從邏輯哲學(xué)看辯證邏輯的形式化

桂起權(quán)

（武漢大學(xué)哲學(xué)學(xué)院，湖北武漢430072）

辯證邏輯能不能算做一種真正的邏輯？它是一種什么樣的邏輯？這是邏輯史上有爭議的問題，爭議的焦點(diǎn)在于辯證邏輯能不能形式化。可喜的是，國內(nèi)的辯證邏輯形式化研究在1990年代取得了突破性進(jìn)展。爭論焦點(diǎn)已經(jīng)從“能不能形式化”轉(zhuǎn)移到“什么樣的形式化更好”，這是新階段的主要標(biāo)志。2000年之后，人工智能研究者開始熱情關(guān)注并積極投入辯證邏輯形式化的研究[1]。近年來，爭論盡管尚未塵埃落定，但是一些學(xué)者已經(jīng)敏銳地感覺到辯證邏輯形式化出現(xiàn)了新的轉(zhuǎn)機(jī)，無論從國際或國內(nèi)學(xué)術(shù)界的形勢看，都是如此。

早在1982年全國第二屆辯證邏輯討論會上就有人提出，辯證邏輯是一種“哲學(xué)邏輯”（李志才），另一個說法是一種“非經(jīng)典邏輯”（桂起權(quán)）[2]。在這里，我們把辯證邏輯看作一種富有哲理性的非經(jīng)典邏輯。從邏輯哲學(xué)的眼光看，辯證邏輯應(yīng)當(dāng)歸屬于邏輯，而辯證法則歸屬于哲學(xué)。辯證邏輯形式化的總體目標(biāo)是越來越恰當(dāng)?shù)卦佻F(xiàn)辯證法原型中的本質(zhì)特征。辯證邏輯的形式系統(tǒng)直接以辯證法為現(xiàn)實(shí)原型，其形式句法學(xué)與形式語義學(xué)則分別地直接以傳統(tǒng)辯證法原型中非形式、樸素的句法與語義為背景。那么，作為一種非經(jīng)典邏輯，辯證邏輯具有什么樣的邏輯特征呢？下面，我們將從邏輯哲學(xué)的視角來進(jìn)行分析。

一、作為一種哲理性非經(jīng)典邏輯的辯證邏輯

美國邏輯學(xué)家雷歇爾將“哲學(xué)邏輯”一詞用作富有哲學(xué)意味的各種非經(jīng)典邏輯，我們贊成這一種用法（它與牛津傳統(tǒng)學(xué)者所采用的講究邏輯技巧的“廣義語言哲學(xué)”的用法大不相同）。正如“數(shù)理邏輯”一詞表明了一種與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)密切相關(guān)的邏輯研究；相對地，“哲學(xué)邏輯”一詞則表明了一種與哲學(xué)密切相關(guān)的邏輯研究，其共同特點(diǎn)在于，通常與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究并無多少聯(lián)系，相反往往具有明顯的哲學(xué)背景和哲學(xué)意味。由于辯證邏輯是以辯證法哲學(xué)為背景的邏輯研究，因此它也屬于一種哲學(xué)邏輯。

邏輯哲學(xué)（與哲學(xué)邏輯有別）首先是對邏輯的哲學(xué)反思，進(jìn)一步還研究從邏輯引申出來的哲學(xué)問題[3]97～116。邏輯哲學(xué)的根本問題就在于邏輯的形式系統(tǒng)與其所刻畫、所表征的現(xiàn)實(shí)原型是否恰當(dāng)相符，其實(shí)這是在動態(tài)歷史過程中逐步實(shí)現(xiàn)的。辯證邏輯并不例外。

那么，按照邏輯哲學(xué)的眼光看，辯證邏輯的形式體系所追求的總體目標(biāo)是什么呢？我們的回答是，它就是越來越恰當(dāng)?shù)卦佻F(xiàn)辯證法原型中的本質(zhì)特征。誠然，映象（表征）與原型的關(guān)系往往是多層次的（可以是直接或間接的）。無論是形式的或非形式的句法與語義之間都相互制約。以辯證邏輯命題演算公理的建構(gòu)為例，它涉及四個層次的關(guān)聯(lián)：

