淺海中潛艇腐蝕相關(guān)靜態(tài)磁場(chǎng)特征預(yù)測(cè)

陳聰，姚陸鋒，李定國(guó)，龔沈光

(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢430033)

0 引言

潛艇在海洋環(huán)境中航行時(shí)，由于腐蝕或防腐措施導(dǎo)致海水中出現(xiàn)腐蝕或防腐電流，進(jìn)而產(chǎn)生相應(yīng)的電場(chǎng)，同時(shí)激發(fā)出磁場(chǎng)分布，潛艇這部分電磁信號(hào)稱為腐蝕相關(guān)電磁信號(hào)(CRS)［1-4］。依據(jù)其頻率特征，可分為腐蝕相關(guān)靜態(tài)電磁信號(hào)和極低頻交變電磁信號(hào)。其中，腐蝕相關(guān)靜態(tài)電磁信號(hào)構(gòu)成CRS 的主體部分，又包括腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場(chǎng)(CRE)和腐蝕相關(guān)靜態(tài)磁場(chǎng)(CRM)。由于CRE 和CRM 來(lái)源于建造材料的腐蝕以及防腐措施，因此只要建造材料不做革命性的變化，這部分電磁信號(hào)都將是潛艇不可忽視的水下目標(biāo)特性，在潛艇的探測(cè)、定位、打擊等方面頗具應(yīng)用潛力。

作為海洋環(huán)境中目標(biāo)特性的一種新的信號(hào)類型，CRE 較早被關(guān)注，相關(guān)的研究開(kāi)展較多，相對(duì)而言，CRM 的研究則起步較晚。主要原因是常規(guī)認(rèn)為，和材料的磁性所產(chǎn)生的磁場(chǎng)相比，CRM 較弱，應(yīng)用有難度。但已有的研究結(jié)果表明，CRM 伴隨著異種金屬在海水中的腐蝕存在而存在，且在海洋環(huán)境中的衰減規(guī)律和來(lái)源于磁性材料的磁場(chǎng)有明顯差別，十分有利于消磁潛艇的遠(yuǎn)程探測(cè)。正因?yàn)槿绱?，近年?lái)CRM 也吸引了國(guó)內(nèi)外眾多研究者的關(guān)注［5-8］。

考慮到海水中潛艇CRM 和材料的磁性所產(chǎn)生的磁場(chǎng)混雜在一起，實(shí)測(cè)時(shí)難以區(qū)分，因此目前針對(duì)潛艇CRM 的分布特征往往采取建模預(yù)測(cè)的方式，主要建模思路有邊界元建模和偶極子建模兩種。前者依據(jù)邊界電位和磁場(chǎng)的關(guān)系，借助邊界元軟件，先通過(guò)外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)(ICCP)的系統(tǒng)參數(shù)計(jì)算出海水區(qū)域邊界電位，再利用邊界面電位的積分計(jì)算出海洋環(huán)境中的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)(即空間電流產(chǎn)生的磁場(chǎng))，加上回流經(jīng)過(guò)艇體的電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)(即源電流本身的磁場(chǎng))，即得到潛艇CRM 的分布［9-10］。偶極子建模則是根據(jù)CRM 的產(chǎn)生機(jī)理，先根據(jù)潛艇周圍的CRE 分布對(duì)其建立等效電偶極子模型，再利用分層媒質(zhì)中電偶極子激發(fā)的磁場(chǎng)通過(guò)疊加來(lái)得到潛艇的CRM 分布［11-12］。前者需要經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的邊界元軟件，且只能計(jì)算已知結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作狀態(tài)的合作目標(biāo)，而且不能計(jì)算全空間的磁場(chǎng)分布，后者則可對(duì)任意目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)，且模型相對(duì)簡(jiǎn)潔，因此CRM 的電偶極子建模方法更利于實(shí)際應(yīng)用。

