時變系數(shù)下耦合KdV和Burgers方程組的孤波解*

高翔 化存才 胡東坡

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650092)

引言

在所有的非線性現(xiàn)象中，對孤立子的研究是非線性科學(xué)的重要內(nèi)容之一.自孤立子被發(fā)現(xiàn)以來，人們對孤立子的研究就一直未間斷過.隨著對孤立子研究的不斷深入和一些理論與方法的產(chǎn)生，它已經(jīng)廣泛地運(yùn)用到物理學(xué)中的許多領(lǐng)域中，因此對孤波的研究就具有重要的意義和價值.在孤立子理論中，孤子方程的求解一直受到物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注.隨之產(chǎn)生了許多著名的非線性發(fā)展方程的求解方法，如B?cklund變換［1］，逆散射法［3］，Hirota雙線性方法［4］，齊次平衡法［6］，雙曲函數(shù)展開法［8］，Jacobi橢圓函數(shù)展開法［6］等.

目前，從國內(nèi)外對KdV方程和Burgers方程的研究現(xiàn)狀來看，一些文獻(xiàn)都是針對單個KdV方程和單個Burgers方程求精確解進(jìn)行研究.如文獻(xiàn)［7］應(yīng)用行波法，齊次平衡法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法求解KdV方程，不僅獲得了該方程的準(zhǔn)確周期解及孤波解，而且給出了若干新的精確解析解.文獻(xiàn)［8］將擴(kuò)展的tanh-函數(shù)法應(yīng)用于(2+1)維的非線性偏微分方程，獲得了(2+1)維Burgers方程的一些新的精確解.近十多年來，人們更多的關(guān)注變系數(shù)KdV與Burgers方程的研究，拓展了橢圓函數(shù)展開法，獲得了一些結(jié)果，如文獻(xiàn)［9-11］.

本文將研究時變系數(shù)下線性項對稱耦合KdV和Burgers方程組，非線性項對稱耦合KdV和Bur-gers方程組，非線性項非對稱耦合KdV和Burgers方程組，在Jacobi橢圓函數(shù)展開法和雙曲正切函數(shù)展開法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法和擴(kuò)展的雙曲函數(shù)展開法，分別求出了一些孤波解，包括類孤立波解、類沖擊波解和類三角函數(shù)周期解.

1 方法介紹

考慮(1+1)維含時間擾動的非線性發(fā)展方程

其中P是關(guān)于未知函數(shù)u及其各階導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)函數(shù).我們利用雙曲正切函數(shù)展開法尋找如下形式的解［12］:

其中T(ξ)=tanh(ξ).ai(t)(i=0，1，…，m)，ξ=x-X(t)，X(t)均為待定的隨時間變化的函數(shù).雙曲正切函數(shù)T(ξ)滿足方程:

步驟1:通過平衡方程(1)中最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性的階數(shù)，可以確定m的值，稱m為孤立波解的階數(shù);

步驟2:將階數(shù)確定的(2a)，代入(1)，合并T的同次冪，并令系數(shù)為零，可以得到一個關(guān)于待定函數(shù)ai(t)(i=0，1，…，m)，ξ的超定的非線性微分代數(shù)方程組;

步驟3:利用吳文俊代數(shù)消元法，并借助數(shù)學(xué)軟件Maple求解該代數(shù)方程組，確定待定函數(shù)ai(t)(i=0，1，…，m)，ξ的非平凡值.返回原來的變量最終可以得出方程(1)的孤立波解:

根據(jù)不同的需要，我們除了求雙曲正切函數(shù)形式的解之外，在雙曲正切函數(shù)展開法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用擴(kuò)展的雙曲函數(shù)展開法和擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法，還可以求如下兩種形式的解:利用擴(kuò)展的雙曲函數(shù)展開法尋找如下形式的解:

記S=sec h(ξ)，T和S滿足以下關(guān)系式:

利用擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法尋找如下形式的解:

其中F為Jacobi橢圓函數(shù)，且F滿足下面的輔助常微分方程:

其中，μ，η，λ，F(xiàn)(ξ)不同的對應(yīng)取值見下表1:

表1 μ，η，λ，F(xiàn)(ξ)的對應(yīng)取值Table 1 The corresponding values ofμ，η，λ，F(xiàn)(ξ)

將解形式由(2a)替換為(2b)或(2c)時，確定u的步驟同上.