（1）辯證邏輯命題形式系統(tǒng)中的推理規(guī)則的公理集（屬于形式句法學(xué)層次）；

（2）上述系統(tǒng)的形式解釋，如真值表或者可能世界和別的類型的語義學(xué)（屬于形式語義學(xué)層次）；

（3）形式系統(tǒng)的規(guī)則和公理集（1）所對應(yīng)的日常語言解讀（屬于非形式的“不純”句法學(xué)層次）；

（4）形式解釋（2）所對應(yīng)的日常語言解讀或原型（屬于非形式的“不純”語義學(xué)層次）。

來自經(jīng)典邏輯學(xué)者方面，對辯證邏輯的批評有其合理的一面：用自然語言表述的、思辨哲學(xué)意味的“辯證邏輯”，還不能算嚴(yán)格意義的邏輯，并包含著難以與詭辯作嚴(yán)格區(qū)分的潛在危險。我們也認(rèn)為，辯證邏輯如果不用形式語言進(jìn)行合理重建，如果一直沒有自己的一整套系統(tǒng)化的公理、規(guī)則、元定理和賦值語義學(xué)，它就不能進(jìn)一步成長、進(jìn)步并提高到較成熟的發(fā)展階段。與此相關(guān)，對辯證法的邏輯基礎(chǔ)的研究現(xiàn)狀是遠(yuǎn)不能令人滿意的，的確是一個亟待解決的問題。然而，我們決不因此接受“合理重建完全不可能”的觀點(diǎn)。況且近年來已經(jīng)可以看出有好的苗頭。

辯證邏輯的合理重建也遵循形式化的通用程序。這就是說，要建構(gòu)一個形式系統(tǒng)，都必須事先對其非形式原型進(jìn)行充分而有選擇的分析，然后通過概括、提煉、整修，用形式語言恰當(dāng)?shù)卦佻F(xiàn)現(xiàn)實(shí)原型的某些本質(zhì)特征（注意：“本質(zhì)”具有相對性，表征、反映的方式是多樣的，不時滲透著人類理性能動的建構(gòu)作用），這包括從句法上建構(gòu)能暢通運(yùn)行的形式系統(tǒng)，以及隨后在語義上對此作出妥當(dāng)?shù)男问浇忉尅?yīng)當(dāng)說，如果一個形式系統(tǒng)能把辯證法基本規(guī)律（至少是把辯證法的核心——對立統(tǒng)一規(guī)律）容納進(jìn)去，并通過提煉、整修、重構(gòu)，能在一定程度上再現(xiàn)其本質(zhì)方面，則該系統(tǒng)就屬于辯證邏輯形式系統(tǒng)的范疇。

二、辯證邏輯形式化的有限目標(biāo)論題

辯證邏輯全面形式化的雄心壯志恐怕一下子難以實(shí)現(xiàn)。因此，我們提出有限目標(biāo)論題（1992）。歸納邏輯史上的教訓(xùn)是，古典歸納主義者曾過分樂觀地設(shè)想過“普遍有效的歸納機(jī)器”。多數(shù)現(xiàn)代歸納主義者，則走向另一極端，他們在否定精確規(guī)則和發(fā)現(xiàn)程序的可能性時，也把具有“有限目標(biāo)的歸納機(jī)器”武斷地排除了?？墒?，卡爾納普卻非常明智且果斷預(yù)言了后者的可能性。1970年代以來人工智能研究中培根程序（如培根1－6）重新發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)科學(xué)定律的成功案例，證實(shí)了卡爾納普“有限目標(biāo)”論題的合理性[4]。

同理，不應(yīng)當(dāng)只根據(jù)建構(gòu)“普遍有效的辯證邏輯形式系統(tǒng)”的巨大困難，就武斷地否定“有限目標(biāo)的辯證邏輯形式系統(tǒng)”的可能性。我們認(rèn)為，澳大利亞的盧特萊和邁耶在《辯證邏輯、經(jīng)典邏輯和世界的協(xié)調(diào)性》（1976）中通過建構(gòu)DM與DL’來表達(dá)對辯證邏輯進(jìn)行形式化的愿望，尤其是達(dá)·科斯塔與沃爾夫的以刻畫“對立統(tǒng)一原理”為目標(biāo)的次協(xié)調(diào)辯證命題系統(tǒng)DL（1980）[5]，和相應(yīng)的謂詞演算DLQ（1985）[6]59～67以及刻畫動態(tài)矛盾為目標(biāo)的時態(tài)邏輯綱要（1989）[7]95～99，應(yīng)當(dāng)看作是建構(gòu)“有限目標(biāo)的辯證邏輯形式系統(tǒng)”的重要里程碑之一。在這一方向上，我們也嘗試作出一些改進(jìn)的努力，建立了辯證邏輯公理系統(tǒng)DLA及DLB（1995），它們兼有次協(xié)調(diào)邏輯、模糊邏輯、相干邏輯的性質(zhì)[8]。

邏輯的基本定律是否具有可修改性？激進(jìn)的邏輯革新論者的回答是肯定的。若采納蘇珊·哈克的邏輯哲學(xué)觀點(diǎn)，則可把非經(jīng)典邏輯劃分為溫和的“擴(kuò)展邏輯”和激進(jìn)的“變異邏輯”。筆者把次協(xié)調(diào)型辯證邏輯歸為變異邏輯，看作一種激進(jìn)的非經(jīng)典邏輯（正是由于這個緣故，我們被定位于“辯證新鷹派”①參見黃展驥《“邏輯矛盾”與“辯證矛盾”并行不悖嗎?——辯證法的“鷹”、“鴿”兩派》、《辯證派、形式派“平分秋色？》及張建軍《邏輯矛盾與辯證矛盾之辨——兼評黃、馬、鄧、桂之爭》等，《矛盾與悖論新論》，河北教育出版社1998年版。）。