已有理論研究及潛艇縮比模型實(shí)驗(yàn)均表明，對(duì)于淺海環(huán)境中的潛艇，考慮到艇體結(jié)構(gòu)及外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)的電極布放方式等，艇體表面絕緣涂敷層完好的條件下，其CRE 的主體部分可以用一個(gè)水平直流電偶極子來(lái)模擬［1，12-13］，其正極位于ICCP 陽(yáng)極的對(duì)稱中心，負(fù)極位于螺旋槳處，偶極矩為流經(jīng)螺旋槳主軸的電流與正負(fù)極距離的乘積。由于CRE 和CRM 來(lái)源相同，因此CRM 的主體部分也可以用這樣的一個(gè)水平直流電偶極子來(lái)進(jìn)行模擬。結(jié)合水平直流電偶極子在分層導(dǎo)電媒質(zhì)中的磁場(chǎng)分布表達(dá)式，便可以對(duì)潛艇CRM 的分布特征進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本文推導(dǎo)了位于海水中的水平直流電偶極子在分層媒質(zhì)全空間中的磁場(chǎng)表達(dá)式，以此為基礎(chǔ)，結(jié)合潛艇的電偶極子模型，采用數(shù)值計(jì)算的方式，預(yù)測(cè)其CRM 在全空間中的分布特征，所得結(jié)果為進(jìn)一步的應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。

1 3 層媒質(zhì)模型中水平直流電偶極子的磁場(chǎng)分布

淺海環(huán)境可由圖1 所示的媒質(zhì)模型來(lái)表示，分別建立直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系，如圖1 所示。下標(biāo)1、2、3 分別代表空氣、海水、海床場(chǎng)域。設(shè)水平直流電偶極子源Idli 位于海水中(0，0，z0)處。設(shè)η =單個(gè)水平直流電偶極子在3 個(gè)區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)點(diǎn)(x，y，z)處產(chǎn)生的標(biāo)量電位Φ、矢量磁位A 應(yīng)滿足下述方程及邊界條件:

圖1 3 層海洋模型Fig.1 Three-layered ocean model

式中:ρV為空間電荷分布。

矢量磁位和標(biāo)量電位的約束條件為

若求出Φ、A，則相應(yīng)的場(chǎng)分布為

由于空間電荷分布ρV未知，因此本文先采用鏡像法求出場(chǎng)點(diǎn)位于各層媒質(zhì)中時(shí)相應(yīng)的電像分布及標(biāo)量電位分布Φ，再求出電像產(chǎn)生的修正磁位，加上源電流產(chǎn)生的矢量磁位基本解，即可求出3 個(gè)場(chǎng)域中的矢量磁位表達(dá)式。在極坐標(biāo)系中表示如下:

在此，求解過(guò)程不贅述。上述矢量磁位表達(dá)式的正確性可通過(guò)將之帶入原方程及邊界條件驗(yàn)證是否滿足來(lái)說(shuō)明。對(duì)A 求旋度，可求出全空間中的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布。

2 淺海中潛艇CRM 的特征分析

有了3 層模型中水平直流電偶極子全空間磁場(chǎng)分布表達(dá)式，即可采用等效電偶極子模型對(duì)潛艇CRM 進(jìn)行特征數(shù)值分析和預(yù)測(cè)。

對(duì)于一般的應(yīng)用領(lǐng)域，假設(shè)所研究區(qū)域的媒質(zhì)磁導(dǎo)率均為真空磁導(dǎo)率μ0是可接受的，即μ =μ0=4π×10-7(T·m/A). 取海洋環(huán)境及電偶極子源的各參數(shù)為:海水電導(dǎo)率σ2=4 S/m，海底電導(dǎo)率σ3=0.04 S/m，海水層深度D =300 m. 根據(jù)一般潛艇的結(jié)構(gòu)尺寸及ICCP 的工作狀態(tài)，可取其等效直流水平電偶極子源所在深度為z0=200 m，電偶極矩大小為Idl=100 A·m. 在水下軍用目標(biāo)探測(cè)、水中兵器引信設(shè)計(jì)等實(shí)際應(yīng)用中，比較感興趣的是海水域中磁場(chǎng)的近場(chǎng)、遠(yuǎn)場(chǎng)特征，即ρ ～D，ρ?D 的場(chǎng)域范圍，下文采用數(shù)值仿真方法著重對(duì)此進(jìn)行分析。

