非全日制工程碩士研究生數(shù)學(xué)學(xué)位課的教學(xué)改革與實(shí)踐

褚寶增，王訓(xùn)練，張壽庭，王祖朝，王根厚，王翠香

1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）數(shù)理學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）地球科學(xué)與資源學(xué)院，北京 100083

課程建設(shè)

非全日制工程碩士研究生數(shù)學(xué)學(xué)位課的教學(xué)改革與實(shí)踐

褚寶增1，王訓(xùn)練2，張壽庭2，王祖朝1，王根厚2，王翠香1

1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）數(shù)理學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）地球科學(xué)與資源學(xué)院，北京 100083

由于非全日制工程碩士入學(xué)資格考試相對(duì)靈活，學(xué)生年齡差異明顯偏大，導(dǎo)致數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，給數(shù)學(xué)學(xué)位課的教學(xué)帶來(lái)極大困難。為了保障基本的培養(yǎng)要求，必須對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行改革，教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行取舍。最終使非全日制工程碩士研究生具備完善的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，能夠獨(dú)立正確選擇合理的數(shù)學(xué)手段應(yīng)用到自身實(shí)際的工作與科研當(dāng)中，從而明顯提升工程碩士研究生的創(chuàng)新意識(shí)。

非全日制；工程碩士；數(shù)學(xué)教學(xué)；GCT

任何一項(xiàng)教學(xué)改革首先都必須了解清楚教學(xué)對(duì)象的基礎(chǔ)水平。非全日制工程碩士不同于全日制工程碩士。本文從非全日制工程碩士入學(xué)考試的方式以及學(xué)員的年齡與知識(shí)結(jié)構(gòu)的分析入手，提出數(shù)學(xué)學(xué)位課具體的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的改革方案，以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的。

一、 入學(xué)考試方式

為了適應(yīng)我國(guó)高層次創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的要求，有效選拔創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的對(duì)象，2003年，國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)制定并施行了面向在職人群的研究生入學(xué)資格考試的兩段制考試。第一段稱“研究生入學(xué)資格考試”（Graduate Candidate Test），簡(jiǎn)稱GCT，由國(guó)家教育主管部門委派專門的考試機(jī)構(gòu)統(tǒng)一組織[1-2]。第二段為招生院校自行組織的專業(yè)考試。最終根據(jù)考生的GCT成績(jī)、專業(yè)筆試成績(jī)、面試成績(jī)等決定是否錄取[3]。

第一段的GCT試卷由四個(gè)部分構(gòu)成，分別是：語(yǔ)言、數(shù)學(xué)、邏輯、外語(yǔ)。全部為選擇題，滿分400分，除第二部分?jǐn)?shù)學(xué)25題每題4分外，其他三部分每部分50題每題2分。值得特別重視的是，四部分合成一卷，僅有3個(gè)小時(shí)的考試時(shí)間，每部分若均分只有45分鐘，扣除涂卡時(shí)間，語(yǔ)文、邏輯、英語(yǔ)每題只有50秒，數(shù)學(xué)每題只有100秒，別說(shuō)做完，除數(shù)學(xué)外的其他三部分讀題都讀不完?？紤]到我國(guó)絕大多數(shù)院校對(duì)第一段的錄取分?jǐn)?shù)要求在200分左右，考生對(duì)待考試的具體戰(zhàn)略就是：各部分只選擇做有把握的半數(shù)題目，余者不做，統(tǒng)一涂卡，在每一道題上時(shí)間加倍，這樣取者正確率高，舍者用概率去撞，由此做200分的題目獲200分的成績(jī)，便非難事。下面筆者就第二部分?jǐn)?shù)學(xué)做具體的戰(zhàn)略取舍分析。

二、學(xué)員結(jié)構(gòu)分析

非全日制工程碩士生源不一，基礎(chǔ)知識(shí)參差不齊。有些是參加工作剛滿3年的畢業(yè)生，像計(jì)算機(jī)技術(shù)與軟件工程專業(yè)領(lǐng)域的畢業(yè)生，均具備較好的理論知識(shí)；有些是工作單位的骨干，甚至是主管領(lǐng)導(dǎo)，本科畢業(yè)多10年以上，雖有較豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，但基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)十分生疏[4]。

筆者對(duì)在京3所重點(diǎn)高校部分非全日制工程碩士研究生的年齡進(jìn)行隨機(jī)抽取統(tǒng)計(jì)，從2004級(jí)