邏輯的基本定律，尤其是矛盾律，被認(rèn)為是經(jīng)過千錘百煉的絕對不容置疑的“永恒真理”，似乎具有天生的認(rèn)識論上的保險性。因此，在經(jīng)典邏輯中，“A∧﹁A”作為邏輯謬誤被絕對禁止。另一方面，由于“矛盾法則”恰恰是辯證法的核心和精髓，任何辯證邏輯形式系統(tǒng)因而不可避免地必須以某種方式容納矛盾命題“A并且非A”。很顯然，如果不從形式句法學(xué)和形式語義學(xué)角度處理好關(guān)于矛盾的二難，就不能為辯證法確立牢固的邏輯基礎(chǔ)，也不能解開經(jīng)典邏輯學(xué)者的思想疙瘩。這是一個關(guān)鍵問題。

好在非經(jīng)典邏輯的倡導(dǎo)者盧卡西維茨已經(jīng)為邏輯革新論者提供了思想武器。他通過對亞氏三段論的研究認(rèn)識到矛盾律并非絕對地普遍有效。盧卡西維茨與瓦西里也夫還都通過非歐幾何的類比（獨(dú)立地）認(rèn)識到，修改矛盾律以后將可能建立全新的非經(jīng)典邏輯。這些觀點(diǎn)具有解放思想的作用。

筆者認(rèn)為，要建構(gòu)辯證邏輯形式系統(tǒng)，經(jīng)典矛盾律的弱化可以選作理想的突破口。矛盾律的弱化、局域化（對于“合經(jīng)典[Well－behaved]命題”仍然成立）并不可怕。在新的非經(jīng)典邏輯中，思維結(jié)構(gòu)的正確性不會因之遭受任何損失。換句話說，邏輯的確定性、條理性和前后一貫性可以依然如故。次協(xié)調(diào)邏輯的奧秘之處在于，在公理上適當(dāng)?shù)叵拗屏嗣苈膳c歸謬律。它的最有特征性的公理是：在虛設(shè)矛盾律前提下，仍然承認(rèn)歸謬律。矛盾律、歸謬律在所圈定范圍內(nèi)（即對于合經(jīng)典命題）仍有用武之地。然而，非經(jīng)典命題則不受其約束，由此司各脫規(guī)則也不再是定理，這就使語義上的“辯證矛盾”在句法上得到保護(hù)。

矛盾律與否定詞關(guān)系密切。要構(gòu)造辯證邏輯的形式系統(tǒng)，就邏輯聯(lián)詞而言必須拿否定詞開刀（與此直接相關(guān)是限制矛盾律）。否定詞必須多元化、非經(jīng)典化，必須引進(jìn)含有辯證意味的新否定詞。

有人（如杜國平、萬小龍）根據(jù)形式邏輯的對當(dāng)方陣，指出次協(xié)調(diào)邏輯只是刻畫“反對關(guān)系”的邏輯，次協(xié)調(diào)否定所針對的是“反對關(guān)系”，不是“矛盾關(guān)系”。若要問，對此有何評論？答曰：那是采用“固定范疇”的眼光看問題的必然結(jié)果（并不是錯，但只代表一種視角）。反過來，如果從“流動范疇”的眼光看，則會出現(xiàn)另一種景象。通?？坍嫛胺磳﹃P(guān)系”的次協(xié)調(diào)否定，在極限情況下會變成經(jīng)典否定（從而也能刻畫“矛盾關(guān)系”）。經(jīng)典否定﹁*A=df﹁A&A0，變成次協(xié)調(diào)否定的特例。辯證法哲學(xué)中的“矛盾”一詞是采用廣義用法，屬于流動范疇，“差異”、“反對”、“對抗”都只是“矛盾”范疇在不同條件下的具體表現(xiàn)形式。辯證法的“矛盾”概念在流動性之中仍然能夠保持邏輯確定性，它可以借助于語境而加以限定。假如將辯證法的“矛盾”概念不假思索地與形式邏輯的對當(dāng)方陣中的“矛盾”直接等同，當(dāng)然會引起思想混亂。

必須指出，由于否定詞的弱化和矛盾律的局部化，使得次協(xié)調(diào)邏輯潛在地含有某些辯證意味（還有，辯證法是其原型之一），但只有以刻畫對立統(tǒng)一原理為目標(biāo)的次協(xié)調(diào)系統(tǒng)DL、DLQ等才更直接屬于辯證邏輯形式系統(tǒng)的范疇。我們并沒有將次協(xié)調(diào)邏輯與辯證邏輯簡單而直接地等同起來。