2.1 近場(chǎng)分布特征

采用數(shù)值計(jì)算的方法，分析ρ ～D 的范圍內(nèi)磁場(chǎng)的徑向、切向、垂向分量隨極徑、極角、深度的變化關(guān)系，如圖2 所示。

由圖2 可見(jiàn):

1)在本文仿真的環(huán)境及源參數(shù)條件下，海水中潛艇的腐蝕相關(guān)磁場(chǎng)量值可觀，且分布特征十分明顯。由圖2 各圖可見(jiàn)，磁場(chǎng)量值可達(dá)到幾個(gè)納特斯拉，在現(xiàn)代磁探測(cè)技術(shù)支持下，這是非常有價(jià)值的目標(biāo)特性，可用于目標(biāo)探測(cè)和定位等實(shí)際應(yīng)用。

2)由圖2 中的圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)可見(jiàn)，磁場(chǎng)徑向分量隨極徑不斷衰減，但不同深度上衰減速率不同，離場(chǎng)源徑向偏離ρ 越小，磁場(chǎng)的徑向分量越大，衰減越快。

在源深度兩側(cè)，徑向分量隨場(chǎng)點(diǎn)的深度呈現(xiàn)出單峰的變化特征，存在一個(gè)最大徑向分量的場(chǎng)點(diǎn)深度。且明顯可見(jiàn)，關(guān)于源電流垂向?qū)ΨQ的兩點(diǎn)到源的距離相等，但徑向分量量值不同，在本文所取的仿真參數(shù)下，徑向分量量值相差可至0.2 nT 左右，并且衰減速率也不一樣。這種差別來(lái)源于分層導(dǎo)電媒質(zhì)結(jié)構(gòu)，由于源電流的存在而在海水、海床中形成空間電流，空間電流對(duì)不同深度的場(chǎng)點(diǎn)的磁場(chǎng)貢獻(xiàn)不同，由圖可見(jiàn)，靠近海底的場(chǎng)點(diǎn)磁場(chǎng)的徑向分量較小。

另外，由于源電流的對(duì)稱性，徑向分量的大小與極角的正弦呈正比。

3)由圖2 中的圖2(d)、圖2(e)、圖2(f)可見(jiàn)，磁場(chǎng)切向分量與徑向分量變化特征相似，且由于源電流的對(duì)稱性，切向分量的大小與極角的余弦呈正比。

4)由圖2 中的圖2(g)、圖2(h)、圖2(i)可見(jiàn)，磁場(chǎng)垂向分量隨極徑、深度都呈現(xiàn)出單峰的變化特征，且關(guān)于源電流垂向?qū)ΨQ的兩點(diǎn)的垂向分量分布規(guī)律完全相同，這說(shuō)明垂向分量不受媒質(zhì)結(jié)構(gòu)分層的影響。同時(shí)，由于源電流的對(duì)稱性，徑向分量的大小與極角的正弦呈正比。

5)由圖2 明顯可見(jiàn)，海水中的場(chǎng)點(diǎn)存在著和源電流方向相同的磁場(chǎng)分量，這和無(wú)限大絕緣媒質(zhì)空間中水平直流電流元所產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布不同［14］。這是由于實(shí)際上含導(dǎo)電媒質(zhì)的場(chǎng)域空間中任一點(diǎn)的磁場(chǎng)包括兩部分:一部分是源電流本身產(chǎn)生的磁場(chǎng)，另一部分是由于源電流的存在而在導(dǎo)電媒質(zhì)空間中形成的電流(可稱之為空間電流)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。這是直流電流元在導(dǎo)電媒質(zhì)和絕緣媒質(zhì)中磁場(chǎng)的根本差別。將上文推導(dǎo)的海水中的磁矢勢(shì)表達(dá)式A2和無(wú)限大絕緣媒質(zhì)空間中的表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比，可得到空間電流產(chǎn)生的矢量磁位為

由A2s的旋度即可求出空間電流在不同場(chǎng)點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，顯然，這部分磁場(chǎng)包含有和源電流方向相同的磁場(chǎng)分量。而這正是場(chǎng)點(diǎn)在源點(diǎn)上下方垂向?qū)ΨQ時(shí)場(chǎng)源距離相同但場(chǎng)分量不相等的原因，下文還將對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行仿真分析。

