某液壓張緊器阻尼特性的數(shù)學(xué)建模與有限元驗(yàn)證*

胡玉梅,韓魯強(qiáng),劉 進(jìn),向以軒

(1.重慶大學(xué)，機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044; 2.汽車噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400039)

前言

目前轎車發(fā)動(dòng)機(jī)輪系中最常使用的自動(dòng)張緊器主要分為干摩擦式和液壓式兩類。與干摩擦式自動(dòng)張緊器相比，液壓式自動(dòng)張緊器能產(chǎn)生更大的阻尼，運(yùn)行更平穩(wěn)，且無(wú)噪聲[1]。此外，選用液壓式自動(dòng)張緊器可以降低輪系的預(yù)張緊力，進(jìn)而可以提高皮帶和軸承的使用壽命[2]。

文獻(xiàn)[3]中通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析了液壓張緊器的動(dòng)態(tài)特性，建立了精確的模塊化仿真模型，并在此基礎(chǔ)上研究了溫度和工作頻率對(duì)張緊器工作狀態(tài)的影響；文獻(xiàn)[4]中利用AVL軟件建立了采用液壓式張緊器的發(fā)動(dòng)機(jī)鏈傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的多剛體模型；文獻(xiàn)[5]中利用實(shí)驗(yàn)手段對(duì)比研究了干摩擦式自動(dòng)張緊器和液壓式自動(dòng)張緊器對(duì)前端輪系傳動(dòng)誤差和皮帶打滑的影響。

上述研究并未針對(duì)液壓張緊器的阻尼性能進(jìn)行深入探討。本文中采用理論分析方法，建立了一種液壓張緊器的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解液壓張緊器在簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的最大阻尼力和每周期所消耗的阻尼能來(lái)衡量液壓張緊器阻尼特性；并采用有限元仿真對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。此液壓張緊器數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)過(guò)程具有普遍意義，可有效指導(dǎo)類似液壓張緊器的結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)。

1 張緊器結(jié)構(gòu)與阻尼形成原理

圖1為一典型的發(fā)動(dòng)機(jī)附件輪系布置圖，張緊裝置總成由張緊輪、搖臂和液壓張緊器3部分組成，布置在皮帶的松邊上。張緊器下端通過(guò)鉸鏈連接到發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)體上，上端與搖臂相連。搖臂的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)最終轉(zhuǎn)化為張緊器的上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

圖2為液壓張緊器結(jié)構(gòu)和工作原理示意圖。該液壓張緊器由活塞、活塞桿密封、活塞導(dǎo)向座、壓縮彈簧、橡膠波紋密封和單向閥等組成。其中活塞導(dǎo)向座通過(guò)卡環(huán)隨活塞運(yùn)動(dòng)，并將壓縮彈簧的反作用力傳遞到活塞上?；钊麠U密封用來(lái)防止油腔內(nèi)油液泄漏到橡膠波紋密封腔內(nèi)，氣體可在橡膠波紋密封腔和油腔間流動(dòng)。橡膠波紋密封可防止空氣泄漏，保持油腔內(nèi)壓力，并排除外界環(huán)境對(duì)油液的污染。

在張緊器工作過(guò)程中，活塞被壓縮至某一平衡位置并在平衡位置附近作微幅往復(fù)運(yùn)動(dòng)?；钊蛳逻\(yùn)動(dòng)時(shí)，單向閥將高壓腔與低壓腔隔開，高壓腔壓力升高，液壓油通過(guò)泄油間隙(即環(huán)形阻尼縫隙)被擠入低壓腔?；钊蛏线\(yùn)動(dòng)時(shí)，高壓腔內(nèi)壓力降低，單向閥打開，低壓腔內(nèi)的液壓油被吸入到高壓腔。

在此過(guò)程中，活塞在張緊器內(nèi)受到的力主要有兩個(gè)：一是壓縮彈簧的反力，二是高壓腔對(duì)活塞的壓力。由于彈簧不是耗能元件，因此可以認(rèn)為高壓腔對(duì)活塞的壓力即為阻尼力。在活塞向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，高壓腔壓力方向和活塞運(yùn)動(dòng)方向相反，對(duì)活塞做負(fù)功；在活塞向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高壓腔壓力方向和活塞運(yùn)動(dòng)方向相同，對(duì)活塞做正功。由于活塞向下運(yùn)動(dòng)時(shí)高壓腔壓力遠(yuǎn)大于活塞向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的壓力，故活塞在往復(fù)運(yùn)動(dòng)中會(huì)消耗大量的能量。在此定義阻尼力為活塞在高壓腔受到的壓力，阻尼能為活塞一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期所消耗的能量。

