借助幾何直觀教學 積累數(shù)學活動經(jīng)驗

王衛(wèi)東　潘淑芬

數(shù)學活動經(jīng)驗是《數(shù)學課程標準》（2011年版）提出的核心概念之一。重慶師范大學仲秀英教授認為：“數(shù)學活動經(jīng)驗可以理解為學生從經(jīng)歷的數(shù)學活動過程中對活動的感受、體驗、感悟，以及由此獲得的數(shù)學知識、技能、情感與觀念等組成的有機組合性經(jīng)驗?！逼鋵?，就經(jīng)驗本身而言，就是一種感受、體驗、感悟，具有較強的內(nèi)隱性，所以在教學過程中，教者有時難以把握、調(diào)控與評價。為此，我們有必要借助幾何直觀進行教學，使內(nèi)隱的數(shù)學活動經(jīng)驗得以外顯，進而再根據(jù)這些外顯的“證據(jù)”，對數(shù)學活動經(jīng)驗進行具化、調(diào)控與提升，從而實現(xiàn)數(shù)學活動經(jīng)驗的有效積累。

一、借助幾何直觀具化數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學學習離不開直觀形象的思維，積累數(shù)學活動經(jīng)驗的過程更是如此。借助幾何直觀教學，我們可以把復雜的問題變得簡明、形象，與此同時，也可以將學生在學習過程中的感受、體驗與感悟變得具體、直觀。從而在數(shù)與形、圖與形的溝通與聯(lián)系中，讓那些看似虛無飄渺的數(shù)學活動經(jīng)驗變得看得見、摸得著了。

片段一：在教學《倍數(shù)和因數(shù)》時，教者開展了這樣的教學活動。

師：你能找出12的因數(shù)嗎？請在數(shù)軸上表示出來。

師生交流，在數(shù)軸上標出12的因數(shù)。

師：同學們，仔細觀察數(shù)軸?？吹竭@些因數(shù)，你想到了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)12最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是12，也就是它本身。

生2：我認為12的因數(shù)可以成雙成對地找出來，如1、12，2、6，3、4。

生3：對，而且每組的兩個因數(shù)還越來越接近。

……

生：老師，我有一個疑問：是不是所有的數(shù)，因數(shù)的個數(shù)都是偶數(shù)個呢？

師：你的想法很有價值，那到底對不對呢？我們不妨舉些例子來試一試。

思考：很難想象，一個數(shù)的因數(shù)能與幾何直觀圖產(chǎn)生什么樣的“化學反應”，然而，在上述教學環(huán)節(jié)中，教者卻巧妙地借助數(shù)軸這個形象直觀的載體，將學生的數(shù)學活動經(jīng)驗進行了定格與凝結(jié)。通過數(shù)軸上點與點之間的關(guān)系描述，教者簡單有效地捕獲到了學生思維發(fā)展的軌跡：最大因數(shù)與最小因數(shù)的特點、因數(shù)的分布特征、尋找因數(shù)的方法、因數(shù)個數(shù)的規(guī)律探究……更為重要的是，借助幾何直觀的“具化”作用，學生在思維的激烈碰撞過程中，從模糊到明晰、從簡單到復雜、從模仿到內(nèi)化，他們慢慢地積累了發(fā)現(xiàn)問題的經(jīng)驗、思考問題的經(jīng)驗以及解決問題的經(jīng)驗。

二、借助幾何直觀調(diào)控數(shù)學活動經(jīng)驗

積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗的過程也是數(shù)學活動經(jīng)驗的內(nèi)涵之一。一般來說，積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗的過程大致需要經(jīng)過經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移的過程。在這樣的過程中，我們需要借助幾何直觀來發(fā)揮教師的主導作用，適時對積累數(shù)學活動經(jīng)驗的過程加以調(diào)控。

片段二：在教學《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》時，教者開展了這樣的教學活動。

師：剛才大家用通分的方法計算出了+++的結(jié)果，這里的通分，其實就是一種轉(zhuǎn)化的策略。除了通分以外，你還有其他方法嗎？（學生思考）

師：觀察這幅圖（圖1），想一想，它與算式之間有什么樣的聯(lián)系？（學生討論）

師：現(xiàn)在你有什么新想法？

生：我想這樣計算：1-=，因為陰影面積=總面積-空白面積。

師：你們認為呢？

生：我認為很巧妙！有了這幅圖，可以把加法轉(zhuǎn)化成減法來計算。

生：是的，用圖形來表示算式，很好理解。

師：既然借助圖形來解決問題這么好，那是不是在任何情況下都能使用它呢？

（學生思考、討論）

生：我認為把算式轉(zhuǎn)化為圖形也有一定的局限性。大家看，這里陰影部分的面積之間都有著2倍的關(guān)系：是的2倍，是的2倍……

師：那是不是說，只要相鄰加數(shù)是兩倍的關(guān)系，我們就能借助這樣的圖去思考呢？

生1：是的，比如說++++（學生邊說邊畫圖）就可以轉(zhuǎn)化為1-。

生：我也想了個算式：+++++…+=1-。

師：有道理。觀察下面的圖（圖2），看看有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：這里的加法雖然不是從開始加起的，但相鄰加數(shù)之間仍然有著兩倍的關(guān)系，我認為可以這樣轉(zhuǎn)化：1--=。