圖2 海水中的磁場(chǎng)分布Fig.2 Distribution of magnetic field in seawater

另外，從(8)式可以看出，其旋度不含垂向分量，因此空間電流對(duì)磁場(chǎng)垂向分量無(wú)貢獻(xiàn)。

2.2 遠(yuǎn)程衰減特性

在上文所取海洋環(huán)境及潛艇等效電偶極子源的參數(shù)條件下，計(jì)算ρ?D 的遠(yuǎn)場(chǎng)條件下，海水中磁場(chǎng)水平分量及總磁場(chǎng)分別隨場(chǎng)源間距R0的變化特征，如圖3 所示。此時(shí)，由于ρ?D，場(chǎng)點(diǎn)深度z 對(duì)場(chǎng)源距離影響不大，也就是說(shuō)，不同深度處場(chǎng)點(diǎn)的磁場(chǎng)隨R0的變化規(guī)律基本相同。因此，下文計(jì)算時(shí)場(chǎng)點(diǎn)深度固定取為100 m，極角固定取為60°. 其中:磁場(chǎng)水平分量

總磁場(chǎng)

由圖3 可見(jiàn)，在距離源10D ～1 000D 的范圍內(nèi)即3 ～300 km 范圍內(nèi)，磁場(chǎng)隨場(chǎng)源間距的增加不斷衰減。對(duì)上述衰減特征進(jìn)行二次方反比及三次方反比擬合，如圖4 所示。

擬合曲線及擬合精度如表1 所示。

圖3 磁場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)衰減特征Fig.3 Attenuation characteristics of far field

圖4 磁場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)衰減曲線擬合Fig.4 Fitting of the attenuation curves

表1 擬合曲線及擬合精度Tab.1 Fitting curves and fitting precision

從表1 顯然可見(jiàn)，用平方反比曲線可以很好地?cái)M合潛艇等效水平電偶極子磁場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)衰減特征。從圖4 也可以明顯看出，遠(yuǎn)場(chǎng)衰減曲線和二次方反比衰減曲線吻合得非常好。因此，潛艇CRM 的遠(yuǎn)場(chǎng)按距離的平方反比衰減，相對(duì)于鐵磁材料所產(chǎn)生的磁場(chǎng)而言(按距離的負(fù)三次方衰減)，衰減要慢，這個(gè)特征有利于消磁潛艇的遠(yuǎn)程探測(cè)。

3 海洋環(huán)境對(duì)磁場(chǎng)的影響

3.1 海水深度和海床電導(dǎo)率的影響

海水深度對(duì)磁場(chǎng)的影響取決于源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)的位置、海水和海床電導(dǎo)率等因素。由上文分析可見(jiàn)，電導(dǎo)率小于海水電導(dǎo)率的海床對(duì)磁場(chǎng)的影響是比較明顯的。在上文所取水平直流電偶極子的偶極矩及位置參數(shù)的條件下，固定場(chǎng)點(diǎn)(300 m，60°，100 m)，通過(guò)仿真計(jì)算分析海水深度及海床電導(dǎo)率對(duì)磁場(chǎng)的影響，分別如圖5 和圖6 所示。

圖5 磁場(chǎng)隨海深的變化Fig.5 Variation of magnetic field with seawater depth

圖6 磁場(chǎng)隨海床電導(dǎo)率的變化Fig.6 Variation of magnetic field with the conductivity of seabed

由圖5 和圖6 可見(jiàn)，除了不影響磁場(chǎng)的垂向分量外，電導(dǎo)率小于海水電導(dǎo)率的海床實(shí)際上是增強(qiáng)了海水中場(chǎng)點(diǎn)的總磁場(chǎng)，且海水-海床分界面離場(chǎng)點(diǎn)或源點(diǎn)越近，影響越大，海床電導(dǎo)率越小，對(duì)磁場(chǎng)增強(qiáng)越明顯。

另外，根據(jù)磁場(chǎng)分量表達(dá)式可見(jiàn)源點(diǎn)深度z0、場(chǎng)點(diǎn)深度z 對(duì)磁場(chǎng)的影響相似。因此，結(jié)合仿真結(jié)果，可見(jiàn)當(dāng)海深為源點(diǎn)深度、場(chǎng)點(diǎn)深度中較大者的3 ～4 倍以上時(shí)，就可以忽略海床的影響，而將海洋環(huán)境視為深海。

