分數(shù)階Rayleigh-Duffing-like系統(tǒng)的自適應追蹤廣義投影同步*

張燕蘭

(閩南師范大學計算機學院，漳州 363000)

引言

近來，混沌及其應用是非線性科學領域的重要研究方向之一，而混沌控制與同步是混沌理論應用的關鍵.混沌系統(tǒng)的追蹤控制與同步是通過對混沌系統(tǒng)施加控制使受控系統(tǒng)的輸出信號追蹤先給定的參考信號的一種控制類型.參考信號可以是相空間中的某一點，也可以是混沌系統(tǒng)輸出的混沌信號.若參考信號是混沌信號，這種追蹤控制同步便演變成驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的同步.因此，追蹤控制與同步是一種更廣義的同步，具有很好的應用前景.

自從1983年Mandelbort指出自然界及許多科學技術領域中存在大量分數(shù)維的事實，分數(shù)階微積分作為分形幾何和分數(shù)維動力學基礎的取得了很大的進展.有關分數(shù)階混沌系統(tǒng)的討論也隨之迅速增加.同時，分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步也取得了一些成果，比如［1-7］.但是遠沒有整數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步的結果豐富，有關分數(shù)階混沌系統(tǒng)的追蹤控制與同步的成果更少［8，9］.而分數(shù)階混沌系統(tǒng)因其自身的復雜性以及參數(shù)的選擇空間更大，在保密通信、信號處理等領域的應用上，要比整數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更大的密鑰空間，因而分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步更具研究價值.

廣義投影同步可以獲得原信號任意比例的輸出信號［10］，其在數(shù)字信號保密通信中可以實現(xiàn)快速通信.基于以上原因，本文討論分數(shù)階混沌系統(tǒng)的自適應追蹤廣義投影同步.本文考慮分數(shù)階Rayleigh-Duffing-like系統(tǒng)的自適應追蹤廣義投影同步，通過設計控制器和未知參數(shù)的辨識規(guī)則，實現(xiàn)含有隨機擾動的分數(shù)階Rayleigh-Duffing-like系統(tǒng)的自適應追蹤廣義投影同步.

1 分數(shù)階Rayleigh-Duffing-like系統(tǒng)的自適應追蹤廣義投影同步

著名的Duffing方程在非線性動力學系統(tǒng)的研究中占有重要的地位，迄今人們對其研究方興未艾.經(jīng)典的Duffing系統(tǒng)有很多推廣的形式，如復Duffing振子［11］，Rayleigh-Duffing振子［12］和Duffing-like振子［13］等.在文［14］中，Zhang和Luo結合Rayleigh振子和Duffing-like系統(tǒng)，提出了Rayleigh-Duffing-like系統(tǒng)(下面簡稱RDL系統(tǒng))，并用Melnikov方法判定該系統(tǒng)存在混沌解.RDL系統(tǒng)的方程表示為

含有噪聲擾動和未知參數(shù)的分數(shù)階RDL系統(tǒng)為

其中0為0到α的階Caputo微分，0＜α＜1，F(xiàn)未知，n(t)為高斯白噪聲.我們通過設計控制器和參數(shù)辨識規(guī)則使分數(shù)階系統(tǒng)(2)追蹤廣義投影同步參考信號(r1(t)，r2(t))，即

(σi為常數(shù)，i=1，2).先給出分數(shù)階系統(tǒng)

其中X=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，f(X，t)=(f1(X，t)，f2(X，t)，…，fn(X，t))T的平衡點穩(wěn)定性的命題.引理1.1 階數(shù)0＜α＜1的分數(shù)階動力系統(tǒng)(3)是局部漸近穩(wěn)定的，如果其相應的整數(shù)階系統(tǒng)是穩(wěn)定的［15］.

下面我們簡記0為Dα.對系統(tǒng)(2)施加控制項u1(t)，u2(t)，則受控的分數(shù)階RDL系統(tǒng)為

設F^為F的估計值，|n(t)|≤K.記誤差.