到2012級(jí)，連續(xù)9年，平均年齡分布見圖1。

圖1直觀地表現(xiàn)出平均年齡成逐年下降趨勢(shì)，累加下降4歲以上，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)遺忘程度減少，確實(shí)可以稍微減少教學(xué)的困難。再看圖2，歷年年齡標(biāo)準(zhǔn)差改變不大，說(shuō)明學(xué)員間對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的差異程度沒有改觀。9年中，學(xué)員年齡的極差全部在20歲以上，加之學(xué)員基礎(chǔ)知識(shí)面本身不夠?qū)挿?，教學(xué)課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)上很難統(tǒng)一。既基本滿足教學(xué)大綱的要求，又盡量照顧學(xué)生的實(shí)際狀況，從宏觀上適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容與局部處具體優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)就顯得十分重要。

圖1 2004—2012年非全日制工程碩士研究生平均年齡（期望）

圖2 2004—2012年非全日制工程碩士研究生年齡標(biāo)準(zhǔn)差

三、課程的選取與內(nèi)容的調(diào)整

在非全日制（在職）工程碩士的培養(yǎng)計(jì)劃中，數(shù)學(xué)學(xué)位課稱為“應(yīng)用數(shù)學(xué)”，最初48學(xué)時(shí)計(jì)3學(xué)分，后來(lái)調(diào)整為40學(xué)時(shí)計(jì)2學(xué)分。實(shí)際是根據(jù)專業(yè)的不同需求在《科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)》、《應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)》與《運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)》教材中三選一。

這套工程碩士應(yīng)用數(shù)學(xué)系列教材是由國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)組織專家編寫，清華大學(xué)出版社出版發(fā)行。在編寫時(shí)力求做到通俗易懂，深入淺出。對(duì)理論問題只作必要的敘述，舍去嚴(yán)格證明，目的是引導(dǎo)學(xué)生開闊視野。而著力提供有關(guān)的實(shí)際背景，理論聯(lián)系實(shí)際，闡明應(yīng)用理論解決實(shí)際問題的方法。書中的例題大多來(lái)源于實(shí)際，給學(xué)生提供了解決實(shí)際問題的手段，培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)基本理論懂得構(gòu)造、評(píng)估、選取、甚至改進(jìn)的方法，有助于提高學(xué)生獨(dú)立分析問題和解決問題的能力[5]。

為了合理利用教材和選擇教學(xué)內(nèi)容，下面對(duì)上述三本教材的內(nèi)容作簡(jiǎn)要的介紹?！犊茖W(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)》包括：線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法、插值和擬合、數(shù)值積分和數(shù)值微分、常微分方程的數(shù)值解法、非線性方程和方程組的解法、最優(yōu)化方法、矩陣特征值問題的數(shù)值解法等?！稇?yīng)用概率統(tǒng)計(jì)》包括：隨機(jī)事件及其概率、離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、多維隨機(jī)變量、極限定理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、可靠性設(shè)計(jì)等?！哆\(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)》包括：線性規(guī)劃、單純形法、線性規(guī)劃的對(duì)偶理論、運(yùn)輸問題、線性規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、無(wú)約束問題的最優(yōu)化方法、約束問題的最優(yōu)化方法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、決策分析等。

圖書館是少年兒童課外自主學(xué)習(xí)的重要場(chǎng)所，起到補(bǔ)充學(xué)校教育的作用［7］。福安圖書館積極與社會(huì)機(jī)構(gòu)合作，實(shí)現(xiàn)多樣化的閱讀資源整合，以豐富多彩的內(nèi)容吸引讀者關(guān)注，打造了多種公益文化服務(wù)品牌。其中“陽(yáng)光課堂”就是該館精心策劃，通過(guò)多方考察與研討，尋求社會(huì)教育機(jī)構(gòu)、家長(zhǎng)、專業(yè)人士的建議，共同打造的青少年課外教育機(jī)構(gòu)。自2005年運(yùn)行以來(lái)，“陽(yáng)光課堂”已經(jīng)舉辦超過(guò)400期培訓(xùn)活動(dòng)，內(nèi)容包括英語(yǔ)、繪畫、音樂、科普知識(shí)等，形式多樣，新穎有趣，深受廣大小讀者與家長(zhǎng)的喜愛。它不僅為未成年人搭建了獲取知識(shí)的平臺(tái)，也有助于激發(fā)孩子們的學(xué)習(xí)興趣和增進(jìn)親子關(guān)系。