2 張緊器阻尼特性數(shù)學(xué)模型的建立

為準(zhǔn)確計(jì)算液壓張緊器在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中消耗的阻尼能和產(chǎn)生的最大阻尼力，須對(duì)進(jìn)、出高壓腔的油量進(jìn)行分析，并建立高壓腔油壓的微分方程；為準(zhǔn)確表示流經(jīng)單向閥的流量，須計(jì)算出單向閥開度，進(jìn)而還須建立單向閥小球的運(yùn)動(dòng)微分方程。利用數(shù)值方法對(duì)高壓腔油壓微分方程和單向閥運(yùn)動(dòng)微分方程聯(lián)立求解，即可得到任意時(shí)刻高壓腔內(nèi)的壓強(qiáng)和阻尼力示功曲線，進(jìn)而計(jì)算出張緊器的阻尼能和最大阻尼力。

2.1 高壓腔油壓微分方程的建立

為分析液壓張緊器阻尼特性，建立如圖2(b)所示的簡(jiǎn)化分析模型。圖中：d為活塞直徑；e為泄油間隙，即高壓腔與活塞半徑之差；l為泄油間隙的長(zhǎng)度；h為高壓腔的長(zhǎng)度。高壓腔壓力為p1，低壓腔壓力為p2。由于活塞在平衡位置附近作微幅往復(fù)運(yùn)動(dòng)，低壓腔體積變化可以忽略，分析中假設(shè)p2為常數(shù)。活塞桿受到幅值為A的強(qiáng)制位移激勵(lì)。通過(guò)泄油間隙流出高壓腔的體積流量為Q1，通過(guò)單向閥流入高壓腔的體積流量定義為Q2。為方便起見，規(guī)定油液流入高壓腔，流量為正值，油液流出高壓腔，流量為負(fù)值。

根據(jù)液壓流體力學(xué)相關(guān)理論，考慮偏心的圓柱圓環(huán)縫隙的流量計(jì)算公式[6]為

(1)

式中：μ為液壓油動(dòng)力黏度；ε為偏心率，ε=δ/e，δ為偏心距；v為活塞運(yùn)動(dòng)速度。

圖3為單向閥結(jié)構(gòu)示意圖，當(dāng)單向閥關(guān)閉時(shí)，Q2=0；當(dāng)單向閥打開時(shí)，油液從低壓腔通過(guò)單向閥進(jìn)入高壓腔，將此流動(dòng)視為薄壁小孔出流，根據(jù)薄壁小孔流量計(jì)算公式[7]：

(2)

式中：AQ為單向閥最小流通面積；Cd為出流系數(shù)，在此取Cd=0.6[8]。

當(dāng)單向閥開度不同時(shí)，流通面積的大小也在變化，因此AQ是單向閥小球升程xb的函數(shù)。根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]，單向閥流通面積的計(jì)算公式為

(3)

其中：

(4)

式中：db為單向閥小球的直徑；ds為單向閥出口的直徑。

液壓傳動(dòng)中，當(dāng)壓力較高和進(jìn)行動(dòng)態(tài)計(jì)算時(shí)須考慮液體的可壓縮性[9]。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時(shí)間進(jìn)出高壓腔的油液體積流量與高壓腔容積變化之差應(yīng)等于高壓腔油液密度變化所導(dǎo)致的體積變化量，即

(5)

其中高壓腔容積:

(6)

根據(jù)液體體積模量的定義：

(7)

單位時(shí)間內(nèi)高壓腔容積變化相當(dāng)于高壓腔截面積與單位之間內(nèi)活塞位移之積：

(8)

活塞的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

(9)

綜合式(5)、式(7)～式(9)即可得到高壓腔油壓的微分方程：

(10)