我們認(rèn)為，對應(yīng)原理應(yīng)當(dāng)被看作一條理解經(jīng)典邏輯與多種非經(jīng)典邏輯關(guān)系的啟發(fā)式的通用原理[9]，因此應(yīng)當(dāng)把它看作建構(gòu)辯證邏輯形式系統(tǒng)的示向性原則。邏輯中的對應(yīng)原理，最早由馮·威扎克在討論量子邏輯時所提出。它的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容可以概括為：盡管非經(jīng)典邏輯作為“異類”在主導(dǎo)思想上與經(jīng)典邏輯可能相背離，并且經(jīng)典公式、定理在轉(zhuǎn)換成非經(jīng)典公式、定理時已經(jīng)注入特異性，然而兩者之間卻存在“漸近一致關(guān)系”，即非經(jīng)典公式將在極限情況下趨于經(jīng)典公式。這種對應(yīng)關(guān)系可以用作猜想非經(jīng)典的新的未知公式、定理的合理依據(jù)。同樣道理，在辯證邏輯形式系統(tǒng)中，經(jīng)典邏輯的基本模式可能被突破，原有公理、規(guī)則以及諸種運(yùn)算子不能原封不動地被保留。形形色色的公理、新運(yùn)算子出現(xiàn)了。然而，經(jīng)典邏輯決不是簡單地被拋棄，仍不失為應(yīng)用非經(jīng)典模式作對應(yīng)性研究的一種有力的輔助框架。辯證邏輯對經(jīng)典邏輯既有所突破又有所繼承，例如次協(xié)調(diào)辯證邏輯DL和DLA及DLB都如此。

在玻爾最后的日子里，在工作室的黑板上留下了黎曼面模型的草圖。它被看作互補(bǔ)性思想“最后的符號記錄”[10]300～301。該模型的優(yōu)點(diǎn)在于，對刻畫互補(bǔ)性構(gòu)架而言：簡明、直觀、準(zhǔn)確，抓住了要害，突出了結(jié)構(gòu)方面的特征。玻爾對“互補(bǔ)性矛盾”是這樣理解的：他發(fā)現(xiàn)，人類思想中的每一概念都包含歧義即多值性，這許多不同層次的含義之間，正好構(gòu)成互斥又互補(bǔ)的關(guān)系。這正像一個多值復(fù)函數(shù)的值分布在黎曼面的不同葉面（層面）上一樣。黎曼面的一個葉面上不可以既是A又是非A，不允許有邏輯矛盾。然而，黎曼面的整體則表征“互補(bǔ)性矛盾”，在整體中可以同時包含A和非A，兩者“互斥又互補(bǔ)”，或者說“相反又相成”。這種獨(dú)特的邏輯結(jié)構(gòu)，這也就相當(dāng)于通常所說的“辯證矛盾”。由于A和非A必須分別出現(xiàn)在不同葉面上，因此不存在邏輯矛盾。羅森菲爾德在《量子革命》中說得好，“互補(bǔ)性”構(gòu)架因其精致性而成為嚴(yán)密自然科學(xué)中“第一個確切的辯證方案的實(shí)例”[11]142。

20世紀(jì)90年代初，筆者和陳曉平受當(dāng)時研究辯證邏輯形式化積極分子的激發(fā)，很快認(rèn)識到辯證邏輯實(shí)現(xiàn)形式化的突破已出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī)，因此聯(lián)名發(fā)表《辯證邏輯形式化研究綱領(lǐng)》（1992）[12]，提出了“有限目標(biāo)”的局部形式化的弱綱領(lǐng)（類比卡爾納普的“有限目標(biāo)”歸納機(jī)器），與趙總寬“普遍目標(biāo)”的形式化強(qiáng)綱領(lǐng)適成對照。后來，為了答復(fù)鄧曉芒、楊祖陶教授關(guān)于“辯證邏輯不可能形式化”的詰難，兩人又在《辯證邏輯形式化論綱》（1996）[13]中說，對鄧曉芒等人稱作“辯證邏輯”的內(nèi)容，我們寧愿稱作“思辨的辯證哲學(xué)”，那是只可意會（體驗(yàn)、領(lǐng)悟）而難以言傳的“詩化的哲學(xué)”。對我們而言，辯證法中可形式化部分與不可形式化部分，分別對應(yīng)其邏輯成分與純粹思辨成分。

三、辯證邏輯形式系統(tǒng)所不可或缺的基本性質(zhì)

辯證邏輯的形式體系所追求的總體目標(biāo)，就是通過“合理重建”恰當(dāng)?shù)卦佻F(xiàn)辯證法原型中的某些最本質(zhì)的特征。為了實(shí)現(xiàn)辯證邏輯形式化的弱綱領(lǐng)，陳自立和筆者構(gòu)造了“有限目標(biāo)的辯證公理系統(tǒng)DLA及DLB”（1995）[8]，這是建立在次協(xié)調(diào)邏輯（不會造成任何公式都變成定理的破壞性后果）、相干邏輯（根據(jù)相干原理，不允許從前件得出不相干的后件）、模糊邏輯（不承認(rèn)A與非A之間總是有絕對分明的界限）基礎(chǔ)上的辯證邏輯。我們確信，次協(xié)調(diào)性（即包含不平庸的矛盾）、相干性和模糊性（即恩格斯所說的恰當(dāng)?shù)爻姓J(rèn)“亦此亦彼”）這樣三種特性應(yīng)當(dāng)是辯證邏輯形式系統(tǒng)所不可或缺的基本性質(zhì)，因此可以構(gòu)成其必要條件。[D]則是刻畫辯證法特有原理的公理組。需要稍加解釋的是：

