題，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，揭示解題規(guī)律，體驗(yàn)成功，使學(xué)生擁有突破感和成功感.學(xué)生通過對(duì)問題探究解決過程的反思，認(rèn)識(shí)到自己思維過程和老師與其他同學(xué)的思維過程之間的差距，認(rèn)識(shí)到自己所走的彎路，從而使自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)得以優(yōu)化.

猜想①：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2上一點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程是x0x+y0y=r2.

猜想②：若P（x0，y0）是圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)，則過P的切線方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關(guān)系？還相切嗎？

（3）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，過P作圓的切線，求兩切點(diǎn)所在直線方程.

猜想③：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，過P作圓的切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程是x0x+y0y=r2.

（4）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關(guān)系？它具有怎樣的幾何意義？你能通過研究得出類似的結(jié)論嗎？

使學(xué)生不斷體驗(yàn)成功的樂趣是意義建構(gòu)不斷深化的重要保障，成功既是參與學(xué)習(xí)的結(jié)果，更是參與學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，教師通過自然障礙或有意識(shí)設(shè)置懸念，使學(xué)生心理上形成一種強(qiáng)烈的求知欲，產(chǎn)生企盼、渴知的心理狀態(tài)，欲答不能，欲罷不忍，而一次次逾越挫折，更使學(xué)生感到成功的可貴，自我體驗(yàn)更加深刻.教師應(yīng)成為意義建構(gòu)過程中深謀遠(yuǎn)慮的設(shè)計(jì)者、組織者、指導(dǎo)者和評(píng)估者，在教學(xué)方式上，不是停留在掌握知識(shí)的外部推動(dòng)，而是注重培養(yǎng)學(xué)生內(nèi)在的心智動(dòng)力.把人格的完善、情感的豐富、精神的提升作為教育的本質(zhì)要素，是學(xué)生獲得可持續(xù)發(fā)展以及終身學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).