師：聰明！同學們受到他的啟發(fā)，現(xiàn)在看到這幅圖（圖3），你又有什么想法呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化方法還能用在整數(shù)的加法上，只要相鄰加數(shù)存在著兩倍的關(guān)系。

生：是的，這里的轉(zhuǎn)化策略不僅適用于整數(shù)、分數(shù)的計算，小數(shù)也可以。

思考：在上面的教學片段中，教者借助幾何直觀開展了三次教學調(diào)控。在第一次調(diào)控中，教者引導學生將算式+++與圖1相聯(lián)系，使他們認識到這類算式中加數(shù)的特點，積累了數(shù)形結(jié)合的思考經(jīng)驗，感悟了“轉(zhuǎn)化策略也有局限”的探究經(jīng)驗。在第二次調(diào)控中，教者借助圖2，對+++進行了變式與拓展，幫助學生積累了分析比較、靈活運用的經(jīng)驗。在第三次調(diào)控中，教者再次借助圖3引導學生將數(shù)學活動經(jīng)驗進行了正向遷移，幫助他們積累了猜想驗證、歸納推理的經(jīng)驗。

從圖1、圖2到圖3，在教師的適時調(diào)控之下，學生經(jīng)歷了不同層次的經(jīng)驗積累，從知識經(jīng)驗、技能經(jīng)驗，再到數(shù)學思想方法的經(jīng)驗，他們在質(zhì)疑與反思中進行了自我內(nèi)化與建構(gòu)。

三、借助幾何直觀提升數(shù)學活動經(jīng)驗

學生需要掌握什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗？是知識的經(jīng)驗、技能的經(jīng)驗，還是關(guān)于數(shù)學思想方法的經(jīng)驗？毫無疑問，這些數(shù)學活動經(jīng)驗我們都需要，數(shù)學教學離不開知識，在知識的學習過程中可以培養(yǎng)學生的能力，感悟數(shù)學思想方法。多年以后，知識可能會遺忘，技能可能會生疏，數(shù)學思想方法也可能會淡去，既然如此，那什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗才是學生受用一生的經(jīng)驗呢？

片段三：在教學《乘法分配律》時，教者開展了這樣的教學活動。

1.師：你能用自己的語言來說說什么是乘法分配律嗎？（學生互相交流）

師：大家已經(jīng)知道了乘法分配律，那你能用更簡單的方法表示出來嗎？

學生嘗試用不同的方法表示：（我+愛）×學=我×學+愛×學；（△+□）×○=△×○+□×○；（a+b）×c=a×c+b×c……

2.出示：

師：你能用兩種不同的方法表示出這個圖形的面積嗎？

生：（a+b）×c或者a×c+b×c。

師：觀察這幅圖和兩個算式，你想到了什么？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

生：哦，這就是乘法分配律！

師：是的，這幅圖就蘊含了乘法分配律，而乘法分配律也可以用這幅圖來表示。大家看，同樣是乘法分配律，從不同的角度來審視，卻有著不一樣的精彩。其實，生活中也是如此，我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值。

思考：在上面的教學環(huán)節(jié)中，為了闡述乘法分配律，教者設(shè)計了三個教學階段。先用語言描述規(guī)律，然后用漢字、圖形、符號來表示規(guī)律，最后用求長方形面積的圖形來表示規(guī)律。這其中，教者巧妙地借助幾何直觀將乘法分配律與圖形進行了有機結(jié)合，實現(xiàn)了乘法分配律的表達層次由低級到高級，表達形式由單一到多元的經(jīng)驗積累。與此同時，教者還引導學生從知識的文本中跳出來，引領(lǐng)他們用數(shù)學的眼光來觀察世界，認識世界——“我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值！

數(shù)學是一種智慧，成尚榮教授認為：“數(shù)學教育要‘為智慧的生長而教?！币虼?，數(shù)學活動的經(jīng)驗不能禁錮于知識與技能的經(jīng)驗，也不能止步于思想與方法的經(jīng)驗，我們理應幫助學生造就智慧人生的經(jīng)驗。在上述三個教學片段中，教師引導學生跳出了數(shù)學知識的文本經(jīng)驗，跨過了數(shù)學思想方法的經(jīng)驗，感悟了人生智慧的經(jīng)驗。從知識走進方法，從思想走近智慧，借助幾何直觀，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累由此得到了質(zhì)的提升與飛躍。