相干邏輯是非經(jīng)典邏輯的一個特殊分支，其主要標(biāo)記是引進(jìn)相干蘊(yùn)涵，它對有效性的經(jīng)典觀念的（即與內(nèi)容毫不相干）直接提出異議。相干蘊(yùn)涵要求前后件必須有共同的命題變元，這樣就能適當(dāng)顧及命題在內(nèi)容上的聯(lián)系。相干邏輯家發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典蘊(yùn)涵式有個很大的毛病是諸如“雪是白的蘊(yùn)涵紐約是個大城市”，嚴(yán)重偏離了“如果，那么”的日常用法，背離了傳統(tǒng)邏輯的本意。作為奠基者，W.阿克曼、A.R.安德森和N.D貝爾納普先后對相干蘊(yùn)涵系統(tǒng)和衍推系統(tǒng)作出過貢獻(xiàn)。國內(nèi)學(xué)者中馮棉對相干邏輯最有研究[14]。

直覺主義邏輯是非經(jīng)典邏輯中又一個非常獨(dú)特的分支，它以禁止使用排中律而聞名。這是直覺主義數(shù)學(xué)流派在構(gòu)造數(shù)學(xué)證明時所專用的推理邏輯。DLB考慮了直覺主義邏輯的因素。

在2002年出版的《次協(xié)調(diào)邏輯與人工智能》[7]597～612中，我們對DLA與DLB的基礎(chǔ)作了全面改進(jìn)。辯證公理系統(tǒng)DLA由相干邏輯子系統(tǒng)RC（Ⅱ）加上模糊邏輯子系統(tǒng)FL再加上刻畫辯證法特有原理的公理組［D］構(gòu)成，亦即［DLA］=［RC（Ⅱ）］+［FL］+［D］。在改進(jìn)后的辯證公理系統(tǒng) DLA 中，相干子系統(tǒng) RC（Ⅱ）和模糊子系統(tǒng)FL的公理變得更完善了。

模糊邏輯是辯證邏輯形式化的重頭戲，因?yàn)樗谝欢ㄒ饬x上體現(xiàn)了辯證邏輯的本質(zhì)特征。筆者認(rèn)可苗東升的論斷——“模糊邏輯屬于辯證邏輯的一種表現(xiàn)形式”[15]。在我們看來，關(guān)鍵在于認(rèn)識到，盡管（1）不矛盾律、（2）排中律、（3）“不否認(rèn)排中律”﹁﹁（A∨﹁A）均已失去普遍有效性，然而，與之對應(yīng)稍弱一點(diǎn)的（1）雙否定生成律 A→﹁﹁A、（2）雙否定消去律﹁﹁A→A、（3）“不否認(rèn)雙否定消去律”﹁﹁（﹁﹁A→A）卻依然有效。同時認(rèn)識到，盡管逆否律（A→B）→（﹁B→﹁A）不再成立，然而稍弱一點(diǎn)的逆否規(guī)則A→B├﹁B→﹁A卻仍然成立。特別是我們發(fā)現(xiàn)，盡管 J反證律（A→B）→（（A→﹁B）→﹁A）、J反證法 A→B，A→﹁B├﹁A、C反證律（﹁A→B）→（（﹁A→﹁B）→A）、C 反證法﹁A→B，﹁A→﹁B├A 等失去普遍有效性，然而在虛設(shè)不矛盾律成立的條件下，對應(yīng)的J、C反證律、反證法重新有效。這就為正確的模糊推理提供了合理依據(jù)[16]。

我們以DLA為例，展示辯證邏輯公理系統(tǒng)的具體特征。并且從邏輯哲學(xué)角度進(jìn)行分析，DLA在多大程度上刻畫了辯證法原型中的哪些特征。

四、辯證邏輯公理系統(tǒng)DLA的建立

1.約定：In（x，y）表示“x 在 y 中出現(xiàn)”；（a，x）A 表示“將 A 中所有的 x 均代以 a 而得”；＜a，x＞A 表示“將A中出現(xiàn)的x部分替換為a而得”。

2.DLA的公理系統(tǒng)。

2.1 形成規(guī)則（略）

2.2 純邏輯公理與原始規(guī)則

正演算DLA+

（→0）├A→A （→1）├A→（（A→B）→B） （→2）├（A→（A→B））→（A→B） （→3）├（A→B）→（（B→C）→（A→C）） ［→4］A，A→B├B （∧1）├A∧B→A （∧2）├A∧B→B （∧3）（A→B）∧（A→C）→（A∨B→C） ［∧4］A，B├A∧B （∨1）├A→A∨B （∨2）├B→A∨B （∨3）├（A→C）∧（B→C）→（A∨B→C） （?1）├（A?B）→（A→B） （?2）├（A?B）→（B→A） （?3）├（A→B）∧（B→A）→（A?B）