《科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)》應(yīng)用對(duì)象主要是工程實(shí)際中常用的數(shù)值計(jì)算方法，《應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)》應(yīng)用對(duì)象主要是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律問題，《運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)》應(yīng)用對(duì)象主要是管理科學(xué)領(lǐng)域。以中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）非全日制（在職）工程碩士的“應(yīng)用數(shù)學(xué)”課為例，機(jī)械工程、建筑與土木工程、電子與通信工程、計(jì)算機(jī)技術(shù)、軟件工程、安全工程、水利工程、環(huán)境工程、石油與天然氣工程專業(yè)領(lǐng)域選擇《科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)》的主要內(nèi)容，地質(zhì)工程、礦業(yè)工程、材料工程、化學(xué)工程、測(cè)繪工程專業(yè)領(lǐng)域選擇《應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)》的主要內(nèi)容，工業(yè)工程、項(xiàng)目管理專業(yè)領(lǐng)域選擇《運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)》的主要內(nèi)容。

如上的選取方法簡(jiǎn)單明確，但缺點(diǎn)是不能滿足專業(yè)的系統(tǒng)需求。比如地質(zhì)工程專業(yè)領(lǐng)域，雖然以利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為主，然也需要數(shù)值積分與插值的知識(shí)；再者軟件工程專業(yè)領(lǐng)域，雖然以掌握數(shù)值計(jì)算為主，然也需要應(yīng)用規(guī)劃與最優(yōu)化的方法；還有水利工程專業(yè)領(lǐng)域，還需要補(bǔ)充微分方程數(shù)值解的有限差分方法。這就要求任課教師，在選定大的數(shù)學(xué)門類后，根據(jù)專業(yè)領(lǐng)域的具體需求，進(jìn)行合理的取舍、調(diào)整和補(bǔ)充，以達(dá)到對(duì)專業(yè)領(lǐng)域服務(wù)的最佳效果。具體授課內(nèi)容建議見表1。

四、具體教學(xué)內(nèi)容的改革

筆者主張，對(duì)教學(xué)內(nèi)容首先要“化繁為簡(jiǎn)”，對(duì)解決同一個(gè)問題的諸多方法，選擇出最實(shí)用有效的方法，在此基礎(chǔ)之上，還需“將簡(jiǎn)剖細(xì)”，講解論證此方法的預(yù)備知識(shí)、產(chǎn)生此方法的動(dòng)因契機(jī)、推導(dǎo)此方法的縝密過(guò)程、應(yīng)用此方法的注意事項(xiàng)?？此凭?jiǎn)了教學(xué)內(nèi)容，實(shí)際可以通暢課程的全部脈絡(luò)，從而保障了健全的課程體系。

表1 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）非全日制工程碩士授課內(nèi)容選擇表

在選定教學(xué)內(nèi)容的門類及其范圍后，就需要進(jìn)一步對(duì)具體教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)方法進(jìn)行研究。40學(xué)時(shí)對(duì)在校全日制碩士研究生而言確實(shí)不少，然而對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)多年荒廢后又沒有足夠時(shí)間事先重溫的非全日制工程碩士研究生而言就顯得十分緊張。下面就一些具體之處的教學(xué)處理做簡(jiǎn)要介紹，以體現(xiàn)教學(xué)改革的思想。

在“科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)”課“數(shù)值積分”一節(jié)余項(xiàng)的推導(dǎo)中，梯形積分公式的余項(xiàng)可以利用第一積分中值定理對(duì)插值公式的余項(xiàng)積分推出，而辛卜生積分公式的余項(xiàng)按常理也應(yīng)對(duì)其插值公式的余項(xiàng)進(jìn)行積分，然二階插值公式的余項(xiàng)已經(jīng)不再滿足第一積分中值定理的條件。多數(shù)《數(shù)值分析》的教材都是先引出一個(gè)證明過(guò)程復(fù)雜的積分余項(xiàng)定理，即等距節(jié)點(diǎn)插值型求積公式的余項(xiàng)定理。

上邊定理若證明，則學(xué)員不易理解，若不證明，則學(xué)員難以接受。如選擇用代數(shù)精確度的理論進(jìn)行推導(dǎo)，便可使學(xué)員易于理解與接受。