令(4)式減(σ1Dαr1，σ2Dαr2)T，則分數(shù)階誤差系統(tǒng)為

命題1.1 對分數(shù)階RDL系統(tǒng)(5)，若我們選擇控制規(guī)則為

以及參數(shù)更新規(guī)則:

則受控的分數(shù)階系統(tǒng)(4)可以追蹤同步給定的信號.

證明 考慮誤差系統(tǒng)

的穩(wěn)定性.

由于e2·n-K|e2|≤0，所以≤0.可見整數(shù)階誤差系統(tǒng)(6)穩(wěn)定.根據(jù)引理1.1，誤差系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(4)廣義投影同步給定的信號.

2 仿真

(1)第一種情況:r1=0，r2=0.在這種情況下，追蹤到r1，r2相當于控制系統(tǒng)(2)到原點.根據(jù)命題1.1，我們?nèi)】刂破鳛?

參數(shù)的更新規(guī)則為:

仿真結果:取α=0.98，μ=0.05，ω=1，F(xiàn)=0.4，高斯白噪聲的方差為1，系統(tǒng)的初值為(3，-2)，(0)=0.從圖1可見，x1，x2趨于平衡點，且趨于一個穩(wěn)定值，可作為F的估計值.

在不改變α，μ，ω，F(xiàn)，高斯白噪聲的方差的情況下，取系統(tǒng)的初值和(0)的值如下:

仿真結果表明，x1，x2都短時間內(nèi)趨于平衡點，F(xiàn)的估計值都趨于0.4左右的一個穩(wěn)定值.所以系統(tǒng)的初值和(0)的取值具有隨機性，對追蹤性能影響不大.

(2)第二種情況:r1，r2為分數(shù)階混沌系統(tǒng)的輸出信號.在這種情況下，追蹤到r1，r2相當于與該分數(shù)階混沌系統(tǒng)廣義投影同步.

圖1 系統(tǒng)(2)追蹤平衡點Fig.1 The system(2)tracks the equilibrium

我們假設r1，r2為分數(shù)階Duffing混沌系統(tǒng)的變量，即

則根據(jù)命題1.1，我們?nèi)】刂破鳛?

參數(shù)的更新規(guī)則為:

仿真結果:取α=0.98，μ=0.05，ω=1，F(xiàn)=0.4，l=0.5，k=0.8，σ1=-1，σ2=1，高斯白噪聲的方差為1，系統(tǒng)的初值為(-1，1)，(0)=0.從圖2可見，e1，e2趨于平衡點-0.4趨于0.

在不改變α，μ，ω，F(xiàn)，l，k，σ1，σ2，高斯白噪聲的方差的情況下，取系統(tǒng)的初值和(0)的值如下:

仿真結果表明，x1，x2分別短時間內(nèi)同步和反向同步于r1，r2，F(xiàn)的估計值都趨于0.4左右的一個穩(wěn)定值.所以系統(tǒng)的初值和(0)的取值具有隨機性，對追蹤性能影響不大.

圖2 系統(tǒng)(2)追蹤分數(shù)階Duffing混沌系統(tǒng)Fig.2 The system(2)tracks fractional Duffing chaotic system

如果r1，r2為分數(shù)階RDL混沌系統(tǒng)的變量，即

則根據(jù)命題1.1，我們?nèi)】刂破鳛?

參數(shù)的更新規(guī)則為:

仿真結果:取α=0.98，μ=0.05，ω=1，F(xiàn)=F1=0.4，σ1=0.5，σ2=-1，高斯白噪聲的方差為1，系統(tǒng)的初值為(-1，1)(0)=0.從圖3可見，e1，e2趨于平衡點-0.4趨于0.

在不改變α，μ，ω，F(xiàn)，F(xiàn)1，σ1，σ2，高斯白噪聲的方差的情況下，取系統(tǒng)的初值和(0)的值如下:仿真結果表明，x1，x2分別短時間內(nèi)同步和反向同步于r1，r2，F(xiàn)的估計值都趨于0.4左右的一個穩(wěn)定值.可見系統(tǒng)的初值和(0)的取值具有隨機性，對追蹤性能影響不大.