（∧∨）├（A∧（B∨C）→（A∨B）∨（A∧B）

［?］├A（a）╟├?xA（x） In（a，A（a）） ﹁In（x，A（a））

（?1）├?xA（x）→（a，x） A（x）

（?2）├?x（A→B（x））→（A→?xB（x）） ﹁In（x，A）

［?］├A（a）→B╟├ xA（x）→B In（a，B）

（?1）├A（t）→?x ＜x，t＞A（t）

（?∧）├A∧?xB（x）→?x［A∧B（x）］ In（x，A）

（=1）├x=x

（=2）├x=y→（A（x）→＜y，x＞A（x））

由于DLA是連續(xù)統(tǒng)［0，1］上的邏輯，因此有賦值：

╞﹁（A∧﹁A），當(dāng)且僅當(dāng) V（﹁（A∧﹁A））=1。（╞表示語義衍推）

這時，我們稱A與﹁A處于兩極，也稱A與﹁A處于對立，稱A處于極值。

關(guān)于否定詞﹁的公理組D

（D1）├A∧﹁A→（A?﹁A） 矛盾互易律

（D2）﹁（B∧﹁B）├（A→B）→（（A→﹁B）→﹁A）（擬）對立統(tǒng)一律

（D3）├（Bj∧Bn）├（A→B1∧…∧Bj∧…∧Bn）→（（Bn?﹁Bj）→﹁A）量變質(zhì)變律

（D4）├A→﹁﹁A 否定之否定律Ⅰ

（D5）├﹁﹁A→A∨﹁（A∨﹁A） 否定之否定律Ⅱ

（D6）A→B├﹁B→﹁A 逆否規(guī)則

（D7）﹁（B∧﹁B）├（A→B）→（﹁B→﹁A）B 與├B 對立時逆否定律成立

DAL的語義

定義 Df2.若 x是一句法系統(tǒng)則以【x】表示其語義。DLA 的語義是【DLA】=【RC（Ⅱ）】Λ【FL】Λ【D】。其中【RC（Ⅱ）】表示相干邏輯RC（Ⅱ）語義（內(nèi)涵格語義）。

【FL】=〈F，ψ〉，F(xiàn) 是一非空的集合，稱為模糊域。ψ 稱為 F 域的【FL】賦值：（1）ψ（p）∈［ 0，1］，1 為特指值。（2）ψ（a）∈F。（3）ψ（x）=x，x 為 F 中變域的變元，以英文斜體小寫字母（或加下標(biāo)）表示：x，y，z，xi，yi，zi，（i=1，2，3，…）。（4）ψ（An）=An，An為 F 上的一個 n 元關(guān)系，以斜體大寫英文字母（或加下標(biāo)）表示。（5）ψ對公式A的遞歸定義：

①若A是原子公式，ti是項（即ai或xi），則ψ（A（ti，…，tn））=A（ψ（t1），…，ψ（tn））

②ψ（﹁A）=～ψ（A）=df1－ψ（A）

③ψ（A∧B）=ψ（A）?ψ（B）=dfmin（ψ（A），ψ（B））

④ψ（A∨B）=ψ（A）?ψ（B）=dfmax（ψ（A），ψ（B））

本文不討論“=”，關(guān)于它的擬邏輯詞定義略。請注意兩等號中間的擬邏輯詞～，∧，∨，≤，≡及?和 。

D的一個賦值是一個函數(shù) V ：F→｛0，1｝，使得：

①V（A→B）=1 當(dāng)且僅當(dāng)V（A）=0或 V （B）=1 ②V（A∧B）=1當(dāng)且僅當(dāng)V（A）=V（B）=1 ③V（A∨B）=1 當(dāng)且僅當(dāng) V（A）=1或者 V （B）=1 ④V（﹁（A∧B））=1 當(dāng)且僅當(dāng)V（﹁A）=1或者 V（﹁B）=1⑤V（﹁（A∨B））=1當(dāng)且僅當(dāng)V（﹁A）=V（﹁B）=1 ⑥如果 V（A°）=1，那么V（A）=1 或者 V（﹁A）=1 ⑦如果 V（A°）=0，那么V（A）=0或者 V（﹁A）=0 ⑧如果 V（B°）=1，那么 V（（A→B）→（（A→﹁B）→﹁A））=1 ⑨如果 V（A）=1，那么 V（﹁﹁A））=1⑩如果 V（﹁﹁A）=1，那么 V（A∨﹁（A∨﹁A））=1 ?如果 V（A）=V（﹁A），那么 V（A°）=0 ?如果 V（A）≠V（﹁A），那么 V（A°）=0 ?V（ xA（x））=〈x〉V（A（x））= ?x∈FV（A（x））?V（ xA（x））=〈?x〉V（A（x））=?x∈FV（A（x））