3.2 空氣－海水界面的影響

為剝離開(kāi)海水-海床界面的影響，單純分析空氣界面對(duì)磁場(chǎng)的影響，先由上文所得磁場(chǎng)分量的表達(dá)式推導(dǎo)在D?z0時(shí)各分量的極限表達(dá)式:

式中:R1=［ρ2+(z+z0)2］1/2. H2z表達(dá)式不變。

由物理意義可知，此即為半無(wú)限大海水中水平直流電偶極子所產(chǎn)生的磁場(chǎng)各分量的表達(dá)式(相當(dāng)于取σ2=σ3，即海水與海床不區(qū)分)。

在上文所取水平直流電偶極子的偶極矩及位置參數(shù)的條件下，分別仿真計(jì)算位置關(guān)于源電流垂向?qū)ΨQ的兩個(gè)固定深度上的磁場(chǎng)分布，通過(guò)對(duì)比分析空氣-海水界面對(duì)磁場(chǎng)的影響。

由圖7 可見(jiàn)，除了場(chǎng)點(diǎn)分別位于源電流的上、下方而導(dǎo)致的磁場(chǎng)徑向、切向分量方向相反外，空氣-海水界面對(duì)二者的量值略有減弱。產(chǎn)生這種影響的根本原因在于導(dǎo)電媒質(zhì)的空間分布，導(dǎo)致垂向?qū)ΨQ的兩個(gè)場(chǎng)點(diǎn)，雖然空間位置相對(duì)源是對(duì)稱的，但是空間電流分布卻并不對(duì)稱，從而帶來(lái)磁場(chǎng)量值上的差別。

由前面給出的A2s表達(dá)式取D?z0的近似，或者取σ2=σ3，即可得到半無(wú)限大海水中空間電流產(chǎn)生的矢量磁位，再對(duì)此求旋度，即可求出空間電流在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。圖8 以極角60°，z =100 m 和z =300 m時(shí)的徑向分量為例，分別計(jì)算了兩個(gè)深度時(shí)來(lái)源于源電流的徑向磁場(chǎng)分量及來(lái)源于空間電流的徑向磁場(chǎng)分量。

由圖8(a)可見(jiàn)，源電流在關(guān)于源點(diǎn)垂向?qū)ΨQ的場(chǎng)點(diǎn)上產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相反，但大小相等，而來(lái)源于空間電流的磁場(chǎng)方向相同，但大小不同，可見(jiàn)空間位置相對(duì)于源點(diǎn)垂向?qū)ΨQ的場(chǎng)點(diǎn)磁場(chǎng)空間電流的確是產(chǎn)生差別的根本原因。

4 結(jié)論

圖7 空氣-海水界面對(duì)磁場(chǎng)的影響Fig.7 Influence of air-seawater interface on magnetic field

采用水平直流電偶極子對(duì)淺海中潛艇腐蝕相關(guān)靜態(tài)磁場(chǎng)進(jìn)行模擬等效，在推導(dǎo)位于海水中的水平直流電偶極子在分層媒質(zhì)全空間中的磁場(chǎng)表達(dá)式基礎(chǔ)上，采用數(shù)值計(jì)算的方式，根據(jù)一般潛艇的結(jié)構(gòu)尺寸及ICCP 的工作狀態(tài)，預(yù)測(cè)了其CRM 在海水中的分布特征及遠(yuǎn)場(chǎng)衰減特征，并分析了海洋環(huán)境對(duì)磁場(chǎng)的影響。研究表明:

1)淺海中潛艇CRM 量值可觀，且分布特征十分明顯，是非常有價(jià)值的目標(biāo)特性，可用于目標(biāo)探測(cè)、定位等實(shí)際應(yīng)用。

2)潛艇CRM 的遠(yuǎn)場(chǎng)按距離的平方反比衰減，相對(duì)于鐵磁材料所產(chǎn)生的磁場(chǎng)而言(按距離的負(fù)三次方衰減)，衰減要慢，可用于消磁潛艇的遠(yuǎn)程探測(cè)。