還有在“科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)”課“多項(xiàng)式擬合”一節(jié)，多數(shù)數(shù)值分析的教材將其放在“函數(shù)逼近”一章，由函數(shù)所張成的子空間引出，鑒于學(xué)生的基礎(chǔ)，如選擇用最小二乘法的思想加以介紹，只涉及到多元函數(shù)微分的基本理論，避免上升到對(duì)非全日制工程碩士研究生而言較為艱深的逼近理論。

并不是所有的公式都有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值，利用某些公式可能會(huì)產(chǎn)生荒謬的結(jié)果，如“科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)”中高階插值的龍格現(xiàn)象，在多節(jié)點(diǎn)又不想刪除數(shù)據(jù)的情況下，建議選擇三次樣條插值處理。所以學(xué)會(huì)選擇正確的手段和公式十分重要。

在“應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)”課中，其主要內(nèi)容是回歸分析、判別分析、聚類分析、主成分分析與因子分析，由于需要先介紹“概率論”的基礎(chǔ)知識(shí)，使得課時(shí)緊張，故此需要事先了解研究生所學(xué)專業(yè)，在多種分析中選出其專業(yè)主要用的一兩種分析進(jìn)行系統(tǒng)講解，雖為權(quán)宜之計(jì)，但并不違背對(duì)非全日制工程碩士研究生培養(yǎng)的要求。

在“運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)”課中，要針對(duì)實(shí)際問題，對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)分析，找出影響系統(tǒng)的主要因素，明確主要目標(biāo)、主要約束條件、主要參數(shù)和變化范圍，弄清它們之間的關(guān)系，建立描述問題的模型，掌握基本的運(yùn)籌學(xué)模型的典型求解方法，在模型非常復(fù)雜或者求解空間的時(shí)間復(fù)雜度太大時(shí)，分析對(duì)問題進(jìn)行進(jìn)一步的簡(jiǎn)化的原則，提高學(xué)生運(yùn)用定量分析的方法能夠解決實(shí)際問題的能力[6]。

通過(guò)對(duì)“科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)”、“應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)”與“運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)”三門課的分析，提取對(duì)非全日制工程碩士研究生所需的知識(shí)節(jié)點(diǎn)，去掉對(duì)非全日制工程碩士研究生無(wú)關(guān)的知識(shí)節(jié)點(diǎn)，將所需的知識(shí)節(jié)點(diǎn)間用理論連接，確保課程體系的完整性。在授課過(guò)程中，時(shí)?；仡櫞髮W(xué)數(shù)學(xué)中“高等數(shù)學(xué)”、“線性代數(shù)”、“概率統(tǒng)計(jì)”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生真正用理解的方式接受新的教學(xué)內(nèi)容。

五、總結(jié)

如果教學(xué)過(guò)程缺乏創(chuàng)造性，教學(xué)設(shè)計(jì)千篇一律、僵化呆板，培養(yǎng)合格的創(chuàng)新型人才無(wú)異于癡人說(shuō)夢(mèng)、異想天開。教學(xué)過(guò)程不是簡(jiǎn)單重復(fù)教材上內(nèi)容，應(yīng)是一個(gè)重新規(guī)劃、挖掘、展示、發(fā)揮人的創(chuàng)造性和主觀能動(dòng)性的過(guò)程[7]。

筆者通過(guò)十余年對(duì)的教學(xué)改革與教學(xué)實(shí)踐，明顯提升了非全日制工程碩士研究生對(duì)數(shù)學(xué)的掌握程度，使他們基本具備了較完善的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，能夠獨(dú)立正確選擇合理的數(shù)學(xué)手段并應(yīng)用到自身實(shí)際的工作與科研當(dāng)中，從而加強(qiáng)了對(duì)非全日制工程碩士研究生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)工作。

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Title: Teaching Reformation and Practice of The Mathematical Degree Courses for Part-time Engineering Masters

Author(s): CHU Bao-zeng, WANG Xun-lian, ZHANG Shou-ting, WANG Zu-chao, WANG Gen-hou, WANG Cui-xiang

part-time; Engineering Masters; mathematical teaching; GCT

G642

A

1006-9372 （2014）01-0040-04

2014-01-10。

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）2013年度研究生教改建設(shè)項(xiàng)目。

褚寶增，男，詩(shī)人，教授，主要從事數(shù)值計(jì)算與中國(guó)古典文學(xué)的教學(xué)與研究工作。