D 的公理為 DL 的 A1—A12∪DLA 的（?1）—（D7）。

DL公理系統(tǒng)A1—A12表述如下：

（A1）├A→（B→A）（A2）├（A→B）→（（A→（B→C））→（A→C）） （A3）A，A→B├B （A4）├A∧B→A （A5）├A∧B→B （A6）├A→（B→A∧B） （A7）├A→A∨B （A8）├B→A∨B （A9）├（A→C）→（（B→C）→（A∨B→C） （A10）├A∨（A→B） （A11）├﹁（A∧B）?（﹁A∨﹁B） （A12）├﹁（A∨B）?（﹁A∧﹁B）

從邏輯哲學(xué)看DLA的特征

DLA是相干邏輯RC（Ⅱ）、模糊邏輯FL及刻畫辯證法獨(dú)特性質(zhì)的D系統(tǒng)三者的交緣系統(tǒng)：其每一公式必須同時滿足三種語義。

（1）因?yàn)镈LA具有相干性，所以它不允許前件蘊(yùn)涵不相干的后件，卻允許在應(yīng)用公理中引進(jìn)作為語句常項的特定的矛盾語句（├A0，├﹁A0）、（├﹁（A0∧﹁A0）和（├A0?﹁A0），因而 DLA 系統(tǒng)不會平庸化，而變得無意義。從語用角度說，將具有“辯證矛盾”意味的語句，作為“語句常項”來處理，是合乎表達(dá)辯證邏輯的需要的。

（2）（D1）公理├A∧﹁A→（A?﹁A）乃是經(jīng)典邏輯 A∧B→（A?B）公式的特例。在辯證邏輯形式系統(tǒng)DLA中，它體現(xiàn)了“矛盾之互相依存、互為前提”這種辯證性質(zhì)。

（3）（D2）公理是對立統(tǒng)一律的一種模擬表達(dá)，它是說，統(tǒng)一物（A）分解為二（B，﹁B）且只有當(dāng)所分二者處于對立（即B=1且﹁B=0，或者B=0且﹁B=1）時，才使統(tǒng)一物自己（A）轉(zhuǎn)化為其反面（﹁A）。反過來說，如果B，﹁B不處于對立，此規(guī)律就失效。請看下面的失效實(shí)例（采用連續(xù)統(tǒng)邏輯中的賦值表示法）：

①﹁（B∧﹁B）→（（A→B）→（（A→﹁B）→﹁A）），φ（0.5，0.5，0.6，0.5，0.6，0.5，0.6）=0.4＜1；

②（A→B）→（（A→﹁B）→﹁A），φ（0.3，0.6，0.3，0.6，0.3）=0.7＜1；

③A→B，A→﹁B├﹁A， φ（0.3，0.6，0.3，0.6，0.3）有 1，1├0.7＜1。

其中，①中B=0.5，﹁B=0.5；②、③中B=0.6，﹁B=0.4。這說明：若A中的內(nèi)部矛盾未達(dá)到對立時，A就不會轉(zhuǎn)化為非A。因此，我們認(rèn)為在［0，1］連續(xù)邏輯中描述對立統(tǒng)一規(guī)律是恰到好處的。

（4）公理（D3）是刻畫從量變到質(zhì)變的規(guī)律的。它是說 A 內(nèi)之量變過程 B1，…，Bj，…，Bn中，當(dāng) Bn與前面任一個Bj有對立性質(zhì)出現(xiàn)時（即Bn?﹁Bj，因而﹁（Bj∧Bn）=﹁（Bj∧﹁Bj）=1時），A也引起質(zhì)變成為﹁A。這里有三點(diǎn)需要說明：（1）﹁（Bj∧﹁Bj）意即“Bj與﹁Bj處于對立”；（2）其次，量變過程的描述（A→B1∧…∧Bj∧…∧Bn）→（（Bn?Bj）→?A），也可以改寫成（（A→B1）→（（A→B2）→…→（A→Bn）→（（Bn?Bj）→﹁A）））；（3）B1，…，Bj…，Bn的量變過程，未必限定于直線上升方式，而可以有起伏及各種形式。不難看出，連續(xù)統(tǒng)邏輯是刻畫從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)換的辯證過程的十分合適的概念工具。

（5）（D4）、（D5）這兩個公理都是關(guān)于“否定之否定”的。其中（D4）所刻畫的是，A之發(fā)展將成為“否定之否定”。

（6）（D5）是進(jìn)一步說，A的“否定之否定”是原先的A再附加新性質(zhì)。所謂“新性質(zhì)”是指正題、反題兩方面性質(zhì)的辯證綜合與超越（即A∨﹁（A∨﹁A））。這里第一個聯(lián)詞用析取有二層意義：它可以是A∪﹁（A∨﹁A）也可以是A∪0=A，當(dāng)?shù)扔贏時，就以“周而復(fù)始”（﹁﹁A→A）作為特例罷了，但后者并不普遍有效。又由﹁﹁A→A∨﹁（A∨﹁A）可推得﹁﹁A→A∨（﹁A ∧﹁﹁A），當(dāng) A∪（﹁A ∧﹁﹁A）成立時，它就成為正題（A），反題（﹁A）之綜合，成為超越于A與﹁A的新東西﹁﹁A的另一種寫照。