3)電導(dǎo)率小于海水電導(dǎo)率的海床實(shí)際上增強(qiáng)了海水區(qū)域中的總磁場(chǎng)，且海水-海床分界面離場(chǎng)點(diǎn)或源點(diǎn)越近，影響越大，電導(dǎo)率越小，對(duì)場(chǎng)增強(qiáng)越明顯，當(dāng)海深為源點(diǎn)深度、場(chǎng)點(diǎn)深度中較大者的3 ～4 倍以上時(shí)，可以忽略海床的影響。

圖8 源電流和空間電流磁場(chǎng)的比較Fig.8 The comparison between the magnetic fields produced by source current and space current

4)除了場(chǎng)點(diǎn)分別位于源電流的上、下方而導(dǎo)致的磁場(chǎng)徑向、切向分量方向相反外，空氣-海水界面對(duì)二者的量值略有減弱，但不影響磁場(chǎng)垂向分量。產(chǎn)生這種影響的根本原因在于導(dǎo)電媒質(zhì)所形成的空間電流。

研究所得結(jié)果為進(jìn)一步的應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。

References)

［1］Demilier L，Durand C，Rannou C，et al.Corrosion related electromagnetic signatures measurements and modelling on a 1:40th scaled model ［J］. Simulation of Electro-chemical Processes II.WIT Transactions on Engineering Sciences，2007，54:368 -370.

［2］Zolotarevskii Y M，Bulygin F V，Ponomarev A N，et al. Methods of measuring the low-frequency electric and magnetic fields of ships［J］. Measurement Techniques，2005，48(11):1140 -1144.

［3］John J H. Exploitation of a ship's magnetic field signatures:synthesis lectures on computational electromagnetics［M］. US:Morgan and Claypool Publishers，2006.

［4］Marius B. Measurement of the extremely low frequency (ELF)magnetic field emission from a ship［J］. Measurement Science and Technology，2011，22:085709.

［5］Rawlins P G. Aspects of corrosion related magnetic (CRM)signature management［C］∥Conf Proc UDT Europe. London:NATO，1998:237 -242.

［6］Allan P J. Investigations of the magnetic fields from ships due corrosion and its countermeasures［D］. Glasgow:University of Glasgow，2004:101 -116.

［7］Adey R，Baynham J. Predicting corrosion related electrical and magnetic fields using BEM［C］∥Conf Proc UDT Europe. London:NATO，2000:473 -475.

［8］John J H. Reduction of a ship's magnetic field signatures:synthesis lectures on computational electromagnetics［M］. US:Morgan and Claypool Publishers，2008.

［9］Keddie A J，Pocock M D，DeGiorgi V G. Fast solution techniques for corrosion and signatures modeling［J］. Simulation of Electrochemical Processes II. WIT Transactions on Engineering Sciences，2007，54:225 -234.

［10］Adey R，Baynham J M W. Predicting corrosion related signatures［J］. Simulation of Electro-chemical Processes II. WIT Transactions on Engineering Sciences，2007，54:213 -223.

［11］陳聰，龔沈光，李定國(guó).基于電偶極子的艦船腐蝕防腐相關(guān)靜態(tài)磁場(chǎng)研究［J］.兵工學(xué)報(bào)，2010，31(1):113 -118.CHEN Cong，GONG Shen-guang，LI Ding-guo. The research on the static magnetic field related with corrosion and anti-corrosion of ships based on the electric dipole model［J］. Acta Armamentarii，2010，31(1):113 -118. (in Chinese)

［12］Wimmer S A，Hogan E A，DeGiorgi V G. Dipole modelling and sensor design［J］. Simulation of Electro-chemical Processes II.WIT Transactions on Engineering Sciences，2007，54:143 -152.

［13］Jianhua W，Guangzhou L，Yongsheng L. Simulation and measurements of extra low frequency electromagnetic field［C］∥Conf Proc UDT Europe. France:NATO，2004.

［14］King R W P. The electromagnetic field of a horizontal electric dipole in the presence of a three-layered region:supplement［J］.Journal of Applied Physics，1993，74(8):4845 -4848.