本文考慮三類如下具有時間變系數(shù)耦合形式的方程組:

并且假設(shè)這三類耦合方程組(3)分別具有如下形式的解:

其中ξ=x-X(t)，X(t)為待定的隨時間變化的函數(shù)，變系數(shù)待定.

通過齊次平衡法，分別平衡方程組中的非線性項和線性最高階導(dǎo)數(shù)項，從而確定m，n的值.因為我們得到的m，n都是分?jǐn)?shù)，所以我們將通過數(shù)學(xué)變換，把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)來討論，并且通過它們之間的關(guān)系式和取極限形式獲得了在不同情形下的一些孤波解.

2 方法應(yīng)用

2.1 時變系數(shù)下線性項對稱耦合KdV和Burgers方程組的解

考慮如下方程組:

其中α1(t)，α2(t)為對流項系數(shù)，β1(t)，β2(t)分別為色散項與擴(kuò)散項的系數(shù).

對于方程組(5)，我們采用雙曲正切函數(shù)展開法［13］求解，同時結(jié)合數(shù)學(xué)變換求得了該方程組的兩組孤波解.

作行波變換:

假設(shè)它有如下形式的解:

其中，X(t)為待定的隨時間變化的函數(shù).

將行波變換(6)代入方程組(5)中得到如下形式的常微分方程組(ODE):

根據(jù)齊次平衡法，分別平衡方程組(7)中兩個方程的線性最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項的階數(shù)，有

令:

平衡(10)中最高階線性項和非線性項導(dǎo)數(shù)的階數(shù)得:

將p，q的值代入(11)中可得:

將w，k代入方程組(10)化簡得:

利用關(guān)系式T'=1-T2化簡，并令T及T的各階導(dǎo)數(shù)的同次冪項系數(shù)為零，可得到如下代數(shù)方程組:

利用吳消元法［13］并結(jié)合Maple求解代數(shù)方程組(15)、(16)得到如下兩組解:

情形一 a0(t)為未定常數(shù)，a1(t)=為積分常數(shù)(c2為任意常數(shù)).

于是，方程組(10)的解為:

所以，方程組(5)的解為:

其中:

情形二 a0(t)為未定常數(shù)，a1(t)=-為積分常數(shù))為任意常數(shù)).

于是，方程組(10)的解為:

所以，方程組(5)的解為:

其中:

2.2 時變系數(shù)下非線性項對稱耦合KdV和Burgers方程組的解

考慮如下方程組:

把方程(21)的行波解設(shè)為:

其中，ξ=x-X(t)，X(t)為待定的隨時間變化的函數(shù).

將行波變換(22)代入方程組(21)中得到如下形式的常微分方程組:

根據(jù)齊次平衡法，分別平衡方程組(23)中兩個方程的線性最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項的階數(shù)，有

m，n都是分?jǐn)?shù)階.再作變換:

經(jīng)計算得:

故有

重復(fù)上面的計算過程，可得到如下代數(shù)方程組為:

為了得到更多類型的孤波解，我們將按μ，η，λ取不同的值，分以下三種情形討論，可得到方程組(29)、(30)的解.

情形一

此時可得方程組(21)的解為:

此時可得方程組(21)的解為:

情形二

當(dāng)μ=r2，η=-1-r2，λ=1，F(xiàn)=snξ時，得出如下三組解:

此時可得方程組(21)的解為:

當(dāng)r→1時，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，可得到其相應(yīng)的類沖擊波解為:

當(dāng)時r→0，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相應(yīng)的類三角函數(shù)周期型解:

其中:ξ=x-c(c為未定常數(shù)).