實(shí)際工作過(guò)程中，由于油液中混有空氣，油液的體積模量E并非常數(shù)，會(huì)隨著高壓腔壓力的變化而變化[10]，計(jì)算公式為

(11)

式中：Φgas0為一個(gè)大氣壓下空氣在油液中的體積分?jǐn)?shù)；patm為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；n為氣體多變指數(shù)；Eoil為一個(gè)大氣壓下純油液體積模量。

2.2 單向閥小球運(yùn)動(dòng)微分方程

圖4為單向閥工作狀態(tài)。單向閥小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，共有3種受力狀態(tài)：小球與下限位接觸(圖4(a))，小球不與上下限位接觸(圖4(b))，小球與上限位接觸(圖4(c))。

將上下限位作為大剛度大阻尼彈簧來(lái)模擬。大剛度是為阻止小球運(yùn)動(dòng)，起到限位的作用；大阻尼是為防止因?qū)⑾尬辉O(shè)置成彈簧而引起振動(dòng)。忽略小球受到的油液黏滯力，質(zhì)量為mb的小球受到的力包括單向閥彈簧力Fk1，上限位彈簧力Fk2，下限位彈簧力Fk3，上限位阻尼力Fc2，下限位阻尼力Fc3和壓差力Fp。根據(jù)牛頓第二定律，建立單向閥小球運(yùn)動(dòng)微分方程為

(12)

其中

Fk1=-k1(xb+x0)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Fp=π(ds/2)2(p2-p1)

(18)

式中：k1為單向閥彈簧剛度；x0為單向閥彈簧預(yù)壓縮量；xbmax為單向閥小球最大升程；k2、k3分別為上、下限位彈簧剛度，取值均為10 000N/mm；c2、c3分別為上、下限位阻尼系數(shù)，取值均為1N·s/mm。

2.3 數(shù)學(xué)模型的求解方法

聯(lián)立式(9)，式(10)，式(12)，即可得到微分方程組：

(19)

在方程組中，v相當(dāng)于外界對(duì)活塞桿的強(qiáng)制速度激勵(lì)。參照我國(guó)減振器臺(tái)架試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)JB3901—85的規(guī)定，“測(cè)試減振器示功特性時(shí)，活塞相對(duì)于工作缸應(yīng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”。因此張緊器阻尼特性數(shù)值計(jì)算中施加在活塞桿上的強(qiáng)制速度激勵(lì)為

v=2πfAsin(2πft)

(20)

表明活塞運(yùn)動(dòng)速度是頻率為f的正弦函數(shù)，即活塞受到幅值為A的簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)。

選取合適的初始條件，通過(guò)對(duì)微分方程組(19)進(jìn)行數(shù)值積分求解，即可得到任意時(shí)刻高壓腔內(nèi)壓強(qiáng)。根據(jù)式(21)，即可計(jì)算出活塞受到高壓腔的壓力F，即液壓張緊器任意時(shí)刻受到的阻尼力為

F=(d/2)2πp1

(21)

3 數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的正確性，利用ADINA軟件針對(duì)液壓張緊器關(guān)鍵部分建立了流固耦合有限元模型。有限元仿真和理論計(jì)算采用了相同的邊界條件和材料模型假設(shè)。不同之處在于：(1)有限元當(dāng)中建立了上下限位的結(jié)構(gòu)模型，并通過(guò)其與小球的接觸來(lái)模擬上下限位對(duì)小球的作用力，數(shù)學(xué)模型是利用彈簧來(lái)模擬上下限位作用的；(2)有限元仿真根據(jù)計(jì)算流體力學(xué)的理論計(jì)算流量壓力關(guān)系，而數(shù)學(xué)模型通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式并配合流量系數(shù)的選擇來(lái)進(jìn)行計(jì)算。與理論計(jì)算相比，有限元仿真更接近于真實(shí)流動(dòng)情況，可以看做數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

液壓張緊器高壓腔部分是旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此建立其二維旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱模型。