圖3 系統(tǒng)(2)追蹤分數(shù)階RDL混沌系統(tǒng)Fig.3 The system(2)tracks fractional RDL chaotic system

3 結論

由于分數(shù)階混沌系統(tǒng)的復雜性，分數(shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信的應用上，要比整數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更大的密鑰空間.因而分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步更具研究價值.本文通過設計控制器和未知參數(shù)的辨識規(guī)則，實現(xiàn)了含隨機擾動和未知參數(shù)的分數(shù)階RDL系統(tǒng)的自適應追蹤廣義投影同步;并通過數(shù)值仿真，驗證了設計的控制器和參數(shù)更新規(guī)則的有效性.

1 Bhalekar S，Daftardar Gejji V.Synchronization of different fractional order chaotic systems using active control.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010，15:3536～3546

2 Cafagna D，Grassi G.Observer-based projective synchronization of fractional systems via a scalar signal:application to hyperchaotic Rossler systems.Nonlinear Dynamics，2012，68:117～128

3 Chen D Y，Liu Y X，Ma X Y，Zhang R F.Control of a class of fractional-order chaotic systems via sliding mode.Nonlinear Dynamics，2012，67:893～901

4 Tavazoei M S，Haeri M.Synchronization of chaotic fractional-order systems via active sliding mode controller.Physica A，2008，387:57～70

5 Wu X J，Lu H T，Shen SL.Synchronization of a new fractional-order hyperchaotic system.Physics Letters A，2009，373:2329～2337

6 黃蘇海.一類分數(shù)階四維混沌系統(tǒng)及其投影同步.動力學與控制學報，2011，9(2):123～130(Huang SH.A class of 4-D chaotic systems with fractional order and projective synchronization.Journal of Dynamics and Control，2011，9(2):123～130(in Chinese))

7 Binazadeh T，Shafiei M H.Output tracking of uncertain fractional-order nonlinear systems via a novel fractional-order sliding mode approach.Mechatronics，2013，23(7):888～892

8 閔富紅，余楊，葛曹君.超混沌分數(shù)階Lü系統(tǒng)電路實驗與追蹤控制與同步.物理學報，2009，58(3):1456～1461(Min F H，Yu Y，Ge C J.Circuit implementation and tracking control of the fractional-order hyper-chaotic Lü system.Acta Physica Sinica，2009，58(3):1456～1461(in Chinese))

9 趙靈冬，胡建兵，劉旭輝.參數(shù)未知的分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的自適應追蹤控制與同步.物理學報，2010，59(4):2305～2308(Zhao L D，Hu JB，Liu X H.Adaptive tracking control and synchronization of fractional hyper-chaotic Lorenz system with unknown parameters.Acta Physica Sinica，2010，59(4):2305～2309(in Chinese))

10 Yan J P，Li C P.Generalized projective synchronization of a unified chaotic system.Chaos，Solitons＆Fractals，2005，26:1119～1124

11 Mahmouda G M，Mohameda A A，Alyb SA，Strange attractors and chaos control in periodically forced complex Duffing＇s oscillators.Physica A，2001，292:193～206

12 Siewe M S，Tchawoua C，Woafo P.Melnikov chaos in a periodically driven Rayleigh-Duffing oscillator.Mechanics Research Communications，2010，37(4):363～368

13 Tang K S，Man K F，Zhong G Q，Chen GR.Generating Chaos via x|x|.IEEE Transactions on Circuits and Systems-I，F(xiàn)undamental Theory and Applications，2001，48(5):636～641

14 Zhang Y L，Luo M K.Fractional Rayleigh-Duffing-like system and its synchronization.Nonlinear Dynamics，2012，70(2):1173～1183

15 Song L，Yang J Y，Xu SY.Chaos synchronization for a class of nonlinear oscillators with fractional order.Nonlinear Analysis:Theory，Methods＆Applications，2010，72:2326～2336