+c1，(c1為任意常數(shù)，c2為未定常數(shù))，其中:

此時可得方程組(21)的解為:

當(dāng)r→1時，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，可得到對應(yīng)的類沖擊波解為:

其中:

當(dāng)r→0時，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相應(yīng)的類三角函數(shù)周期型解:

其中:

t+c1(c1為任意常數(shù)，c2為未定常數(shù))，

其中

此時可得方程組(21)的解為:

當(dāng)r→1時，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，可得到其相應(yīng)的類沖擊波解為:

其中:

當(dāng)r→0時，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相應(yīng)的類三角函數(shù)周期型解

其中:

情形三

當(dāng)μ=-r2，η=2r2-1，λ=1-r2，F(xiàn)=cnξ，得出如下兩組解:

此時，我們得到(21)的解為

其中:ξ=x-c3(c1，c3為未定常數(shù)，c2為任意常數(shù)).

2.3 時變系數(shù)下非線性項非對稱耦合KdV和Burgers方程組的解

考慮如下方程組:

其中α1(t)，α2(t)為對流項系數(shù)，β1(t)，β2(t)分別為色散項與擴(kuò)散項的系數(shù).

采用擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法和擴(kuò)展的雙曲函數(shù)展開法來討論時變系數(shù)下非線性項非對稱耦合KdV和Burgers方程組(44)的孤波解.令:

其中ξ=x-X(t)，X(t)為待定的隨時間變化的函數(shù).

通過一系列的計算化簡，為得到更多類型的孤波解，我們分別令μ，p，λ取不同的值，可得到以下三種情形下的解.情形一

a0(t)為未定常數(shù)，a1(t)=0，b0(t)為未定常數(shù)，為積分常數(shù)).

此時，方程組(44)的解為:

情形二

當(dāng)μ=r2，η=-1-r2，λ=1時，此時F=snξ可得如下兩組解:

X(t)=-β1(t)(-η+6μ)t+c4(c1為待定常數(shù)，c2，c3，c4為任意常數(shù)).

此時，方程組(44)的解為:

當(dāng)r→1時，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，dnξ→sec hξ，可得相應(yīng)的類沖擊波解:

當(dāng)r→0時，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相應(yīng)的類三角函數(shù)周期型解:

其中:ξ=x+β1(t)t+c4.

此時，方程組(44)的解為:

當(dāng)r→1時，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，dnξ→sec hξ，可得到相應(yīng)的類沖擊波解:

當(dāng)r→0時，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相應(yīng)的類三角函數(shù)周期型解:

其中:ξ=x+β1(t)t+c4.

情形三

當(dāng)μ=-r2，η=2r2-1，λ=1-r2時，此時F=cnξ，可得到如下兩組解:

(1)a0(t)=c1，a1(t)=0，b0(t)=c2，b1(t)=0，X(t)=c4(c1，c2為未定常數(shù)，c3，c4為任意常數(shù)).

此時，方程組(44)的解為:

根據(jù)關(guān)系式可得到相應(yīng)的類沖擊波解為:

其中:ξ=x-c4.

(2)a0(t)=c1，a1(t)=c2，b0(t)=-2c3e-4β2(t)t，

此時，方程組(44)的解為:

當(dāng)r→1時，snξ→tanh(ξ)，cnξ→sec hξ，可得到相應(yīng)的類孤立波解:

其中:ξ=x-β1(t)t+c4.

當(dāng)r→0時，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到相應(yīng)的類三角函數(shù)周期型解:

根據(jù)關(guān)系式可得到相應(yīng)的類沖擊波解為:

其中:ξ=x+β1(t)t+c4.

3 結(jié)論

通過求解三類時變系數(shù)下耦合KdV和Burgers方程組的孤波解，我們可以得出以下結(jié)論:

(1)在2.1中的兩組解中，因為a0(t)為待定常數(shù)，所以波速X(t)是常數(shù)，則波的速度在傳播過程中不發(fā)生改變，即所得的孤波解為常速波解.

(2)在2.2中，由行波解中的X(t)可確定除了情形二中的第1組解和情形三中的第1組解外，其余的所有解都跟時間有關(guān)，因此均為變速解.

(3)在2.3中，除了情形三中的第一組解為常數(shù)解外，其余各組解中的X(t)都是隨時間t變化的函數(shù)，即為變速解.

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