流體部分有限元模型如圖5所示，高壓腔壁使用壁面邊界模擬，活塞用移動(dòng)壁面邊界模擬，并在其上施加幅值為0.5mm的簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)。對(duì)稱軸上施加的是帶有滑動(dòng)條件的壁面邊界，以模擬旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱邊界。由于低壓腔壓強(qiáng)很小，而高壓腔的壓強(qiáng)最大值可達(dá)到20～30MPa，而且當(dāng)彈性模量取值為常數(shù)時(shí)，低壓腔的壓強(qiáng)對(duì)液壓張緊器消耗的阻尼能沒(méi)有影響。為簡(jiǎn)化模型，將單向閥補(bǔ)油道的入口和阻尼縫隙的出口設(shè)置為自由邊界，等效于低壓腔壓強(qiáng)p2設(shè)置為0MPa。

結(jié)構(gòu)部分有限元模型如圖6所示。小球受到的限位作用通過(guò)定義與上下限位間的接觸來(lái)實(shí)現(xiàn)。單向閥的開閉通過(guò)在流體模型中設(shè)置GAP邊界條件實(shí)現(xiàn)。通過(guò)對(duì)上限位施加位移約束來(lái)調(diào)節(jié)小球的最大升程。

流固耦合邊界是流固耦合計(jì)算過(guò)程中結(jié)構(gòu)模型與流體模型進(jìn)行信息交換的界面，在有限元建模過(guò)程中，必須分別在結(jié)構(gòu)模型和流體模型中將對(duì)應(yīng)的邊界面定義為流固耦合邊界。結(jié)構(gòu)模型和流體模型中的流固耦合界面在幾何位置上應(yīng)是重合的，且最好大小一致。分別在流體模型和結(jié)構(gòu)模型中建立了流固耦合邊界(見圖5和圖6)。

為了與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，數(shù)學(xué)模型中所有結(jié)構(gòu)參數(shù)和流體材料設(shè)置與有限元中一致，如表1和表2所示。

表1 張緊裝置各結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 油液材料參數(shù)

通常情況下，各類手冊(cè)、文獻(xiàn)建議在設(shè)計(jì)和分析液壓系統(tǒng)時(shí)，忽略體積模量隨壓力的變化而采用有效體積模量，有效體積模量取值一般為700～1 400MPa[11]。在數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證計(jì)算中，為了保持材料模型的一致性，忽略式(11)，設(shè)E為700MPa。

結(jié)合張緊器的實(shí)際工作情況，對(duì)激勵(lì)為20～200Hz、間隔為10Hz的19種工況進(jìn)行了有限元計(jì)算和理論計(jì)算。圖7為激勵(lì)為50Hz時(shí)的示功圖對(duì)比。由圖可見，兩條示功曲線的形狀非常接近；從示功圖上可以直接讀出兩個(gè)最大阻尼力：數(shù)學(xué)模型計(jì)算為2 002.9N，有限元仿真為2 083.3N，相對(duì)誤差3.9%；通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算出示功圖曲線圍成的面積，即得到液壓張緊器在一個(gè)工作周期內(nèi)消耗的能量——阻尼能。數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的阻尼能為912.03mJ，有限元仿真模型得到的阻尼能為919.64mJ，相對(duì)誤差0.75%。

其它各頻率下最大阻尼力和阻尼能結(jié)果的對(duì)比如圖8和圖9所示。從圖中可以看出，理論計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)基本一致，激勵(lì)頻率為20Hz時(shí)阻尼力出現(xiàn)最大峰值誤差4.5%，激勵(lì)頻率為200Hz時(shí)阻尼能出現(xiàn)最大誤差3.2%。由此可知，理論計(jì)算與有限元仿真結(jié)果吻合較好，本文中推導(dǎo)的理論模型正確。

4 阻尼能計(jì)算結(jié)果分析

由圖8還可進(jìn)一步看出，隨著激勵(lì)頻率升高，最大阻尼力增大，但逐漸趨于平緩。而由圖9則可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)激勵(lì)頻率在20～40Hz之間時(shí)，阻尼能隨頻率的增大而增大；當(dāng)激勵(lì)頻率在40～200Hz之間時(shí)，阻尼能隨頻率的增大而減小。對(duì)于本文中所設(shè)定的參數(shù)，其阻尼能的峰值頻率出現(xiàn)在40Hz左右。

為了研究阻尼能峰值頻率和設(shè)計(jì)參數(shù)間的關(guān)系，計(jì)算了不同阻尼縫隙大小和長(zhǎng)度時(shí)阻尼能隨激勵(lì)頻率變化。