（7）（D7）說明，逆否律不再普遍有效的，它只當(dāng)B與﹁B處于對立時才有效；然而，與之對應(yīng)的逆否規(guī)則（D6）卻仍然普遍有效!一般地說，這也是建構(gòu)非經(jīng)典邏輯的策略和技巧之一：雖然強(qiáng)的公理（某某“律”）不再成立，然而，退讓一步，稍弱的規(guī)則（某某規(guī)則）卻可以依然成立。

（8）在 DLA 中，﹁（A∧﹁A）、﹁﹁（A∨﹁A）、A∨﹁A（按照形式邏輯的術(shù)語，可稱為不矛盾律、不否認(rèn)排中律、排中律）三者均并非普遍有效。因?yàn)棣瑁ˋ∧﹁A）、﹁﹁（A∨﹁A）、A∨﹁A，其賦值 φ（0.5 0.5）=0.5＜1，則上述三個公式，用［0，1］中的數(shù)值作任意代入時不恒真，這正是體現(xiàn)出［0，1］連續(xù)統(tǒng)中：① ﹁（A∧﹁A）不永真，表明“A與﹁A不是永遠(yuǎn)處于對立”；②A∨﹁A不永真，表明“A與﹁A未必非此即彼，而可以處于中介或過渡即‘［0，1］—（0，1）’之中”（見上文具體賦值）；③﹁﹁（A∨﹁A）不永真，表明“這‘不否認(rèn)排中律’亦非普遍有效”。

辯證邏輯形式化范例給我們的啟示是：如DLA所表明，辯證法只有通過形式化而邏輯地表達(dá)出來，其性質(zhì)才能明朗起來。例如，﹁（A∧﹁A）、﹁﹁（A∨﹁A）、A∨﹁A等三個公式都不再永真表明，中介或過渡是離散序列與連續(xù)序列的一種本性。辯證邏輯只有如實(shí)反映其現(xiàn)實(shí)原型，思維與推理的正確性才能得到保證。正如數(shù)學(xué)只有如實(shí)反映連續(xù)統(tǒng)上的計算法則（如創(chuàng)造微積分），計算的正確性方能得到保證。從次協(xié)調(diào)邏輯視角看，對平庸矛盾（A∧﹁*A）與不平庸矛盾（A∧﹁A）作出明確區(qū)分，是實(shí)現(xiàn)辯證邏輯形式化的關(guān)鍵。一個形式系統(tǒng)如果包含著平庸矛盾A∧﹁*A（它受矛盾律的約束），即會使得任何公式都變成定理，那么就變得沒有任何價值可言。相反，不平庸矛盾A∧﹁A則是在句法上可允許的，由此它可以恰當(dāng)再現(xiàn)辯證法的原型。毫無疑問，追求恰當(dāng)性是辯證邏輯乃至一切非經(jīng)典邏輯發(fā)展的內(nèi)在動力。辯證邏輯形式化的研究方向?qū)τ陂_拓邏輯學(xué)的新領(lǐng)域，對于推動邏輯學(xué)科向縱深發(fā)展，具有重要意義。

辯證邏輯形式化研究并非只有獨(dú)一無二的表現(xiàn)形式，相反它應(yīng)當(dāng)是多元化的。立足于模糊－相干－次協(xié)調(diào)性的數(shù)理辯證邏輯，那只能算是一家之言。近年來，人工智能專家何華燦教授倡導(dǎo)“泛邏輯”研究路線，用“柔性邏輯”的思想逐步建構(gòu)面向現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)理辯證邏輯，得到哲學(xué)學(xué)者們的積極響應(yīng)；辯證邏輯形式化強(qiáng)綱領(lǐng)的倡導(dǎo)者趙總寬教授新近提出形式化易經(jīng)邏輯的研究路線，他建立了易卦辯證邏輯公理系統(tǒng)；羅翊重研究員提出的非－反邏輯系統(tǒng)刻畫了中國古代陰陽辯證法的語句演算；李曙華教授特別關(guān)注周易象數(shù)邏輯；張金成提出了刻畫辯證矛盾的S系統(tǒng)（他刻畫次協(xié)調(diào)邏輯中“不平庸矛盾”的形式特征，力圖比原先da Costa的方式更為清晰直觀）；孟凱韜教授建立了刻畫陰陽五行辯證法的哲理數(shù)學(xué)（及其中醫(yī)學(xué)應(yīng)用）；胥良從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行非反演算研究；張建軍教授從總體上歸納了當(dāng)代辯證邏輯研究的七大進(jìn)路，如此等等，由此展示了“辯證邏輯形式化”研究波瀾壯闊的場面。

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