僅改變模型中縫隙的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)隨著縫隙長(zhǎng)度的增加，阻尼能峰值頻率降低?？p隙長(zhǎng)度分別為5、10和20mm時(shí)，阻尼能的峰值頻率出現(xiàn)在140、60和30Hz附近，如圖10所示。

僅改變模型中縫隙的大小，發(fā)現(xiàn)隨著縫隙的增大，阻尼能峰值頻率升高。縫隙大小分別為0.03、0.035和0.04mm時(shí)，阻尼能的峰值頻率出現(xiàn)在40、60和90Hz附近，如圖11所示。

通過(guò)上述對(duì)比可以看出，最大峰值頻率與設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)，在設(shè)計(jì)和匹配張緊器時(shí)可以通過(guò)改變參數(shù)得到所期望的峰值頻率。

干摩擦式張緊器的阻尼能基本不隨激勵(lì)頻率變化[1]，因此阻尼能可變性也是液壓張緊器相對(duì)于干摩擦張緊器的一大優(yōu)點(diǎn)，可以通過(guò)合理設(shè)計(jì)和匹配，使液壓張緊器在某階共振頻率附近阻尼能達(dá)到最大值，獲得最佳減振效果。

5 結(jié)論

(1) 建立了考慮油液可壓縮性情況下液壓張緊器高壓腔油壓微分方程和單向閥小球運(yùn)動(dòng)微分方程，通過(guò)對(duì)微分方程數(shù)值求解，可以得到液壓張緊器阻尼力示功曲線、阻尼能和最大阻尼力。

(2) 通過(guò)與有限元計(jì)算的對(duì)比，各頻率下阻尼能和最大阻尼力的誤差均在5%以下，表明本文中推導(dǎo)的理論模型正確。

(3) 隨著激勵(lì)頻率的增大，阻尼能先增大后減小，這是液壓張緊器相對(duì)于干摩擦式張緊器的一大優(yōu)點(diǎn)，可以通過(guò)合理設(shè)計(jì)和匹配，使液壓張緊器在某階共振頻率附近阻尼能達(dá)到最大值，以達(dá)到最佳減振效果。

(4) 本文中采用的液壓張緊器阻尼特性理論模型的推導(dǎo)方法具有普遍意義，適用于其它液壓式自動(dòng)張緊器阻尼特性的分析計(jì)算。

[1] 田力.汽車自動(dòng)張緊輪設(shè)計(jì)理論及優(yōu)化[D].上海:上海大學(xué),2008.

[2] KITANO Satoshi, ANAKA Tadahisa, NAKAGAWA Tomokazu. The Auto-tensioner Market and Technical Trends[J].NTN Technical Review,2005(73):110-117.

[3] Krueger Karin, Engelhardt Thomas, Ginzinger Lucas. Dynamical Analysis of Hydraulic Chain Tensioners-Experiment and Simulation[C]. SAE Paper 2007-01-1461.

[4] Takagishi Hiroshi, Muguruma Kazuto, Takahashi Nobuharu. Analysis of Effect of Tensioner on Chain System[C]. SAE Paper 2008-01-1496.

[5] Manin Lionel, Michon Guilhem, Remond Dither. From Transmission Error Measurement to Pulley-belt Slip Determination in Serpentine Belt Drives: Influence of Tensioner and Belt Characteristics[J]. Mechanism and Machine Theory,2009(44): 813-821.

[6] 劉李平.閥芯閥套間縫隙內(nèi)部流場(chǎng)的CFD計(jì)算[D].太原:太原理工大學(xué),2007.

[7] 袁子榮.液氣壓傳動(dòng)與控制[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,2002.

[8] McCloy D, Martin H. Control of Fluid Power : Analysis and Design(2nd edition)[M]. Ellis Horwood Limited,1980.

[9] 張國(guó)強(qiáng),吳家鳴.流體力學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005.

[10] 顧宏斌,丁運(yùn)亮,吳云生,等.油液壓縮性對(duì)擺振器工作特性的影響[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),1999,31(6):656-633.

[11] 馮斌.液壓油有效體積彈性模量及測(cè)量裝置的研究[D].杭州:浙江大學(xué),2011.